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1、精选优质文档-倾情为你奉上向量在中学数学中的应用1、向量与图形运用向量解决、研究图形问题，一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基底，其它有向线段用基底线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。下面举例说明之。例1 已知P、Q过OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n, 求证： +=3。分析 这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量、为基底，其它有向线段用基底线性表示。设 =a，=b， 则=( a+b), =( a+b)，=m,=n。=-=(-m) a+b
2、, =-= nb ma。 P、Q、G共线，存在，使=， 即(-m) a+b=（nb ma）。 整理，得(-m+m)a +（n）b=0， 于是，-m+m=0， n=0，消去，得+=3。例2 已知ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN与CN 交于点E，AB=m，AC=n,BAC=60，求AE之长.解 问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量的三种运算求解。 选择 =a， =b 为基底，则= ab, =ab。因N、E、B共线, C、E、M共线，故存在实数,，使 =(a-b), =(a-b)。+=0 ， b +(a-b)- ( a-b)=0 ， (+)b + ()a=0 。 a,
3、b不共线，解得=，= 。=+=b +(a-b)= a+ b |=。例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证：平面AED平面A1FD1。证 欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。由于ABCD- A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标的运算来解决。以A为原点，分别以、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图7-25），则D(0,1,0)、E(1, 0,) 、F(,1,0) 、A1(0,0,1)、D1(0,0,1)，于是=(0,1,0), =(1, 0,), =(0,1,0), =(,1,0) 。 设平
4、面ADE的法向量为n1=(x,y,z)，而、在平面ADE内，所以有n1, n1，求得y=0，x=-z, 所以平面ADE的一个法向量为n1= (,0,1) 。 同理，求得平面A1F1D1的一个法向量n2= (1, 0,) 。n1 . n2=0, n1 n2。平面ADE平面AFD1。例4 在正四面体ABCD中，E、M分别是AB，AC的中点，N为面BDC的中心（图7-26），求DE，MN之间的夹角。解 令=a, =b, =c，则=(a+b)，=+ =(b+c) +c+(ac) =-b+ c+ |=|= ， .=(-b+ c+a).( a+b)= ， cos=。从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线
5、，直线与平面或两个平面的夹角，基本途径相同，寻找能表示两个元素方向的向量a、b，然后利用公式cos= 。 例5 已知正四棱锥SABCD两相对侧面SAD和SBC 相互垂直，求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角的大小。（图7-27）解 求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。以底面ABCD中心O为坐标原点，建立如图所示的坐标系Oxyz，Ox/AD，Oy/AB。 设底面边长为2a，高为h，则=(2a,0,0), =(-a,a,h) 设平面SAD的一个法向量为n1=(x,y,z)，则由n1、 n1，得平面SAD的一个法向量n1=(0,-h,a) , 又=(2a,0,0) ,=(-a,-a,
6、h) ， 同理求得平面SBC的一个法向量n2=(0,-h,-a) 。 平面SAD平面SBC, n1n2 得h2=a2，h=a。 此时n1= (0,-1,-1)， n2= (0,-1,-1) 。 又=(0,2a, 0) ，=(-a,a, h)，,同理求得平面SAB的一个法向量n3= (1,0,1)，cos=。平面SAB，SBC所成二面角的度数为120。从此例可以看出，用向量求二面角，可避免寻找二面角的平面角的麻烦。 向量除了用来求角度，还可以用来求各种距离，前面已举过这方面的例子，不再赘述，最后举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题。 例6 如图7-28，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a
