向量在中学数学中的应用.doc

《向量在中学数学中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量在中学数学中的应用.doc（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、向量在中学数学中应用1、向量与图形运用向量解决、研究图形问题，一般情况下，有两种途径：一是选择适当基底，其它有向线段用基底线性表示，然后通过向量运算求解；二是建立适当坐标系，运用向量或点坐标运算求解。终究用哪一种方法，可视具体问题而定。下面举例说明之。例1 P、Q过OAB重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n, 求证： +=3。分析 这是涉及到比例问题，运用向量加法、数乘运算即可。图7-23中有众多线段，不妨以不共线向量、为基底，其它有向线段用基底线性表示。设 =a，=b， 那么=( a+b), =( a+b)，=m,=n。=-=(-m) a+b, =-= nb ma。 P、Q、G共线，存在，

2、使=， 即(-m) a+b=nb ma。 整理，得(-m+m)a +nb=0， 于是，-m+m=0， n=0，消去，得+=3。例2 ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN与CN 交于点E，AB=m，AC=n,BAC=60，求AE之长.解 问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量三种运算求解。 选择 =a， =b 为基底，那么= ab, =ab。因N、E、B共线, C、E、M共线，故存在实数,，使 =(a-b), =(a-b)。+=0 ， b +(a-b)- ( a-b)=0 ， (+)b + ()a=0 。 a,b不共线，解得=，= 。=+=b +(a-b)= a+ b

3、|=。例3 在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证：平面AED平面A1FD1。证 欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面法向量相互垂直即可。由于ABCD- A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标运算来解决。以A为原点，分别以、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图7-25，那么D(0,1,0)、E(1, 0,) 、F(,1,0) 、A1(0,0,1)、D1(0,0,1)，于是=(0,1,0), =(1, 0,), =(0,1,0), =(,1,0) 。 设平面ADE法向量为n1=(x,y,z)，而、在平面ADE内，所以有n1

4、, n1，求得y=0，x=-z, 所以平面ADE一个法向量为n1= (,0,1) 。 同理，求得平面A1F1D1一个法向量n2= (1, 0,) 。n1 . n2=0, n1 n2。平面ADE平面AFD1。例4 在正四面体ABCD中，E、M分别是AB，AC中点，N为面BDC中心图7-26，求DE，MN之间夹角。解 令=a, =b, =c，那么=(a+b)，=+ =(b+c) +c+(ac) =-b+ c+ |=|= ， .=(-b+ c+a).( a+b)= ， cos=。从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线，直线与平面或两个平面夹角，根本途径一样，寻找能表示两个元素方向向量a、b，然后利

5、用公式cos= 。 例5 正四棱锥SABCD两相对侧面SAD和SBC 相互垂直，求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角大小。图7-27解 求平面夹角问题可以转化为求平面法向量夹角问题。以底面ABCD中心O为坐标原点，建立如下图坐标系Oxyz，Ox/AD，Oy/AB。 设底面边长为2a，高为h，那么=(2a,0,0), =(-a,a,h) 设平面SAD一个法向量为n1=(x,y,z)，那么由n1、 n1，得平面SAD一个法向量n1=(0,-h,a) , 又=(2a,0,0) ,=(-a,-a,h) ， 同理求得平面SBC一个法向量n2=(0,-h,-a) 。 平面SAD平面SBC, n1n2 得h

6、2=a2，h=a。 此时n1= (0,-1,-1)， n2= (0,-1,-1) 。 又=(0,2a, 0) ，=(-a,a, h)，,同理求得平面SAB一个法向量n3= (1,0,1)，cos=。平面SAB，SBC所成二面角度数为120。从此例可以看出，用向量求二面角，可防止寻找二面角平面角麻烦。 向量除了用来求角度，还可以用来求各种距离，前面已举过这方面例子，不再赘述，最后举几例在高考或高考摸拟中出现向量综合题。 例6 如图7-28，矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a0) ，PA平面ABCD（1） 问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由；（2） 假设PA=1，且BC边上有且只

7、有一点Q，使PQQD，求这时二面角QPDA大小 解 1 以A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系，那么B(1,0,0)、D(0,a,0)、P(0,0,c),、C(1,a,0) ，设Q(1,x,0)，那么 =(-1,a-x,0),=(1,x,-c) ，假设Q点存在,由，得 -1+a-xx=0，即x2-ax+1=0 此方程判别式=a2-4(a0)。所以，当a0时，方程有解，Q点存在，当0a2时，方程无解，Q点不存在。 2 由1知，当BC=a=2时，x=1,此时Q点为BC 中点，=(1,-1,0),=(0,2,-1) 设平面PQD法向量n1=(x,y,z), 那么由n, n,得x=y

