高中数学必修一复习提纲.docx

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1、第一章 集合及函数概念知识网络 集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数根本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素及集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或二： 集合间的根本关系 表示关系 文字语言符号语言相等集合A及集合B中的所有元素都一样且子集A中任意一元素均为B中的

2、元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，三：集合的根本运算两个集合的交集 ;两个集合的并集: =;设全集是U,集合,那么交并补方法:常用数轴或韦恩图进展集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进展集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进展集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被无视，因此要对结果进展检验；2集合的表示法

3、1列举法要注意元素的三个特性；2描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、等的差异，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：集合 A. ；B. ；C. ；D. 错解误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B正解 C； 显然，故(3)图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用图。3集合间的关系的几个重要结论1空集是任何集合的子集，即2任何集合都是它本身的子集，即3子集、真子集都有传递性，即假设，那么4集合的运算性质1交集：；，；2并集：；，；3交、并、补集的关系；热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合

4、元素的根本特征例12021年江西理定义集合运算：设，那么集合的所有元素之和为 A0；B2；C3；D6解题思路根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素解析：正确解答此题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的根本关系例2数集及之的关系是 A；B； C；D解题思路可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进展判断；也可依选择支之间的关系进展判断。解析 从题意看，数集及之间必然有关系，如果A成立

5、，那么D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，那么A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的方法就是严格根据题中的定义，逐个进展检验，不方便进展检验的，就设法举反例。新题导练 1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，假设集合参加北京奥运会比赛的运发动，集合参加北京奥运会比赛的男运发动，集合参加北京奥运会比赛的女运发动，那么以下关系正确的选项是 A B. C. D. 解析 D；因为全集为，而=全集=2(2006山东改编定义集合运算:,设集合,那么集合的所有元素之和为 解析18，根据的定义，得到，故的所

6、有元素之和为183(2007湖北改编设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 解析 ；因为，所以4研究集合，之间的关系解析 及，及都无包含关系，而；因为表示的定义域，故；表示函数的值域，；表示曲线上的点集，可见，而及，及都无包含关系考点二：集合的根本运算 例3 设集合，（1） 假设，求实数的值；2假设，求实数的取值范围假设，解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据条件求参数。解析因为，1由知，从而得，即，解得或当时，满足条件；当时，满足条件所以或2对于集合，由因为，所以当，即时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，才能满足条件，由根及系数的关系得，矛盾故实数的取值

7、范围是【名师指引】对于比拟抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进展化简。同时，要注意集合的子集要考虑空及不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 6假设集合，那么是 A. ；B. ；C.；D. 有限集解析 A；由题意知，集合表示函数的值域，故集合；表示函数的值域，故7集合，那么集合为 A.；B.；C.；D.解析D；表示直线及直线的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。8集合,且,求实数的值.解析 ；先化简B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.故所求实数的值为.备选例题1：，那么中的元素个数是 A. ；B. ；C.；D.无穷多个解析选A;集

8、合表示函数的值域,是数集,并且,而集合表示满足的有序实数对的集合,即表示圆上的点,是点集。所以，集合及集合中的元素均不一样，因而，故其中元素的个数为0误区分析在解答过程中易出现直线及圆有两个交点误选C；或者误认为中，而中，从而有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性是点集还是数集是准确进展有关集合运算的前提和关键。备选例题2：集合和集合各有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：()，且中含有3个元素；()表示空集解法一因为、各有12个元素，含有4个元素，因此，的元素个数是故满足条件()的集合的个数是上面集合中，还满足的集合的个数是因此，所求集合的个数是解法二由题

9、目条件可知，属于而不属于的元素个数是因此，在中只含有中1个元素的所要求的集合的个数为含有中2个元素的所要求的集合的个数为含有中3个元素的所要求的集合的个数为所以，所求集合的个数是抢分频道UBA根底稳固训练：1 09年吴川市川西中学09届第四次月考设全集, 那么右图中阴影局部表示的集合为 ( )A；B；C；D解析C；图中阴影局部表示的集合是，而，故2. 韶关09届高三摸底考 那么=A；B；C；D解析 A；因为，所以3. 苏州09届高三调研考集合的所有子集个数为 解析8；集合的所有子集个数为4.09年无锡市高三第一次月考集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，假设且，那么及的关系是 解析 或；

