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1、必修4 第二章 平面对量一、学问纲要1、向量的相关概念：（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为或。 向量又称矢量。留意 向量和标量的区分：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。一般的数量都是标量，力是一种常见的向量。向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意挪动。（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。记作：|或。 留意 向量本身不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。（3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为，零向量的方向是随意的。留意 0； 及0的区分：写法
2、的区分，意义的区分。（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。留意 若向量是单位向量，则= 1 。2、 向量的表示：（1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，留意：方向是“起点指向终点”。（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以及轴、轴正方向一样的两个单位向量、为基底向量，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。此时=。若已知，则， 即终点坐标减去起点坐标。特殊的，假如向量的起点在原点，那么向量的坐标数值及向量的终点坐标数值一样。3、 向量之间的关系： （1）平行（共线）：对于两个非零向量
3、，若它们的方向一样或相反的，那么就称这种关系为平行，记作。换言之，方向一样或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。互相平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为 = 00或1800 。由于向量可以进展随意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同始终线上，故平行向量也称为共线向量。留意 数学中探讨的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以随意选取，如今必需区分清晰共线向量中的“共线”及几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”及几何中的“平行”是不一样的。 规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰是否有“非零向量”这个条件。 平行
4、向量无传递性（因为有).（2） 不平行：对于两个非零向量和，假如平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。此时，它们夹角的范围是 （0，）。特殊的，当 =（即900）时，称为两个向量垂直，记为。4、 由向量之间的关系引出的术语：（1） 同向向量：假如两个向量方向一样（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个向量是同向向量。 = 0（2） 反向向量：假如两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180度），那么就称这两个向量是反向向量。 =留意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不探讨模长的大小关系。（3） 相等向量： 长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，记为。留意：
5、 相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的晋级版。 相等向量的坐标表达为： 若，且，则。即向量相等具有传递性。（4） 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量， 的相反向量记为，的相反向量记为：或，零向量的相反向量仍是零向量。留意： 相反向量是反向向量的晋级版，要求方向相反，且大小相等，即|。 若为相反向量，则 。 相反向量的坐标表达为： 双重取反必复原：=。5、向量的线性运算：（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。留意 加法性质： ，任何向量及零向量的和都是任何向量； +()=()+=，一对相反向量的和肯定为零向量； 向量加法满意交换律：+=+； 向量加法满意结合律：（
6、+）+=+（+）；（2）向量减法：求两个向量差的运算叫做向量的加法。记作：，即求两个向量及的差，等于向量加上的相反向量。留意 +()=()+=； 若、是互为相反向量，则=,=,+=.小结 加减法的运算法则：（作图）“三角形法则” “平行四边形法则”说明：向量加法有“三角形法则”及“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点及已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当
7、两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必需“首尾相连”（3）向量的数乘运算：实数及向量的积是一个向量，所得的结果表示：在的方向（或的相反方向）取倍构成一个新向量，记作。的长度及方向规定如下： 当时，的方向及的方向一样；当时，的方向及的方向相反；当时，方向是随意的 数乘向量满意交换律、结合律及安排律：6、向量的投影和数量积：(1) 两个向量的数量积：已知两个非零向量及，它们的夹角为，则=cos叫做及的数量积（或内积） 规定(2) 向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的肯定值称为射影(3) 数量积的
8、几何意义： 等于的长度及在方向上的投影的乘积(4)、向量的模及平方的关系：（5）、乘法公式成立： （6）平面对量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：安排律成立：特殊留意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7、向量的坐标运算：（1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标: 已知，则， 即终点坐标减去起点坐标。（2）已知向量的坐标，求向量的模: 已知，则=；已知，则，此时，本公式等价于“两点间间隔 公式: 已知则”。（3）已知两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积：加减：已知，则，即对应横纵坐标相加减。数乘：已知，则，即倍数对坐标作安排。数量积：
9、已知，则，即对应坐标之积再相加。（4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或夹角余弦值：已知，则。 8、 向量的夹角已知两个非零向量及，作=, =,则AOB= （）叫做向量及的夹角，记为。留意 探讨向量夹角时，必需将两个向量的起点挪动到同一点上； 当且仅当两个非零向量及同方向时， 当且仅当及反方向时 及其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 cos= 向量夹角及数量积的关系： 当为锐角时，0（反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不肯定构成锐角，可能是平行且同向）；当为钝角时，0。（反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不肯定构成钝角，可能是平行且反向）9、平面对量的根本定理假如是一个平面内的
10、两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底。若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对及之对应，当这组基底是两个互相垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，及向量对应的实数对就是坐标。10、向量垂直（共线）的根本定理（1）共线： ，此为向量平行的符号表达。若，则或，此为向量平行的坐标表达。留意 对于“”，当时，可以看成是非零向量的0倍（即），所以规定“零向量及任何非零向量平行”。（2）垂直：非零向量满意： ，此为向量平行的符号表达。若，则，此为向量平行的坐标表达。 即：两个
11、向量非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。 若中有一个向量是零向量，则数量积肯定为0，此时无需探讨是否垂直。所以规定“零向量及任何非零向量平行”，但是不规定“零向量及任何非零向量垂直”。11、有向线段的定比分点（1）、定义：设点P是直线PP上异于P、P的随意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。（简称：点P为定比分点）（2）、的符号及分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时0；当P点在线段PP的延长线上时；当P点在线段 PP的延长线上时1；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。（3）、线段的定比分点公式：设、
12、，分有向线段所成的比为，则分点的坐标为，即。特殊地，当1时，就得到线段PP的中点公式。二、经典例题【例1】 已知A（1,2），B（4,2），则向量的坐标为：= ；向量的模为：|= ；把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是 。【例2】 平面上，把一个图形整体向某个方向挪动一段间隔 ，若挪动前点A坐标为（-2,3），挪动后，点A的对应点A坐标为（2，-1），则平移向量为= ，挪动的间隔 为 。【例3】下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是 。【例 4】给出下列命题
13、： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=； =的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 【例 5】求参数的值：（1）设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求k（2） 已知向量，且，务实数的值【例 6】 推断下列各命题正确及否：（1）； （2）； （3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对随意向量都成立；（6）对随意向量，有【例 7】已知，按下列条件务实数的值 （1）；（2）；【例 8】平移（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_【例 9】定比分点（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（2）已知，直线及线段交于，且，则等于_（3）若点分所成的比为，则分所成的比为_【例 10】坐标及模（1）设，且，则C、D的坐标分别是_（2）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_【例 11】已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值【例 12】已知中，,及交于点，求点的坐标。【例 13】已知三个点。（1）求证：;（2）要使为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹的锐角的余弦值。