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1、3.3.2 极大值与极小值极大值与极小值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在在为这个区间内的为这个区间内的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间（4 4）求解不等式求解不等式f f (x)0(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间（5 5）确定确定f(xf(x) )的单调区间的单调区间2 2、导数的应用：、导数的应用：判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间 yxOaby
2、 f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的处的函数值函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：一、函数的极值定义一、函数的极值定义一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对x0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值
3、= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值. (极值即波峰波谷极值即波峰波谷处的值处的值-不一定不一定最大值或最小值）最大值或最小值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点 （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. 注意：注意：o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)（1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2）函
4、数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；内可能有多个极大值和极小值；观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？对于对于可导可导函数函数,若若x0是极值点是极值点,则则 f(x0)=0;反之反之,若若f(x0)=0,则则x0不一定是极值点不一定是极值点.o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y)(4xf)(1xf f (x1) 0 f (x2) 0 f (x3) 0 f (x4) 0 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法
5、,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0探究活动探究活动请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？ f (x)0 yxOx1aby f(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)01、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧
6、f (x)0，则则f (x0)是极大值；是极大值；2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知已知f (x0)=0，二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，左负右正为极小左正右负为极大，左负右正为极小求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查
7、检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；三、函数极值的步骤三、函数极值的步骤例：例：求求f f（x x）x xx x的极值的极值. .解：解：列表解得令.21, 0)(, 12)(xxfxxfx)(xf )(xf21)21,(),21(0)21(f极小值时,时,2 21 1当x当x因此,因此,.4 49 9) )2 21 1f f( (x x
8、) )有有极极小小值值f f( (例例2 求函数求函数 的极值。的极值。314xx31y3 x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+） yy解解：定义域为：定义域为R，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时， y极大值极大值=17/3 当当x=2时，时， y极小值极小值=5+ + +0 0- -0 0极大值极大值17/3极小值极小值 -5 x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当
9、x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.例例3:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值
10、或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例例.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。3xy 如1、函数、函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与
11、函数值和极值之间的关系为( )A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习：练习： abxy)(xfyO abxy)(xfyO （2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间)(xf导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则
12、函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfA注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，解解:由题设条件得：由题设条件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 1
13、1433baba或或注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 3、32( )f xaxbxcx4.(4.(2006年年北京卷北京卷) )已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）, 求：求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9,12abc .10 x) 0(23(2/ acbxaxxf）或或 23332acab5) 1 ( cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf 略解：略解：(1)由图像可知：由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用注意：数形结合以及函数与方程思想的应用