10、由子集和交集的定义即可得到结论5(2021年天津)设集合，那么的取值范围是 A；B C或；D或解析A；，所以，从而得综合提高训练：6,那么以下关系中立的是( ) A; B解析A；当时，有，即；当时，也恒成立，故，所以，记，那么( )A. ; B.; C. ; D. 解析 A；依题意得，所以，故应选A809届惠州第一次调研考设A、B是非空集合，定义，那么AB等于 A；B；C；D解析D；，0，2，1，A0, ，A1，2，那么AB第2讲 函数及映射的概念知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的

11、对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；及的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法那么2映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法那么，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素及之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：函数的定义域为，求的定义域误解因为函数

12、的定义域为，所以，从而故的定义域是正解因为的定义域为，所以在函数中，从而，故的定义域是即此题的实质是求中的范围问题2：的定义域是，求函数的定义域误解因为函数的定义域是，所以得到，从而，所以函数的定义域是正解因为函数的定义域是，那么，从而所以函数的定义域是即此题的实质是由求的范围即及中含义不同2 求值域的几种常用方法1配方法：对于可化为“二次函数型的函数常用配方法，如求函数，可变为解决2根本函数法：一些由根本函数复合而成的函数可以利用根本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。3判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，假设，那么得，所以是函数值域中的一个值；假设，

13、那么由得，故所求值域是4别离常数法：常用来求“分式型函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故5利用根本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，假设，那么假设，那么，从而得所求值域是6利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为7图象法：如果函数的图象比拟容易作出，那么可根据图象直观地得出函数的值域求某些分段函数的值域常用此法。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？1，；2，3，nN*；4，；5，解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考察函数的三要素。解析 1由于

14、，故它们的值域及对应法那么都不一样，所以它们不是同一函数.2由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.3由于当nN*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法那么都一样，所以它们是同一函数.4由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.5函数的定义域、值域和对应法那么都一样，所以它们是同一函数.答案1、2、4不是；3、5是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第5小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解

15、不透，在函数的定义域及对应法那么f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比方，都可视为同一函数.新题导练 1(2021佛山) 以下函数中及函数一样的是( )A = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. 解析 B；因为y = ，所以应选择B2(09年重庆南开中学)及函数的图象一样的函数是 A.；B.；C.； D.解析 C；根据对数恒等式得，且函数的定义域为，故应选择C考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域例2.08年湖北函数的定义域为( ).；C. . 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个局部都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数有意义

16、，必须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，那么认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；假设解析式由几个局部组成，那么定义域为各个局部相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原那么，实际问题的定义域不要漏写。题型2：求抽象函数的定义域例32006湖北设，那么的定义域为 A. ；B. ；C. ；D. 解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。解析由得，的定义域为，故解得。

17、故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即函数的定义为，那么函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，假设函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。题型3；求函数的值域例4函数，假设恒成立，求的值域解题思路应先由条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域解析依题意，恒成立，那么，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 3.2021安徽文、理函数的定义域为 解析 ；由解得4定义在上的函数的值域为，那么函数的值域为( )A；B；C；D无法确定 解析 B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一

18、个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5(2021江西改) 假设函数的定义域是，那么函数的定义域是 解析 ；因为的定义域为，所以对，但故6(2021江西理改)假设函数的值域是，那么函数的值域是 解析 ；可以视为以为变量的函数，令，那么，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2考点三：映射的概念例5 06陕西为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密，加密规那么为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，那么解密得到的明文为 A；B；C；D解题思路 密文及明文之间是有对应规那么的，只要按照对应规那么进展对应即可。解析 当接收方收到密文1

19、4，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：1集合A、B及对应法那么f是确定的，是一个整体系统；2对应法那么有“方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它及从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；3集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；4集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；5不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.新题导练 7集合3，4，5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是，从B到A的映射个数是.解析 9 , 8；从A到B可分两步进展：第一步A中的元素3可有3种对应方法可

