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1、第二章 随机变量及其分布211离散型随机变量第一课时思索1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面对上、反面对上两种结果虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面对上和反面对上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变更而变更定义1：随着试验结果变更而变更的变量称为随机变量（random variable )随机变量常用字母 X , Y， 表示思索2：随机
2、变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域例如，在含有10件次品的100 件产品中，随意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变更而变更，是一个随机变量，其值域是0, 1, 2 , 3, 4 .利用随机变量可以表达一些事务例如X=0表示“抽出0件次品” , X =4表示“抽出4件次品”等你能说出X 4”表示的试验结果是什么？ 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知
3、得-55，也就是说“4”就是“=5”所以，“4”表示第一枚为6点，第二枚为1点 例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出缺乏1km的局部按lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机常驾车在机场及此宾馆之间接送旅客，由于行车路途的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费关于行车路程的关系式； ()已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了
4、15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得=2(-4)+10，即=2+2 ()由38=2+2，得=18，5（18-15）=15 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1.某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；长江上某水文站视察到一天中的水位；某超市一天中的顾客量 其中的是连续型随机变量的是（ ）A；B；C；D.随机变量的全部等可能取值为，若，则（ ）A；B；C；D不能确定3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A；B；C；D4.假如是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取全部可能值的概率之和为1；C.
5、取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量的线性组合=a+b(其中a、b是常数)也是随机变量212离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按肯定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量:
6、对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量及连续型随机变量的区分及联络: 离散型随机变量及连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按肯定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不行以一一列出 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不变更其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量可能获得值为 x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布，简称的分布列 2
7、. 分布列的两特性质：任何随机事务发生的概率都满意:，并且不行能事务的概率为0，必定事务的概率为1由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两特性质：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令假如针尖向上的概率为，试写出随机变量 X 的分布列解：依据分布列的性质，针尖向下的概率是（) 于是，随机变量 X 的分布列是01P像上面这样的分布列称为两点分布列两点分布列的应用特别广泛如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点
8、分布列来探讨假如随机变量X的分布列为两点分布列，就称X听从两点分布 ( two一point distribution)，而称=P (X = 1）为胜利概率两点分布又称0一1分布由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布4. 超几何分布列：例 2在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的
9、概率为所以随机变量 X 的分布列是X0123P(2)依据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事务 X=k发生的概率为其中，且称分布列X01P为超几何分布列假如随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 听从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) . 例 3在某年级
10、的联欢会上设计了一个摸奖嬉戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全一样一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X，则X听从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5 于是中奖的概率 P (X3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 ) =0.191. 思索：假如要将这个嬉戏的中奖率限制在55%左右，那么应当如何设计中奖规则？例4.已知一批产品共 件，其中 件是次品，从中任取 件，试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。解 明显，获得的次品数 只能是不大于 及 最小者的非负整数，即 的可
11、能取值为：0，1，由古典概型知 此时称 听从参数为的超几何分布。注 超几何分布的上述模型中，“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件”.假如是有放回地抽取，就变成了 重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区分就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当 时，超几何分布的极限分布就是二项分布，即有如下定理.定理 假如当 时，那么当 时（ 不变），则。 由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有：超几何分布 二项分布 普阿松分布.例5一盒中放有大小一样的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两
