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1、小提琴运弓和发音的基本科学原理从试论小提琴弓对弦压力的物理特性等文谈起杨健*摘要:国内近期出现了用物理模型来研究小提琴运弓问题的尝试。本文第一部分首先指出握弓类似于一个以拇指(F3)为支点的跷跷板，主要以食指(F1)和小指(F2)的施力配合，产生握弓力矩M；随后用“P(弓压)-x(弓位)-M直线法”证明：演奏下弓是M随的增加而逐渐增大并转换方向的过程，此过程取决于P、弓的重力和重心；并首创“P-x-F(握弓施力)平面法”,在x,F1,F2空间中证明：省力的运弓路径应在该平面中处于较低的位置。第二部分通过分析“赫尔姆霍茨运动”和“Schelleng图表”指出：P及其变化范围和音量、弓速、弓与琴码
2、的接近程度成正比，并与琴弦和弓自身的性质有关。关键词:小提琴运弓和发音, PxM直线法, PxF平面法, 赫尔姆霍茨运动, Schelleng图表中图分类号:J622.1文献标识码:AThe Basic Principles in the Bowing and Articulation of ViolinAbstract:Holding the bow is like a teeterboard supported by thumb as the pivot and the cooperated forcing of forefinger and little finger produces
3、a moment M. The “P(pressure)-x(position)-M Line Method” shows when playing a down bow, M increases with x and gradually changes its direction and this process is determined by P, the gravity and barycenter of bow. The “P-x-F(force of fingers) Plane Method” shows that the most force-saving bowing pat
4、h should locate in the lower part of this plane. The analyses of “Helmholtz Motion” and “SchellengDiagram” indicate P and its range is in direct ratio with volume, velocity of bow, the approaching degree of the bow to the bridge and has some relationship with the quality of string and bow.Keywords:t
5、he bowing and articulation of violin, PxM Line Method, PxF Plane Method, Helmholtz Motion, SchellengDiagram引言2002年末，笔者曾将自己在平时的演奏和教学实践中积累的几点心得，汇集成一篇文章关于小提琴演奏技巧的几点新想法（以下简称新文）。该文的第四部分用一个物理模型，从理论上将小提琴运弓的诸多要素统一了起来，试图用这个模型来证明以往关于运弓问题的许多经验之谈，并顺便据此简要讨论了几点实际问题。2004年初，音乐艺术上又刊载了一篇题为试论小提琴弓对弦压力的物理特性（以下简称试文）的论文，文
