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1、学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富 课 题 相似三角形和圆的综合提高教学内容知识框架相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法 （1）三边对应成比例的两个三角形相似 （2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 （3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形 4、由相似三角形得到的几个常用定理定理1 平
2、行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若,则,或.定理2 平行切割定理 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若,则 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若，则定理4（角平分线性质定理） 如图，分别是的内角平分线与外角平分线，则.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，定理8 切割线定理：从
3、圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线【例题精讲】二例题讲解1 利用相似证明角相等例1 如图，中，,是边的中点，垂足为,交于点. (1) 求证：(2) 若,求的面积.练习 在中，于点，于点，于点，求证：.2 利用相似证明线段相等例2 已知点分别在矩形的边上，分别交于点，求证：.练习 1、如图，梯形中，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证.2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:.3 证明比例（等积）线段例
4、3 如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，若，求证： 例4 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和，求证：练习1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证:2、是的高线，过作的垂线，垂足为，与及的延长线分别相交于，求证：3、是的角平分线，求证：4 求线段比例5 是正方形，是的中点，联接交于，求.练习 1、梯形中，,对角线于点，若，求的值. 2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,若求的长.5 证明线段（线段比）和差例6 如图，已知分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:.练习 如图，是内一点，分别与对边交于点
5、，求证：. 6 证明垂直 例7 如图，分别是正方形的边上的点，且，过作的垂线，垂足分别为，求证：. 练习题1、如图，中，是边上的高，是边上一点，过点作的垂线，垂足分别为，求证：2、与均为等边三角形，和的中点均为，求证：7 证明平行例8 如图，在矩形中，是边上的点，满足，又是上的点，满足与相交于点，与相交于求证：练习题 如图，两个等边顶点重合，过点作的平行线，分别交于. （1）求证：平分. (2) 求证：.8 利用相似三角形的面积比 例9 在的内部取点，过点作3条分别与的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积分别为4,9,49，求的面积.练习 1、是斜边上的高，求证： 2、梯形中,点在上，且
6、,若直线平分梯形的面积，（1）求的长，（2）求的值练习题 1、已知平行四边形中，为的三等分点，分别交于两点，求的值.2、如图，在平行四边形中，为的中点，交于点，求证：3、 如图，是的中线，是上一点，分别交于点，求证:4、中，是边的中点，交于点，交于点，求证：5、在四边形中，分别是的中点，为对角线延长线上任意一点，交于点，交于点，交于点.求证：是线段的中点. 6、锐角三角形中，,分别是上的高，与的延长线交于点，过作的垂线交于，过作的垂线交于，证明：三点共线.7、如图，在等边中，边上取点，使，作，垂足为，联接，求证：.圆中的相似三角形1、 AB是O的直径，点C在O上，BAC60，P是OB上一点，过
7、P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CDOC交PQ于点D(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值2、 ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD 求证：(1)BD平分CBE；(2)ABBFAFDC3、 O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D求证：BC2DE4、 O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EFFG5. 如图，O是ABC的外接圆，BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.求证：ADEC = ACBD
8、证明：6. 如图，CD切O于P，PEAB于E，ACCD，BDCD.求证： PE：AC = PB：PA； PE 2 = ACBD7. 已知： ，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.求证：ET = ED8如图，AB是O直径，EDAB于D，交O于G，EA交O于C，CB交ED于F，求证：DG2DEDF9如图，弦EF直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MAMCMBMD10、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P
9、（1）若PC=PF，求证：ABED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？11.如图(1)，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，则有结论：AB AC=AE AD成立，请证明.如果把图(1)中的ABC变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？ 图(1) 图(2)12.如图，AD是ABC的角平分线，延长AD交ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF.(1)求证：AEFFED；(2)若AD=8，DE=4，求EF的长.13.如图，PC与O交于B，点A在O上，且PCA=BAP.(1)求证：PA是O的切线.
10、(2)ABP和CAP相似吗？为什么？(3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长.14（本小题满分7分）已知：如图， AD是O的弦，OBAD于点E，交O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3（1）求证：AB是O的切线；（2）点F是ACD上的一点，当AOF=2B时，求AF的长15如图，ABC内接于O，且BC是O的直径，ADBC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB6，AC8，求CD，DE，及EF的长。16 已知：如图，在中，以为直径的交于点，点是的中点，连结OD，OB、DE交于点F（1）求证：是的切线；（2）求EF：FD的值ODGCAEFBP17如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，且的半径长为，求和的长度