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1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.以下说法中不正确的是()A.零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析只有C是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.答案C2.已知集合M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,则MN等于()A.(1,1)B.(1,1),(-2,-2)C.(-2,-2)D.解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+(3,4),(x-1,y-2)=(3,4),x-1=3,y-2=4,x-13=y-
2、24.对于N,(x,y)=(-2,-2)+(4,5),(x+2,y+2)=(4,5),x+2=4,y+2=5,x+24=y+25.由解得x=-2,y=-2,故MN=(-2,-2).答案C3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-12a+32bB.12a-32bC.32a-12bD.-32a+12b解析设c=xa+yb,因此,x+y=-1,x-y=2,解得x=12,y=-32,因此,c=12a-32b.答案B4.(2018全国高考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(
3、-1)=3.答案B5.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=()A.5B.10C.25D.10解析由ac得ac=2x-4=0,所以x=2,由bc得1(-4)=2y,所以y=-2,于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),从而|a+b|=10.答案B6.在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.13C.-13D.-23解析AD=2DB,CD-CA=AD=23AB=2DB=2(CB-CD),即得CD=13CA+23CB,由已知条件CD=13CA+CB可得=23.答案A7.(2
4、018全国高考)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.答案A8.在ABC中,ACB=90,且CA=CB=3,点M满足BM=2MA,则CMCB=()A.2B.3C.4D.6解析如图,CM=CA+AM=CA+13AB=CA+13(CB-CA)=23CA+13CB,CMCB=23CACB+13|CB|2=230+1332=3.答案B9.若非零向量a,b满足|a|=223|b|
5、,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()A.4B.2C.34D.解析由(a-b)(3a+2b)知(a-b)(3a+2b)=0,即3|a|2-ab-2|b|2=0.设a与b的夹角为,所以3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,即3223|b|2-223|b|2cos -2|b|2=0,整理,得cos =22,故=4.答案A10.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内,AOC=56,且|OC|=2,若OC=OA+OB,则,的值是()A.3,1B.1,3C.-1,3D.-3,1解析根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.答案D11.若点O为
6、平面内任意一点,且(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形解析由(OB+OC-2OA)(AB-AC)=0得(AB+AC)(AB-AC)=0,AB2-AC2=0,即|AB|=|AC|.AB=AC,ABC是等腰三角形.由题意不能判定ABC为直角三角形.答案C12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为
7、()A.23B.3C.6D.0解析设S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,若S的表达式中有0个ab,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个ab,则S=a2+b2+2ab,记为S2;若S的表达式中有4个ab,则S=4ab,记为S3.又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)20,S1-S2=a2+b2-2ab=(a-b)20,S2-S3=(a-b)20,所以S3S2S1,故Smin=S3=4ab.设a,b的夹角为,则Smin=4ab=8|a|2cos =4|a|2,即cos =12,又0,所以=3.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共
8、20分)13.已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.解析由|2a-b|=10可得,4|a|2-4ab+|b|2=10,所以4-41|b|cos 45+|b|2=10,即|b|2-22|b|-6=0,解得|b|=32.答案3214.已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且AC=2CB,则实数a=.解析根据题意,设C(x,x),由A(7,1),B(1,a),得AC=(x-7,x-1),CB=(1-x,a-x).又AC=2CB,(x-7,x-1)=2(1-x,a-x),x-7=2-2x,x-1=2a-2x,解得x=3,a=4,实数a的值为
9、4.答案415.函数y=tan4x-2的部分图像如下图所示,则(OB-OA)OB=.解析依题意知A(2,0),B(3,1),OB=(3,1),OA=(2,0),OB-OA=(1,1),(OB-OA)OB=4.答案416.如图,在ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则OA(OB+OC)的最小值是.解析如题中图,设MA=a,则|a|=2.因为O为中线AM上的动点,所以MO=tMA=ta(0t1),故OA=MA-MO=(1-t)a.因为M是BC的中点,所以OB+OC=2OM=-2ta.所以OA(OB+OC)=(1-t)a(-2ta)=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8t-122-
10、2.所以,当t=120,1时,最小值为-2.答案-2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平行四边形OADB中,设OA=a,OB=b,BM=13BC,CN=13CD.试用a,b表示OM,ON及MN.解由题意知,在平行四边形OADB中,BM=13BC=16BA=16(OA-OB)=16(a-b)=16a-16b,则OM=OB+BM=b+16a-16b=16a+56b.ON=23OD=23(OA+OB)=23(a+b),则MN=ON-OM=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=12.(1)求
11、|b|;(2)当ab=12时,求向量a与b的夹角的值.解(1)因为(a-b)(a+b)=12,即a2-b2=12.所以|b|2=|a|2-12=1-12=12,故|b|=22.(2)因为cos =ab|a|b|=22,又0180,故=45.19.(12分)已知向量a,b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.(1)证明因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=5a+5b=5AB,因此AB与BD共线.又点B为AB与BD的公共点,所以A,B,D三点共线.(2)解因为
12、ka+b与2a+kb共线,则存在实数使ka+b=(2a+kb),所以k=2,1=k,所以k=2.20.导学号93774086(12分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系,x轴正方向指向东,y轴正方向指向北.一个单位长度表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6分时路过少年宫C,10分后到达科技馆B(-3,5).(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示).(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置.提示:tan182613解(1)依题意知AB=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).|AB|=(-5)2+52
13、=52,xAB=135.所以此人沿北偏西45方向走了5002米.因为t=16时,所走的实际距离s=|AB|100=5002(米),所以|v|=st=3 0002(米/时)=302(百米/时),所以|v|cos 135=-30,|v|sin 135=30,所以v=(-30,30).(2)因为AC=610AB=35AB,OC=OA+AC=(2,0)+35(-5,5)=(-1,3),所以|OC|=10,又tanCOy=13,所以COy=1826,即少年宫C位于距离广场中心10010米,且在北偏西1826处.21.(12分)如图所示,在平面斜坐标系xOy中,xOy=60,平面上任意一点P关于斜坐标系的
14、斜坐标是这样定义的:若OP=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.解(1)因为点P的斜坐标为(2,-2),所以OP=2e1-2e2,所以|OP|2=(2e1-2e2)2=4e12-8e1e2+4e22=8-811cos 60=8-4=4,所以|OP|=2,即点P到原点O的距离为2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y),则OM=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,则x2e12+2xye1e2+
15、y2e22=1,即x2+y2+xy=1,故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.22.导学号93774088(12分)设ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=14AB,且对于边AB上任一点P,恒有PBPCP0BP0C,求证:AC=BC.证明设PB=tAB(0t1),PC=PB+BC=tAB+BC,PBPC=(tAB)(tAB+BC)=t2AB2+tABBC.由题意PBPCP0BP0C,即t2AB2+tABBC14AB14AB+BC=142AB2+14ABBC,即当t=14时PBPC取得最小值.由二次函数的性质可知-ABBC2AB2=14,即-ABBC=12AB2,AB12AB+BC=0.取AB中点M,则12AB+BC=MB+BC=MC,ABMC=0,即ABMC.AC=BC.