6、中对新文提出的模型进行了合理的简化，有针对性地分析了演奏者如何正确给弓施力的主要原则和方法。试文的出现，催生了笔者将有关小提琴演奏的一些更为重要却有些艰深的科学原理，以较为直观和完整的方式呈现在音乐刊物上的念头。当然，首先要从上述两文中意犹未尽的一些问题说起。一.小提琴运弓的基本原理1握弓的施力与平衡握弓跷跷板为了细致而全面的理解小提琴运弓的科学原理，我们应该从手指对弓的控制机理入手（图1）。图1 手指对弓的控制原理握弓跷跷板如图1所示，,分别为食指、小指和拇指对弓的作用力，将拇指的位置大致看作支点或转动轴，则和分别为和的力臂。从力的平衡来看，手指可以对弓产生合力。但更重要的是这些力所产生的转
7、动效果，也就是从力矩平衡的角度来看：手指握弓就像一个以拇指为支点的跷跷板，主要以食指和小指的恰当的用力配合，控制着弓的平衡以及对弦的作用（中指和无名指起辅助作用）。当较大时（也就是食指的作用在跷跷板上占优势时），产生一个逆时针的力矩，反之当较大时，产生一个顺时针的力矩。事实上，手指对弓的控制原理的核心，便在于这个跷跷板所产生的效果。为了下面讨论的方便，我们不妨将这个转动的效果（或者说具有转动趋势的效果），即手指对弓产生的力矩合成起来（式1）：式1在式1中是手指对弓产生的合力矩（参见图1），设逆时针方向为正方向，那么当合力矩方向为顺时针时。2弓、弦和握弓跷跷板的作用与平衡直线法将手指握弓简化为一
8、个合力和一个产生转动效果的合力矩后，我们就可以放心的将弓子放到琴弦上（图2）。为了避免过于庞杂，我们暂且把研究限制在水平匀速恒力运弓的范围内。图2弓在竖直方向上的各作用力及其力矩的示意图如图2所示，为琴弦对弓的支持力（数值上等于弓对弦的压力），为弓的重力，为手指对弓的合力，是手指对弓产生的合力矩，是琴弦到支点（近似的看作弓根）的距离。为弓的重心到支点的距离。根据受力平衡有（式2）：式2根据力矩平衡有（式3）：式3在式3中，等式左边的握弓跷跷板要和右边的与两项相抗衡，其中是一个和弓子本身的性质有关的常量（重力和重心的位置），而却是一个和弓压和弓位有关的变量，为了直观的研究它们之间的关系，我们作出
9、式3这个简单线性函数的图像（图3）。图3在,平面中的直线，反映了,和之间的关系在图3中，点处，点处，则式3是过和两点、斜率为的直线，由于该直线是关于和的函数，其倾角又由决定，所以我们暂且把这条直线称作“弓压-弓位-握弓力矩直线”，简称直线，它主要描述了以下两组结论：(1)运弓跷跷板（）随弓位的不同（）所发生的变化：在点处，处于弓根部位，手指产生的顺时针力矩，全部用来平衡弓子的重力所产生的力矩。当弓子逐渐向弓尖运行，缓缓增大后，由弓压所产生的力矩便渐渐壮大，也增大（虽然是负值），在点处，弓压产生的力矩和弓子的重力所产生的力矩正好抵消，这时，即手指产生的力矩为零，是一个临界点。随后，产生的力矩继续
10、加大，也继续增大（此时已经是逆时针，正值），直到的最大值（弓尖），运弓跷跷板产生的力矩也达到最大值。(2)弓压所起的决定作用：从图3可以看出，若采用较大的弓压，则直线的斜率会增加，即的变化速度会增加，会较早的到达临界点，并且在同样的弓位需要使用更大的力矩，在弓尖所需的最大力矩也会增加。反之，如果使用的弓压足够的小，会导致临界点离弓根越来越远，甚至，则在整个运弓过程中都是逆时针的负值，至于这种情况是否可能，将在本文的第二大部分涉及。通过对图3和式3的分析，我们可以明白从弓根到弓尖（即演奏下弓）的一次完整运弓过程，实际上是握弓跷跷板从顺时针的最小值通过临界点转为逆时针，并逐渐增大的过程；这个随的增
11、加而逐渐增大并转换方向的过程，首先取决于弓子本身的性质（和），其次决定于这次运弓所使用的弓压。图3还可以解决在任意弓位和方向均匀运弓的问题，例如在图中和是弓上的任意两点，如果使用一定的弓压从到演奏一次上弓，则握弓力矩应该沿发生变化。3小提琴运弓原理的一种解决方案平面法 在上一节的讨论中，将握弓跷跷板看作了一个整体，研究了弓压、弓位和握弓力矩的平衡问题，但对跷跷板内部是如何使发生上述均匀变化的机制却没有涉及。虽然从理论上来说，握弓跷跷板能对运弓发生影响的物理量只有（见式3）和合力（见式2），哪怕使用足以将弓子折断的,，只要使得上述和配合得恰到好处（理论上完全可能），一样能够演奏出良好的声音，但是