20、对应5或6或7，第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1B到A，道理一样，有N22228种不同映射.8假设f 31是从集合1，2，3，k到集合4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解析 2，5，1，2，3，5，4，7，10，16；f1=31+1=4，f2=32+1=7，f3=33+1=10，fk=31，由映射的定义知1或2 aN，方程组1无解.解方程组2，得2或5舍，31=16，315，5.1，2，3，5，4，7，10，16.备选例题：03年上海集合是满足以下性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。1函数是否属于集合？说明理由；

21、2设函数的图象及的图象有公共点，证明： 解析1对于非零常数T，f(), (x). 因为对任意xR， 不能恒成立，所以f(x)=2因为函数f(x)a0且a1的图象及函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得,显然0不是方程的解，所以存在非零常数T，使. 于是对于f(x)有 故f(x)M.抢分频道根底稳固训练：1(2007广东改编) 函数的定义域为，的定义域为，那么 解析 ；因为,故2函数的定义域是 解析 ；由得到3函数的值域是 解析；由知，从而得，而，所以，即4广东从化中学09届月考从集合A到B的映射中,以下说法正确的选项是( )AB中某一元素的原象可能不只一个；BA中某一元素的象可能不只一

22、个CA中两个不同元素的象必不一样； DB中两个不同元素的原象可能一样解析A；根据映射的定义知可排除B、C、D5深圳中学09届高三第一学段考试以下对应法那么中，构成从集合A到集合的映射是 ABCD解析D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合的映射是D609年执信中学假设函数的定义域为,值域为，那么的取值范围是 A；B； C；D解析B；因为函数即为，其图象的对称轴为直线，其最小值为，并且当及时，假设定义域为，值域为，那么综合提高训练：805天津改设函数，那么函数的定义域是 解析 ；由得，的定义域为。故解得或。9设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有 个整数解析；因为，可见，在(是正整数)上

23、是增函数，又所以，在的值域中共有个整数第3讲 函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法那么用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：1假设函数的类型如一次函数、二次函数，那么用待定系数法；2假设复合函数的解析式，那么可用换元法或配凑法

24、；问题1二次函数满足，求方法一：换元法令，那么，从而所以方法二：配凑法因为所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以3假设抽象函数的表达式，那么常用解方程组消参的方法求出问题2：函数满足，求因为以代得由联立消去得热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数例1 09年广东南海中学一水池有个进水口, 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、点到点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下个论断：进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙1点到点只进水不出水；2点到点不进水只出水；3点到点不进水不出水那么一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路根据题意和所给出的图

25、象，对三个论断进展确认即可。解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是2【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉根本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图和“知图选式。新题导练1(05辽宁改)一给定函数的图象在以下图中，并且对任意，由关系式得到的数列满

26、足，那么该函数的图象是 A B C D 解析 A.；令，那么等价于，是由点组成，而又知道，所以每各点都在的上方。2(2005湖北)函数的图象大致是( )解析 D；当时，可以排除A和C；又当时，可以排除B考点2：用列表法表示函数例2 07年北京函数，分别由下表给出123131123321那么的值为；满足的的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知=；当时，不满足条件当时，满足条件，当时，不满足条件，满足的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。新题导练309年山东梁山设f、g都是由A

27、到A的映射，其对应法那么如下表从上到下：映射f的对应法那么是表1原象1234象3421映射g的对应法那么是表2原象1234象4312 那么及一样的是 A；B；C；D解析 A；根据表中的对应关系得，404年江苏改编二次函数R的局部对应值如下表：3210123460466406那么不等式的解集是 解析 ；由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为2和3，又根据且可知，所以不等式的解集是考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例3 04湖北改编=，那么的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法解析 令，那么， .故应填【名师指引】求函

28、数解析式的常用方法有： 换元法 注意新元的取值范围； 待定系数法函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等；整体代换配凑法；构造方程组如自变量互为倒数、为奇函数且为偶函数等。题型2：求二次函数的解析式 例4 普宁市城东中学09届高三第二次月考二次函数满足，且。求的解析式；在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。解题思路1由于是二次函数，故可应用待定系数法求解；2用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过别离参数，求函数的最值即可。解析设，那么及条件比拟得：解之得，又，由题意得：即对恒成立，易得【名师指引】如果函数的类型，那么可利用待定系数法求解；通过别离参数求函数的最值来获得参数的取值范围