12、倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列分析：欲写出的分布列，要先求出的全部取值，以及取每一值时的概率解：设黄球的个数为n，由题意知绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为101P说明：在写出的分布列后，要刚好检查全部的概率之和是否为1例6某一射手射击所得的环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数7”的概率分析：“射击一次命中环数7”是指互斥事务“7”、“8”、“9”
13、、“10”的和，依据互斥事务的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数7”的概率解：依据射手射击所得的环数的分布列，有 P(=7)0.09，P(=8)0.28，P(=9)0.29，P(=10)0.22.所求的概率为 P(7)0.09+0.28+0.29+0.220.88四、课堂练习：某一射手射击所得环数分布列为45678910P002004006009028029022求此射手“射击一次命中环数7”的概率 解：“射击一次命中环数7”是指互斥事务“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，依据互斥事务的概率加法公式，有：P（7）=P（=7）+P（=8）+P（=9）+P（=10）=0.88
14、 注：求离散型随机变量的概率分布的步骤:（1）确定随机变量的全部可能的值xi（2）求出各取值的概率p(=xi)=pi（3）画出表格五、小结 ：依据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事务的概率；两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一 (3) 离散型随机变量的超几何分布 221条件概率一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最终一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“ ”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y，Y和 Y用 B 表示事务“最终一名同学抽到中奖奖券”
15、 , 则 B 仅包含一个根本领件Y由古典概型计算公式可知，最终一名同学抽到中奖奖券的概率为.思索:假如已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最终一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的根本领件只有Y和Y而“最终一名同学抽到中奖奖券”包含的根本领件仍是Y.由古典概型计算公式可知最终一名同学抽到中奖奖券的概率为，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事务“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最终一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事务 A 肯定会发生，导致可能出现的根本领件必定
16、在事务 A 中，从而影响事务 B 发生的概率，使得 P ( B|A ）P ( B ) .思索:对于上面的事务A和事务B，P ( B|A）及它们的概率有什么关系呢？用表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个根本领件组成，即=Y, Y,Y既然已知事务A必定发生，那么只需在A=Y, Y的范围内考虑问题，即只有两个根本领件Y和Y在事务 A 发生的状况下事务B发生，等价于事务 A 和事务 B 同时发生，即 AB 发生而事务 AB 中仅含一个根本领件Y，因此其中n ( A）和 n ( AB）分别表示事务 A 和事务 AB 所包含的根本领件个数另一方面，依据古典概型的计算公式，其中 n（）表示中包含的根本
17、领件个数所以，因此，可以通过事务A和事务AB的概率来表示P（B| A ) .条件概率1.定义 设A和B为两个事务，P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率（conditional probability ). 读作A 发生的条件下 B 发生的概率定义为由这个定义可知，对随意两个事务A、B，若，则有并称上式微概率的乘法公式. 2.P（|B）的性质： （1）非负性：对随意的Af. ；（2）标准性：P（|B）=1；（3）可列可加性：假如是两个互斥事务,则更一般地,对随意的一列两两部相容的事务（I=1,2），有P =.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.假如不放回地依次抽取2
18、道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率解：设第1次抽到理科题为事务A，第2次抽到理科题为事务B，则第1次和第2次都抽到理科题为事务AB. (1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事务数为n（）=20. 依据分步乘法计数原理，n (A）=12 于是(2）因为 n (AB)=6 ，所以(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概解法2 因为 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从09
19、中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，遗忘了密码的最终一位数字，求： (1）随意按最终一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2）假如他记得密码的最终一位是偶数，不超过2次就按对的概率解：设第i次按对密码为事务(i=1,2) ，则表示不超过2次就按对密码 (1）因为事务及事务互斥，由概率的加法公式得(2）用B 表示最终一位按偶数的事务，则课堂练习.1、抛掷一颗质地匀称的骰子所得的样本空间为S=1，2，3，4，5，6，令事务A=2，3，5，B=1，2，4，5，6，求P（A），P（B），P（AB），P（AB）。2、一个正方形被平均分成9个局部，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设
20、投中最左侧3个小正方形区域的事务记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事务记为B，求P（AB），P（AB）。3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。222事务的互相独立性一、复习引入：1 事务的定义：随机事务：在肯定条件下可能发生也可能不发生的事务；必定事务：在肯定条件下必定发生的事务；不行能事务：在肯定条件下不行能发生的事务2随机事务的概率：一般地，在大量重复进展同一试验时，事务发生的频率总是接近某个常数，在它旁边摇摆，这时就把这个常数叫做事务的概率，记作3.概率确实定方法：通过进展大量的
21、重复试验，用这个事务发生的频率近似地作为它的概率；4概率的性质：必定事务的概率为，不行能事务的概率为，随机事务的概率为，必定事务和不行能事务看作随机事务的两个极端情形 5根本领件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事务）称为一个根本领件6等可能性事务：假如一次试验中可能出现的结果有个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每个根本领件的概率都是，这种事务叫等可能性事务7等可能性事务的概率：假如一次试验中可能出现的结果有个，而且全部结果都是等可能的，假如事务包含个结果，那么事务的概率8等可能性事务的概率公式及一般求解方法9.事务的和的意义:对于事务A和事务B是可以进展加法运算的10 互斥事务:
22、不行能同时发生的两个事务一般地：假如事务中的任何两个都是互斥的，那么就说事务彼此互斥11对立事务:必定有一个发生的互斥事务12互斥事务的概率的求法:假如事务彼此互斥，那么探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事务：甲掷一枚硬币，正面朝上；事务：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事务：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事务：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事务、是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事务（或）是否发生对事务
23、（或）发生的概率有无影响？（无影响） 思索:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事务A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事务B为“最终一名同学抽到中奖奖券”. 事务A的发生会影响事务B 发生的概率吗?明显，有放回地抽取奖券时，最终一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最终一名同学的抽奖结果没有影响，即事务A的发生不会影响事务B 发生的概率于是P（B| A）=P(B）, P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B). 二、讲解新课：1互相独立事务的定义：设A, B为两个事务，假如 P ( AB ) = P ( A ) P ( B
24、) , 则称事务A及事务B互相独立（mutually independent ) .事务（或）是否发生对事务（或）发生的概率没有影响，这样的两个事务叫做互相独立事务若及是互相独立事务，则及，及，及也互相独立2互相独立事务同时发生的概率：问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事务，它的发生，就是事务，同时发生，记作（简称积事务）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有种等可能的结果同时摸出白球的结果有种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球
25、的概率，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率明显这就是说，两个互相独立事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积一般地，假如事务互相独立，那么这个事务同时发生的概率，等于每个事务发生的概率的积，即 3对于事务A及B及它们的和事务及积事务有下面的关系：三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购置肯定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参与两次抽奖方式一样的兑奖活动假如两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事务的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码解： (1)记“第一次抽奖抽到某
26、一指定号码”为事务A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事务B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事务AB由于两次抽奖结果互不影响，因此A及B互相独立于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 050.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示由于事务A及B互斥，依据概率加法公式和互相独立事务的定义，所求的概率为 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B ) = 0. 05(1-0.05 ) + (1-0.05 ) 0.05 = 0. 095. ( 3
27、) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示由于事务 AB , A和B 两两互斥，依据概率加法公式和互相独立事务的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运发动分别对一目的射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目的的概率；（2）人中恰有人射中目的的概率；（3）人至少有人射中目的的概率；（4）人至多有人射中目的的概率？解：记“甲射击次，击中目的”为事务，“乙射击次，击中目的”为事务，则及，及，及，及为互相独立事务，（1）人都射中的概率为：
28、人都射中目的的概率是（2）“人各射击次，恰有人射中目的”包括两种状况：一种是甲击中、乙未击中（事务发生），另一种是甲未击中、乙击中（事务发生）依据题意，事务及互斥，依据互斥事务的概率加法公式和互相独立事务的概率乘法公式，所求的概率为：人中恰有人射中目的的概率是（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种状况，其概率为（法2）：“2人至少有一个击中”及“2人都未击中”为对立事务，2个都未击中目的的概率是，“两人至少有1人击中目的”的概率为（4）（法1）：“至多有1人击中目的”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：（法2）：“至多有1人击中目的”的对立事
29、务是“2人都击中目的”，故所求概率为例 3.在一段线路中并联着3个自动限制的常开开关，只要其中有1个开关可以闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关可以闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关，可以闭合为事务，由题意，这段时间内3个开关是否可以闭合互相之间没有影响依据互相独立事务的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是这段时间内至少有1个开关可以闭合，从而使线路能正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是变式题1：如图添加第四个开关及其它三个开关串联，在某段时间内此开关可以闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概
30、率变式题2：如图两个开关串联再及第三个开关并联，在某段时间内每个开关可以闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要解除开且及至少有1个开的状况例 4.已知某种高炮在它限制的区域内击中敌机的概率为0.2（1）假定有5门这种高炮限制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事务为(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未
31、击中敌机的事务为事务，互相独立，敌机未被击中的概率为敌机未被击中的概率为（2）至少须要布置门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-令，两边取常用对数，得至少须要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思索方法采纳这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动互相之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )2从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内