12、，如此笨拙而费力的运弓，对小提琴演奏技巧和艺术来说是不能接受的。因此，我们有必要将握弓跷跷板解剖后和上一节的研究结合起来，以期能够得到统一的理论。 将式1代入式3得（式4）： 式4 若将式4看作关于，和的函数，则式4描述的应该是在，三维空间中的一个平面（图4）： 图4 在,三维空间中的运弓平面，反映了,和之间的联系 如图4所示，在,空间中，点在轴上处,点在轴上处,点在轴上处，则式4为过，和三点的平面。在实际情况决定的，和（丛弓根到弓尖）的定义域内，,可能的变化范围仅为图中阴影部分所标示的区域（理论上可以向上无限延伸）。由于该平面是关于,的函数，其具体形态又和弓压息息相关，所以我们暂且把这个平面
13、命名为“弓压-弓位-握弓施力平面”，简称平面。 如果充分理解了运弓平面的性质，则可以领会小提琴基本运弓的全部奥秘（对倾角等问题的讨论见下一节）： （1）运弓平面的形态 由于对于某一把确定的弓子和某种确定的握弓姿势来说，和均为定值，因此平面的形态仅和点的位置有关。当弓压增大时，平面将以直线为轴向上旋转（极限位置：点和原点重合）；减小时，平面将以直线为轴向下旋转（极限位置：点和点重合）。图4中用灰线勾画的过，四点的平面，便是一个由较小的所决定的平面。 （2）运弓在平面中的几何意义极其物理内涵 对于某一次均匀的运弓，比如仍以从弓根到弓尖演奏一次下弓为例，其几何意义为：在平面中，从处出发，沿任意轨迹前
14、进并到达处。 比如图4中的曲线和曲线均是可能的路径，和分别为,产生力矩（即）发生转向的临界点（这一点和图3中的临界点类似）。但由于，如果运弓轨迹处于平面中较高的部位，则就会很大，虽然可以通过增加来使维持合力的稳定，但握弓的手指必然将弓捏得很紧，处于非常紧张的状态。 所以，省力而放松的运弓应该尽可能处于平面中较低的位置，最省力的路径便是沿直线到。此路径的意义是从到食指的压力始终为0，仅靠小指的压力均匀减小到0，来使从顺时针负值增大到0；随后从到小指的压力保持为0，仅通过食指的压力从0增大到，来让从0增大到最大值。在整个过程中没有使用一点多余的力。 当然，在通常情况下，运弓过程中用力的转换不可能达
15、到理论推演这么精确和完美，像曲线这样的运弓路径就应该可以接受了，而曲线则是一条典型的“捏弓子”路径。 和图3类似，平面也适用于任意弓位和方向均匀运弓的问题。设是弓上任意一点，若从到演奏一次上弓，则曲线是无数条可能路径中的一条，而直线是理论上最省力的路径。 4倾角和摩擦力，对运弓的影响 通过以上的讨论，已经基本解决了运弓原理的主要问题。但在实际演奏中，有时弓与水平面的夹角也会对运弓的感觉产生明显的影响；特别是演奏E弦时，倾角甚至大于45度，和在G弦上接近水平的运弓感觉截然不同（图5）。 图5 考虑倾角和摩擦力，后的作用力平衡 所幸的是，前面所讨论的科学原理即使在考虑角以后也是基本成立的，只不过这
16、时上述公式里的应该被代替（见图5）。显然，当角增大以后，弓子本身的重力在运弓中能够起到的作用将越来越小。 同时，在弓子运行的方向上，也存在着一个力的平衡（在前面的讨论中暂时忽略了），在图5描述的情况下即（式5）： 式5 式5中，是琴弦对弓的摩擦力，是手对弓在弓子运行方向上的作用力。倾角和摩擦力，对我们主要有以下几点启示意义： （1）在倾角增大时，造成了在运弓中可以利用的弓子本身的重力逐渐减小，在图3和图4中的表现就是直线或平面整体平行上移，使得握弓力矩的最小值、临界点和最大值都相应的增大。从这个角度来说，有人在E弦上演奏渐强的长音时，习惯于在接近弓尖处将弓子逐渐向上抬起（至少是有这样的心理倾向