8、,2y-z=0,n=(1,1,2)。又PAD法向量为=1，0，0，二面角Q-PD-A大小，满足cos=， =arccos。例7 平行六面体ABCD=ABCD底面ABCD是菱形,且CCB=CCD=BCD=60。 证明1CCBD；2当值是多少时，能使AC平面CBD2000年全国高考题？证 设 =a、 =b 、=c，以这三个向量为基向量，那么=b-a(1) = (b-a)c = bc- ac=(| b |-| a|)| c |cos60ABCD是菱形，=0，即BDCC。2欲使AC平面CBD，只须ACBD，且ACCD=+= a+b+c=b-a=( a+b+c)( b-a) = b2 a2 +c( b-

9、a)=0，即 ， 又=( a+b+c)( b-c) = ab+b2 +cb-ac-cbc2 而ab=| b |2, ac=| b | c |cos60 =| b |2| b | c | c2 (3| b |+2| c |)(| b|-| c|)=0| b |=| c |=1即当=1时，能使AC平面CBD。2 、 向量与解析几何 在直角坐标系里研究椭圆，双曲线，抛物线性质是平面解析几何主要内容，由于向量与坐标有着天然联系，因此，坐标结合向量研究曲线性质更为方便。 例8 椭圆+=1焦点为F1、F2，点P为其上一动点，当F1PF2是钝角时，点P横坐标取值范围。 解 此题涉及到角度，不妨用向量坐标求解

10、。设动点P(x,y)，易知F1-，0、F2，0，那么=(-x,-y)，=( -x,-y)，cos=，F1PF2为钝角充要条件是cos0，即。=(-x)( x)+y20，整理，得x2-5+y20。又点在椭圆+=1上，求得-x。例9 如图7-30，两点P(-2,2)、Q(0,2)，以及直线l：y=x，设有长为线段在直线l上移动，求直线PA和QB交点M轨迹方程。解 由于A,B在直线y=x上，令A(t，t)，由|AB|=知B(t+1,t+1)，设M(x,y)，M、B、Q三点共线，/ 。 又=(t+1-x,t+1-y) ，=(-t-1, 1-t),从而(t+1-x)(-t-1)+(t+1-y)( 1-t

11、)=0 ， 整理得(2-x-y)+t(x-y+2)=0 。 又M、A、P三点共线，/ 。 =(t-x,t-y), =(-2-t, 2-t), (t-x)(-2-t)+(t-y) (2+t)=0 ， 整理得-(2x+2y)+ (x-y+4) t =0 。 由，两式消去t，得x2+2x-y2-2y+8=0，即为所求轨迹方程。事实上，向量不仅在解决图形问题时有巨大威力，在解决不等式有关问题时也能另辟蹊径。3 、 向量与不等式运用向量解不等式有关问题时，常根据问题特点，构造相关向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2),，然后运用向量不等式(1)| a |-| b | a-b |a|+| b |； (

12、2) ab ab |a| b |来到达求解目。例10 f(x)= ,假设ab，证明 |f(a)f(b)|ab|证 f(a)= , f(b)= , 令a1=(1,a)，b1=(1,b), 那么f(a)=| a1| ，f(b)=| a2|， a1 a2=(0,ab) 于是：|f(a)f(b)|=| | a1| | a2| a1 a2|=| ab|。 在不等式| | a1| | a2| a1 a2|中，等号成立当且仅当a1、a2共线，而ab，这说明a1 、a2不同向，于是等号取不到，从而|f(a)f(b)|ab|。4 、 向量与函数例11 设0x1，a、b为非零常数，试求y=+最小值。解 设m=(,

13、) ，n=(,)，那么m.n=a+b，|m|=， n |=1，由mn|m|.|n|得a+b，即a+b2+。等号当且仅当m、n共线，即：=：时成立，求得当x=时，ymin=(a+b)2例12设 x、y、z是正实数，x+y+z=1，求w=+最小值。解 设m=(,)，n= (,)，那么|m|=,| n |=1，| |=6。由| mn | m|n | ，知6,36w当且仅当m,n共线，即:=:=:，即x=,y=,z=时等号成立，故wmin=36小 结：以上例子可以看出，向量在中学数学中有着十分广泛应用，用向量法解题，那么方法新颖、思路清晰、运算巧妙简捷。如果我们能在做题过程中，能够注意观察和认真分析问题，打破常规，构造向量用向量法解题，那么一定会构造出一个十分新颖而巧妙解题方法。向量在中学数学中应用主要包括向量与图形结合、向量与解析几何结合、向量与不等式结合、向量与函数结合、向量与复数结合等多方面。