32、各摸出1个球，那么等于（ ）2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率 2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率3电灯泡运用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在运用1000小时后坏了1个的概率是（ ）0.128 0.096 0.104 0.3844某道路的、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）5（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，假如它们预报精确的概率分别是0.8及0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报精确的概率是 6
33、棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 （2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 7一个工人负责看管4台机床，假如在1小时内这些机床不须要人去照看的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否须要照看互相之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不须要人去照看的概率.8制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，
34、问获得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2) 6.(1) , (2) , 7. P=8. P=9. 提示： 五、小结 ：两个事务互相独立，是指它们其中一个事务的发生及否对另一个事务发生的概率没有影响一般地，两个事务不行能即互斥又互相独立，因为互斥事务是不行能同时发生的，而互相独立事务是以它们可以同时发生为前提的互相独立事务同时发生的概率等于每个事务发生的概率的积,这一点及互斥事务的概率和也是不同的 223独立重复试验及二项分布一、复习引入：1 事务的定义：随机事务：在肯定条件下可能发生也可能不发生的事务；必定事务：在肯定条件下必定发生的事务；不
35、行能事务：在肯定条件下不行能发生的事务2随机事务的概率：一般地，在大量重复进展同一试验时，事务发生的频率总是接近某个常数，在它旁边摇摆，这时就把这个常数叫做事务的概率，记作3.概率确实定方法：通过进展大量的重复试验，用这个事务发生的频率近似地作为它的概率；4概率的性质：必定事务的概率为，不行能事务的概率为，随机事务的概率为，必定事务和不行能事务看作随机事务的两个极端情形 5根本领件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事务）称为一个根本领件6等可能性事务：假如一次试验中可能出现的结果有个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每个根本领件的概率都是，这种事务叫等可能性事务7等可能性事务的概率：
36、假如一次试验中可能出现的结果有个，而且全部结果都是等可能的，假如事务包含个结果，那么事务的概率8等可能性事务的概率公式及一般求解方法9.事务的和的意义:对于事务A和事务B是可以进展加法运算的10 互斥事务:不行能同时发生的两个事务一般地：假如事务中的任何两个都是互斥的，那么就说事务彼此互斥11对立事务:必定有一个发生的互斥事务12互斥事务的概率的求法:假如事务彼此互斥，那么13互相独立事务：事务（或）是否发生对事务（或）发生的概率没有影响，这样的两个事务叫做互相独立事务若及是互相独立事务，则及，及，及也互相独立14互相独立事务同时发生的概率：一般地，假如事务互相独立，那么这个事务同时发生的概率
37、，等于每个事务发生的概率的积， 二、讲解新课：1独立重复试验的定义：指在同样条件下进展的，各次之间互相独立的一种试验2独立重复试验的概率公式：一般地，假如在1次试验中某事务发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事务恰好发生次的概率它是绽开式的第项3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事务可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事务发生的次数是一个随机变量假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP由于恰好是二项绽开式中的各项的值，所以称这样的随机变量听从二项分布
38、（binomial distribution )，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)三、讲解范例：例1某射手每次射击击中目的的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目的的概率； (2)至少有 8 次击中目的的概率（结果保存两个有效数字) 解：设X为击中目的的次数，则XB (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目的的概率为 P (X = 8 ) .(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目的的概率为 P (X8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) 例2（2000
39、年高考题）某厂消费电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中随意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布解：依题意，随机变量B(2，5%)所以，P(=0)=(95%)=0.9025，P(=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025因此，次品数的概率分布是012P0.90250.0950.0025例3重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为，求P(3)解：依题意，随机变量BP(=4)=，P(=5)=P(3)=P(=4)+P(=5)= 例4某气象站天气预报的精确率为，计算（结果保存两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次精确的概率；（2）5次预报中至少有4次精确的概率
40、解：（1）记“预报1次，结果精确”为事务预报5次相当于5次独立重复试验，依据次独立重复试验中某事务恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次精确的概率答：5次预报中恰有4次精确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次精确的概率，就是5次预报中恰有4次精确的概率及5次预报都精确的概率的和，即答：5次预报中至少有4次精确的概率约为0.74例5某车间的5台机床在1小时内须要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台须要工人照管的概率是多少？（结果保存两个有效数字）解：记事务“1小时内，1台机器须要人照管”，1小时内5台机器须要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台须要工人
41、照管的概率，1小时内5台机床中恰有1台须要工人照管的概率，所以1小时内5台机床中至少2台须要工人照管的概率为答：1小时内5台机床中至少2台须要工人照管的概率约为点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6某人对一目的进展射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次记事务“射击一次，击中目的”，则射击次相当于次独立重复试验，事务至少发生1次的概率为由题意，令，至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，直到停9次从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不