17、），划过一个弧型轨迹，具有其实际的辅助作用。 （2）在倾角较大时，也较大，这个力仅在上弓时是运弓的阻力，和弦的阻力叠加在一起，需要手的推动力来平衡。而又基本上和弓压成正比，因此和也存在某种正比的关系。二.小提琴发音的基本原理在本文第一部分的讨论中，一直假设弓压在某一次运弓中是一个不变的量，并且仅从图3和图4看来，似乎可以从0到无穷大任意变化，这显然都与事实不符：在平时的教学中，我们经常被初学者可怕的噪音折磨得够呛。那么弓压的变化及其变化范围又和哪些因素有关呢？是不是弓压越大就可以演奏出越宏大的声音？要回答这些问题需要从弓弦作用的基本原理谈起。1弓弦作用的原理赫尔姆霍茨运动（Helmholtz
18、Motion）图6 一个周期的赫尔姆霍茨运动动画演示：德国生理学家, 物理学家及解剖学家赫尔姆霍茨（Hermann von Helmholtz, 1821-1894）通过实验的方法得出了以下结论：当用弓子在弦上演奏出通常认为是较好的声音时，弓子和弦的相对运动如图6所示，称为赫尔姆霍茨运动：从第1张图看出，在弓子向上运动时首先通过静磨擦力粘住琴弦并迫使琴弦在接触点和弓子以相同的速度向上运动，产生了一个三角形的尖角，当弓子持续向上运动时，这个尖角逆时针运动并在端点处被反弹回来，从第8张图可以看出弓子还在向上运动，但琴弦在接触点已经相对弓子向下运动，这时如果弓子的压力适当，琴弦便可以从弓子下面滑落，
19、直到回到原来的位置，开始另一个周期的赫尔姆霍茨运动。2弓速、弓压、触弦点、频率和音量等关系的初步讨论若弦振动的频率是，则尖角转动一周的时间为；如果弦长为，从图6可以看出尖角在时间里运动的距离约为，则尖角转动的速度为；如果设触弦点在的弦长处，则在弓子“粘住”弦的那段时间里，尖角走了的距离，用的时间为(式6)： 式6若设弓子的速度为，则在时间内，弓子带着琴弦走的距离为(式7)： 式7这个量和琴弦的振幅成正比关系，也就是说音量和弓速成正比关系，由于从最小值2往上递增时，式7是增大的，所以音量又正比于，也就是说和接近琴码的程度成正比，式7还说明了振幅还和频率有关，越是高音的弦，振幅越小，这和我们平时的
20、经验是一致的。图7 赫尔姆霍茨运动的讨论如图7所示，如果我们设向上的方向为正的话，在琴弦不同的A,B两点测到的速度应该如图7-b和图7-c所示。综合图6和图7可以发现要保持良好的赫尔姆霍茨运动，弓子粘住琴弦和琴弦滑落的时间之比取决于弓在琴弦上的位置，当弓子接近琴码时“粘住”琴弦的时间必须加长，而滑落的时间必须减小；远离琴码时必须减小，而必须增大，两个时间的总和为琴弦振动的周期。要做到这一点我们必须合理的调整弓子的压力。事实上，赫尔姆霍茨运动这一矛盾的运动之所以能够出现，完全要归功于在通常情况下静摩擦系数总是比滑动摩擦系数稍大。也就是说在一定的触弦位置下，我们调整运弓力量最主要的目的，就是利用两
21、个摩擦系数之差，让弓子既能在的时间内粘住琴弦运动，又要让琴弦在的时间内能够自由的滑落。根据上面的讨论已经知道，弓子向琴码移动时，必须要让弓子粘住琴弦的时间增大，显然要使用较大压力才能做到这一点，但矛盾在于若使用了更大的压力必然会增大弓子下滑的滑动摩擦，所以我们在日常的经验中发现：在十分靠近琴码的位置要拉出满意的声音是困难的，因为压力允许的范围很小。根据上面的讨论我们初步证明了以下几条原理：(1)音量和弓速、弓子离琴码的接近程度成正比。(2)弓压需要随弓子接近琴码而增大，但又必须小于一定的值。(3)由（1），（2）可以推出在调整音量时，弓压和弓速存在一定的正比关系。3关于弓压、弓速、触弦点等发音
22、问题的一种解决方案Schelleng图表在1973年，由J.Schelleng提出了一个图表(图8)，比较直观而完整的说明了上述的这些问题：图8 Schelleng图表如图8所示，弓压只有在两条直线所夹区域才能获得较好的音色，即能够触发赫尔姆霍茨运动。其中最大运弓力量的解析式是（式8）：式8最小运弓力量的解析式是（式9）：式9在式8和式9中，和是和琴弦本身的属性有关的常量：其中，是琴弦的张力，是琴弦的密度；和则分别是静摩擦系数和滑动摩擦系数，也基本上是由弓和弦自身的性质所决定的常量。最后两个参数才是我们最关心的：是弓速，是弓弦接触点的相对位置（参见图8）。从式8可见，最大运弓力量正比于弓速、琴
