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1、2.1 离散型随机变量及其分布列随机变量问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？提示：X0,1,2,3，10.1随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量1随机变量是
2、将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们例如，掷一枚硬币，X1表示正面向上，X0表示反面向上2并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.离散型随机变量的分布列投掷一枚骰子，所得点数为X.问题1：X可取哪些数字？提示：X1,2,3,4,5,6.问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于.问题3：你能用表格表示X与p的对应关系吗？提示：列表如下：X123456p1分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(
3、Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列2分布列的性质(1)pi0，i1,2,3，n；(2)i1.1离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且还能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础2离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示.两个特殊分布问题1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况，在性别这一方面共有几种情况？提示：两种问题2：在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式提示：.1两
4、点分布称分布列X01P1pp为两点分布列若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率2超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.称分布列X01mP为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布1一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0,1两个，故又称为01分布2超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出X所有可能取值
5、的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值离散型随机变量写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.X0，表示抽出0件次品；X1，表示抽出1件次品；X2，表示抽出2件次品；X3，表示抽出3件次品；X4，表示抽出的全是次品(2)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3.X0，表示取出0个白球，3个黑球；X1，表示取出1个白球，2个黑球；X2，
6、表示取出2个白球，1个黑球；X3，表示取出3个白球，0个黑球这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的四个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)某公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长解：(1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，出现哪一个结果是
7、随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量.离散型随机变量分布列的性质设随机变量X的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.(1)由Pak(k1,2,3,4,5)，可知ka2a3a4a5a1，解得a.(2)由(1)可知P(k1,2,3,4,5)，所以PPPP(X1).(3)PPPP.在求解有关离散型随机变量
8、性质的题目时，记准以下两条即可(1)pi0，i1,2，n；(2)i1.若离散型随机变量X的分布列为：X01P9C2C38C试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知：P(X0)P(X1)1，即9C29C31，得C或C.又因为解得C，所以C.离散型随机变量的分布列(天津高考节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列(1)由已知，有P(A).
9、所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故其分布列为X1234P超几何分布的应用在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品(1)顾客
10、甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列为X01P(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖故所求概率P.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1解决此类问题的关键是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下
11、两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数2若随机变量X服从超几何分布，则可直接代入超几何分布的概率公式求解从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为X的分布列解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N15，M2，n3，X可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P(12分)口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列随机变量X的可能取值为3,4,5,6.(2分)
12、所以，P(X3)，(4分)P(X4)，(6分)P(X5)，(8分)P(X6).(10分)因此随机变量X的分布列为X3456P(12分)从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为Coal(3,6).事件“X4”包含的基本事件总数为Coal(2,3)(取出的3个球恰含有4号球和1，2，3号球中的2个).口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记X表示取出的红球个数，求X的分布列解：随机变量X的可能取值为0,1,2,3.且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，因此随机变量X的分布列为X0123P1袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球
13、，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是()A25B10C7 D6解析：选Cy的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个2一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A. B.C. D.解析：选B由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X1).3某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且cab，X023Pabc则这名运动员得3分的概率是_解析：由题中条件，知2bac，cab，再由分布列的性质，知abc1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a，b，c，所以得3分的概率是.答案：4在掷一枚
14、图钉的随机试验中，令X如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X的分布列为_解析：随机变量X服从两点分布，且P(X0)P(X1)1，由P(X1)0.8，可得P(X0)10.80.2，故可写出X的分布列答案：X01P0.20.85一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球(1)从中任意摸出一个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X求X的分布列(2)从中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“1”表示两个球不全是白球，求的分布列解：(1)由题意知P(X0)，P(X1).所以X的分布列如下表：X01P(2)由题意知P(0)，P(1)1P(0).所以的分布列如下表：01P一、选择题1下
15、列不是离散型随机变量的是()某机场候车室中一天的游客量为X；某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；某水文站观察到一天中长江的水位为X；某立交桥一天经过的车辆数为X.A中的XB中的XC中的X D中的X解析：选C中随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量2抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A0X5，XNB5X0，XZC1X6，XND5X5，XZ解析：选D两次掷出点数均可取16所有整数，X，XZ.3若随机变量X的分布列为P(Xi
16、)(i1,2,3)，则P(X2)等于()A. B.C. D.解析：选D由分布列的性质，可得1，解得a3，则P(X2).4某10人组成兴趣小组，其中有5名团员从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X3)等于()A. B.C. D.解析：选DP(X3)5一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)解析：选B本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球二、填空题6抛掷两枚骰子，设所得点数之和为X，那么X4表示的随机试验结果是_
17、解析：抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，所以X4133122表示的随机试验结果是一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点答案：一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点7某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_解析：设X表示选修A课程的学生数，由题意知，X服从超几何分布，其中N50，M15，n2.依题意所求概率为P(X1).答案：8从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下：012Px1x2x3
18、则x1，x2，x3的值分别为_解析：的可能取值为0,1,2.P(0)0.1，P(1)0.6，P(2)0.3.答案：0.1,0.6,0.3三、解答题9一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为，若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判定的随机变量类型解：由题意可得56，而可能的取值范围为0,1,2,3，对应的各值是：506,516,526,536.故的可能取值为6,11,16,21显然，为离散型随机变量10某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量/件0123频数1595试销结束后(假设该商品的日
19、销售量的分布规律不变，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列解：(1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X2)P(当天商品销售量为1件)；P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).故X的分布列为X23P11甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列解：(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以甲答对试题数X的分布列为X0123P(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y5,10,15.P(Y5)，P(Y10)，P(Y15).所以乙所得分数Y的分布列为Y51015P第 20 页