29、是一种常用方法。新题导练506全国卷二改编假设，那么 解析 ；所以,因此609年潮州金山中学设是一次函数，假设且成等比数列，那么 ；解析；设，由得，从而又由成等比数列得，解得所以，7华侨中学09届第3次月考09年中山设 ，又记那么 A；B；C；D；解析 C；由条件得到，可见，是以4为周期的函数，而，所以，8设二次函数满足,且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求的解析式。解析 ；设f(x)2，由f(x)满足f(x2)(x2)，可得函数(x)的对称轴为2，所以由(x)图象在y轴上的截距为1，可得，即1由(x) 图象在x轴上截得的线段长为，可得所以联立方程组，可解得所以f(x)=.考

30、点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式例5 (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进展消毒。药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y毫克及时间t小时成正比；药物释放完毕后，y及t的函数关系式为a为常数，如下图，根据图中提供的信息，答复以下问题：从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y毫克及时间t小时之间的函数关系式为 ；据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y毫克及时间t是一次函数，药物释放完毕后，y及t的函数关系是的，由特殊点的坐标确定其中的

31、参数，然后再由所得的表达式解决解析 观察图象，当时是直线，故；当时，图象过所以，即，所以，所以至少需要经过小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由根本初等函数组成的，解决方法是分段处理。题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6 (2006上海)设函数，在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号翻开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 ,如右上图.【名师指引】分段函数的解决方法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个局部的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。新题导练909年潮州金山中学函数，那么 解析 2；由得到1006山东

32、改编设那么不等式的解集为 解析 ；当时，由得，得当时，由得，得备选例题1： (2005江西)函数a，b为常数且方程f(x)12=0有两个实根为x1=3, x2=4.1求函数f(x)的解析式；2设k1，解关于x的不等式；解析1将得2不等式即为即当当.备选例题2：06重庆定义域为R的函数满足 I假设，求;又假设，求; 设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 抢分频道根底稳固训练：109年广州高三年级第一学期中段考函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是 O-52625图2A.,；B. C.,；D.解析 C；由图象可以看出，应选择C209年惠州第一次调研考某工厂从2000年开

33、场，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，那么该厂这种产品的产量及时间的函数图像可能是 48yot48yot48yot48yot解析 B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，选B32004湖南改编设函数假设,那么关于的方程的解的个数为 解析 3；由,可得，从而方程等价于或，解得到或，从而得方程的解的个数为3405江苏为常数，假设，那么= 解析 2；因为，所以又，所以，解得或，所以5对记，函数的最小值是 A.；B. ；C.；D.解析 C；作出和的图象即可得到函数的

34、最小值是6中山市09届高三统测函数 其中， 。作出函数的图象；解析 函数图象如下：说明：图象过、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段综合提高训练：709年惠州第二次调研考如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，及正方体外表相交于设，那么函数的图象大致是 ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 B；过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线及正方体外表相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出及的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大806重庆如下图，单位圆中的长为，及弦所围成的弓形面积的2倍，那么函数的图像是 解析 D；如下图，单

35、位圆中的长为，及弦所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D. 906福建是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。I求的解析式；是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由。解析I是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是，由，得方程等价于方程设那么当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。第4讲 函数的单调性及最值知识梳理函数的单调性定义

36、：设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；1 函数的最大小值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。重、难点突破重点：掌握求函数的单调性及最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性及最值重难点：1.对函数单调性的理解（1）

37、函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；2函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；3假设用导数工具研究函数的单调性，那么在某区间上仅是为区间上的增函数减函数的充分不必要条件。4关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，假设，有即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。5函数的单

38、调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和6一些单调性的判断规那么：假设及在定义域内都是增函数减函数，那么在其公共定义域内是增函数减函数。复合函数的单调性规那么是“异减同增2函数的最值的求法1假设函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。2利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。3根本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法但有注意等号是否取得。4导数法：当函数比拟复杂时，一般采用此法5数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围

39、或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。热点考点题型探析考点1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性 例1 (2021广东)设,函数.试讨论函数的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是根本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。解析: 因为,所以. (1)当x0， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增； 当时，令，解得， 且当时，；当时， 故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；(2)当x1时， 10， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减； 当时，令，解得，且当时，；当时，故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上得，当0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；当k0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增；当时，F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是