23、弦张力的平方根、琴弦密度的平方根，和弓子与琴码的距离成反比。也就是说，弓压越大弓速应该越大，弓子越应该接近琴码，并且和琴弦本身的性质也有关（比如金属弦和尼龙弦便很不一样）。式9说明了最小运弓力量正比于弓速、琴弦的张力和密度，和弓子与琴码距离的平方成反比。也就是说，弓速越慢允许的最小运弓力量越小，弓子越远离琴码，允许的最小运弓力量越小，最小运弓力量也和琴弦本身的性质有关。到此，我们已经解决了弓压的定义域问题，并研究了运弓和发音中各个要素的相互联系。结语本文的两大部分可以简单的归纳为：演奏者通过轻巧而自如的控制运弓跷跷板，能够使弓子无论在演奏上弓或下弓时以任意弓位、一定的弓压运行在弦上；而这一弓压
24、又和音量、弓速、弓子与琴码的接近程度成正比，与琴弦和弓本身的性质有关，并且弓压的变化范围也取决于以上几个因素。在推证这些具有概括性和普遍性的结论时，虽然笔者尽量以图形化等直观的方式来呈现自己的观点，但恐怕依然有人会责怪本文用一堆面目可憎的公式，将美妙的演奏过程摧残得如此令人头疼，似乎各种因素之间充满了无比复杂的制约关系。的确，作为小提琴演奏者，笔者承认，本文描述的演奏科学虽然不时会影响到演奏艺术，但本质上分属于世界的两种不同的透视方式，特别是当沉浸在后者中时通常很难（也不愿意）意识到前者的存在。但作为教师和学者却最好对这些科学的原理有所理解，否则将很难顺利的带领无助的初学者们越过诸多的技巧障碍
25、，而尽快步入美好的艺术殿堂；并且，对淹没在辉煌的艺术创造背后的另一片天地知之甚少，本身也是一件缺憾之事。也许，可以借用哈姆雷特中那句著名台词的隐喻口吻，来结束今天的话题：我们即使被关在技巧的重重限制中，仍自以为是无限艺术之王。参考文献1杨健. 关于小提琴演奏技巧的几点新想法J. 音乐探索,2003(1):85-892黄晨星,黄忠伯. 试论小提琴弓对弦压力的物理特性兼议关于小提琴演奏的几点新想法J. 音乐艺术,2004(1):84-883杨健. 走进琴弦的世界谈近三千年来人类对琴弦的研究及引发的思考J. 自然杂志,2004,26(3):177-1834Knut Guettler. The Bow
26、ed StringD.Stockholm:Royal Institute of Technology. 2002.5Lothar Cremer. The physics of the violinM.CambridgeL:MIT Press.1981.6Joe Wolfe. The bowed stringEB/OL., 2003.7John Schelleng. The bowed string and the playerJ Journal of the Acoustical Society of America,1973,53,(1) 26418CCRMA. Impact of stri
27、ng stiffness on virtual bowed stringsEB/OL.url=/url, 2002.注释见参考文献1。见参考文献2。试文称作“平衡点”。这一段有部分内容引用自笔者近期发表的论文，见参考文献3。见参考文献4。见参考文献6。见参考文献7。见参考文献8。可见小提琴运弓和发音两大问题具有很大的关联性和统一性，由于篇幅所限，本文未能进一步讨论小提琴乃至弦乐音色变化的科学原理，建议有兴趣的读者阅读参考文献3。出自莎士比亚名剧哈姆雷特第二幕，原文大意为：“即便把我关在果壳里，仍然自以为无限空间之王！”。物理大师霍金(Stephen Hawking)的科普巨作果壳中的宇宙的书名即出典于此。