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1、第2章 平面对量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分第 - 8 - 页一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于 .2. 有下列四个关系式：|ab|=|a|b|;|ab|a|b|;|ab|a|b|;|ab|a|b|.其中正确的关系式是 .3.在ABC中，AB边上的高为CD,若=a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则= .4.已知向量a=(2,1),a b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，yR,向量a=(x,1),b=(1
2、,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|= .6.设a=(，tan )，b=(cos ，)，且ab，则锐角的值为 .7.点P为ABC所在平面内任一点，且+=，则点P与ABC的位置关系是 .8.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是 .若ab=0，则a=0或b=0;若a=0，=0或a=0;若a2=b2，则a=b或a=-b;若ab=ac，则b=c.9. 在ABC所在平面存在一点O使得 + + = 0，则面积 = .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标是 .11.已知平面上三点A、B、C满意|=3，|=4，|=5，则+的值等于 .12.已知点A
3、（1，-2），若向量与a=（2，3）同向，|=，则点B的坐标为 .13. 设=(3，1)，=(-1，2)， , ,又+=，则的坐标 是 . 14.若对n个向量a1，a2，an存在n个不全为零的实数k1,k2,kn，使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑全部状况）.二、解答题（解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，dR，求证：（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2
4、）.16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a（3，2），b（-1，2），c=（4，1）.（1）求满意a=mb+nc的实数m,n；（2）若（a+kc）(2b-a)，务实数k；（3）设d=(x,y)满意（d-c）(a+b)，且|d-c|1，求向量d.18.（14分）设平面内两向量a与b相互垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为 500 m，一条船
5、从A处动身航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|= 4 km/h，那么v1与v2的夹角（准确到1）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（准确到0.1 min）第2章 平面对量（数学苏教版必修4）答题纸 得分： 一、填空题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题15.16.17.18.19.第2章 平面对量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a+c-b 解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，A DO B C结合图形有=+=+=+-=a+c-b.2. 解析：|ab|=|a|b|
6、cos |a|b|,其中为a与b的夹角.3. a-b 解析：利用向量的三角形法则求解.Cb a A D B如图， ab=0， ab， ACB=90， AB=.又CDAB, AC2=ADAB， AD=. =（a-b）=a-b.4.5 解析：a+b2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=50，即5+210+|b|2=50, |b|=5.5. 解析：利用平面对量共线和垂直的条件求解. a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,-4）,由ac得ac=0,即2x-4=0, x=2.由bc,得1（-4）-2y=0, y=-2. a=（2,1）,b=（1,-2）. a+b=（3,-1）, |a+
7、b|=.6. 解析： ab， -tan cos =0，即sin =， =.7. P在AC边上 解析： +=， +=+=，即=2. A、C、P三点共线，即P在AC边上.8. 解析：取a=（1，0），b=（0，-1），满意条件ab=0，a2=b2，但不能推得a=0或b=0，a=b或a=-b，故选项、均假；向量数量积运算不满意消去律，故选项假. 9. 解析： + + = 0 ， + = ，设 + =， O是AD的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，面积之比等于三角形的高之比，比值是，10. （，） 解析：设b=（x，y），则|b|=|a|=，ab=|a|b|cos=，即x2+y2=5，x+
8、2y=，解得x=，y=（舍去x=，y=）.故b=（，）.11.-25 解析：|2+|2=|2， ABC为直角三角形，ABBC，cos A=，cos C=.原式=340+45()+53()=.12.（5，4） 解析：设=（x，y）， 与a同向， =a（0），即（x，y）=（2，3）. 又|=2， x2+y2=52. 42+92=52，解得=2（负值舍去）. 点B的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设=(x,y),由,得-x+2y=0.由=-=(x+1,y-2), ,得(x+1)-3(y-2)=0.由联立，解得x=14,y=7.故=-=(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c
9、,2c,c(c0)中一组即可，如-4，2，1等解析：由k1a1+k2a2+k3a30得 k1=-4c,k2=2c,k3=c(c0).二、解答题15.证明：引入向量a=（a，b），b=（c，d）.设向量a、b的夹角为，则（ac+bd）2=（ab）2=（|a|b|cos ）2（|a|b|）2=（a2+b2）（c2+d2）.16.解：引入向量a=（x+a，b），b=（c-x，d），则原函数变为f（x）=|a|+|b|. f（x）=|a|+|b|a+b|=. 函数f（x）的最小值为.17.解：（1）因为a=mb+nc,所以（3，2）（-m+4n,2m+n）,所以（2）因为（a+kc）(2b-a),又a
10、+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2（3+4k）+5（2+k）0，即k=-.（3）因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又（d-c）(a+b),|d-c|=1，所以所以d=（）,或d=（）.18.解：（1） ab， ab=0.又xy， xy=0，即a+（t-3）b（-ka+tb）=0，-ka2-k（t-3）ab+tab+t（t-3）b2=0.将|a|=2，|b|=1代入上式得-4k+t2-3t=0，即k=f（t）=（t2-3t）.（2）由（1）知k=f（t）=（t2-3t）=（t-）2, 当t=时，k最小=.19.解：如图，依据向量的平行四边形法则和解三角形学问可得| v1|2=| v |2+| v 2|2，得| v|= =9.2（km/h）.v1 vA v2 cos（-）=， -，即=114，时间t=（h）,即约3.3 min.答：v1与v 2的夹角约为114时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min.