7、(a0) ，PA平面ABCD（1） 问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由；（2） 若PA=1，且BC边上有且只有一点Q，使PQQD，求这时二面角QPDA的大小 解 （1） 以A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B(1,0,0)、D(0,a,0)、P(0,0,c),、C(1,a,0) ，设Q(1,x,0)，则 =(-1,a-x,0),=(1,x,-c) ，若Q点存在,由，得 -1+（a-x）x=0，即x2-ax+1=0 此方程的判别式=a2-4(a0)。所以，当a0时，方程有解，Q点存在，当0a2时，方程无解，Q点不存在。 （2） 由（1）知，当BC=a=2时，
8、x=1,此时Q点为BC 中点，=(1,-1,0),=(0,2,-1) 设平面PQD的法向量n1=(x,y,z), 则由n, n,得x=y,2y-z=0,n=(1,1,2)。又PAD的法向量为=（1，0，0），二面角Q-PD-A的大小，满足cos=， =arccos。例7 已知平行六面体ABCD=ABCD的底面ABCD是菱形,且CCB=CCD=BCD=60。 证明（1）CCBD；（2）当的值是多少时，能使AC平面CBD（2000年全国高考题）？证 设 =a、 =b 、=c，以这三个向量为基向量，则=b-a(1) = (b-a)c = bc- ac=(| b |-| a|)| c |cos60AB
9、CD是菱形，=0，即BDCC。（2）欲使AC平面CBD，只须ACBD，且ACCD=+= a+b+c=b-a=( a+b+c)( b-a) = b2 a2 +c( b-a)=0，即 ， 又=( a+b+c)( b-c) = ab+b2 +cb-ac-cbc2 而ab=| b |2, ac=| b | c |cos60 =| b |2| b | c | c2 (3| b |+2| c |)(| b|-| c|)=0| b |=| c |=1即当=1时，能使AC平面CBD。2 、 向量与解析几何 在直角坐标系里研究椭圆，双曲线，抛物线的性质是平面解析几何的主要内容，由于向量与坐标有着天然的联系，因此
10、，坐标结合向量研究曲线的性质更为方便。 例8 椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P为其上一动点，当F1PF2是钝角时，点P的横坐标的取值范围。 解 此题涉及到角度，不妨用向量的坐标求解。设动点P(x,y)，易知F1（-，0）、F2（，0），则=(-x,-y)，=( -x,-y)，cos=，F1PF2为钝角的充要条件是cos0，即。=(-x)( x)+y20，整理，得x2-5+y20。又点在椭圆+=1上，求得-x。例9 如图7-30，已知两点P(-2,2)、Q(0,2)，以及直线l：y=x，设有长为的线段在直线l上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程。解 由于A,B在直线y=x上，令A(t，t)
11、，由|AB|=知B(t+1,t+1)，设M(x,y)，M、B、Q三点共线，/ 。 又=(t+1-x,t+1-y) ，=(-t-1, 1-t),从而(t+1-x)(-t-1)+(t+1-y)( 1-t)=0 ， 整理得(2-x-y)+t(x-y+2)=0 。 又M、A、P三点共线，/ 。 =(t-x,t-y), =(-2-t, 2-t), (t-x)(-2-t)+(t-y) (2+t)=0 ， 整理得-(2x+2y)+ (x-y+4) t =0 。 由，两式消去t，得x2+2x-y2-2y+8=0，即为所求轨迹方程。事实上，向量不仅在解决图形问题时有巨大威力，在解决不等式有关问题时也能另辟蹊径。
12、3 、 向量与不等式运用向量解不等式有关问题时，常根据问题特点，构造相关向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2),，然后运用向量不等式(1)| a |-| b | a-b |a|+| b |； (2) ab ab |a| b |来达到求解的目的。例10 f(x)= ,若ab，证明 |f(a)f(b)|ab|证 f(a)= , f(b)= , 令a1=(1,a)，b1=(1,b), 则f(a)=| a1| ，f(b)=| a2|， a1 a2=(0,ab) 于是：|f(a)f(b)|=| | a1| | a2| a1 a2|=| ab|。 在不等式| | a1| | a2| a1 a2|中，等
13、号成立当且仅当a1、a2共线，而ab，这说明a1 、a2不同向，于是等号取不到，从而|f(a)f(b)|ab|。4 、 向量与函数例11 设0x1，a、b为非零常数，试求y=+的最小值。解 设m=(,) ，n=(,)，则m.n=a+b，|m|=， n |=1，由mn|m|.|n|得a+b，即（a+b）2+。等号当且仅当m、n共线，即：=：时成立，求得当x=时，ymin=(a+b)2例12设 x、y、z是正实数，x+y+z=1，求w=+的最小值。解 设m=(,)，n= (,)，则|m|=,| n |=1，| m.n |=6。由| mn | m|n | ，知6,36w当且仅当m,n共线，即:=:=:，即x=,y=,z=时等号成立，故wmin=36小 结：以上例子可以看出，向量在中学数学中有着十分广泛的应用，用向量法解题，则方法新颖、思路清晰、运算巧妙简捷。如果我们能在做题过程中，能够注意观察和认真分析问题，打破常规，构造向量用向量法解题，那么一定会构造出一个十分新颖而巧妙的解题方法。向量在中学数学中的应用主要包括向量与图形的结合、向量与解析几何结合、向量与不等式结合、向量与函数结合、向量与复数结合等多方面。专心-专注-专业