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1、第十四章 整式的乘法与因式分解 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长pm，宽bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？ 回答上面的问题，要用到整式的乘法与因式分解的知识。本章我们将在七年级学习整式的加减法的基础上，继续学习整式的乘法与因式分解，它们是代数运算以及解决许多数学问题的重要基础。我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发。14.1 整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法第十四章 整式的乘法与因式分解1.幂：幂：知识回顾知识回顾乘方运算的
2、结果乘方运算的结果.ana回忆回忆:幂幂底数底数指数指数的的 次幂次幂.n求几个相同因数的积的运算求几个相同因数的积的运算.2.乘方乘方： aaan个个a=3.幂的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。1、 是是 （填（填“正正”或或“负负”）数；）数；2、 是是 （填（填“正正”或或“负负”）数；）数；3、 是是 （填（填“正正”或或“负负”）数；）数； 4、 是是 （填（填“正正”或或“负负”）数；）数； 127912n125) 1(= (n不等于不等于0)正负正1负返回25233_)(1(aa 44_)(2(aa 55_)(3(aa 66_)(4(aa 4
3、 4、在下列各小题的横线上，填上适当的正负号：、在下列各小题的横线上，填上适当的正负号：.从上述练习中你能得到什么规律？从上述练习中你能得到什么规律？-_+问题问题1 1 一种电子计算机每秒可进行一种电子计算机每秒可进行 次运算，它工作次运算，它工作 秒可进行多少次运算？秒可进行多少次运算？=（10 10 ）（ 101010 ）解：解： 1015 103 15个个10= 10101018个个10 =1018 10101515 10103 3通过观察可以发现通过观察可以发现10101515、10103 3这两个因数都是同底这两个因数都是同底数幂的形式，所以我们数幂的形式，所以我们把像把像1010
4、151510103 3的运算叫的运算叫做做同底数幂的乘法同底数幂的乘法. .3个个10(1)(1) 2522 = ( ) ( ) = =2( ) ；(2)(2)a3a2 = ( ) ( ) =_= a( )( ) ；(3) (3) 5m 5n =( ) ( ) = 5( )( ).2 2 22 22 222 2 22227aaaaaaaaaa5m+n请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.思考：思考：观察上面各题左右两边观察上面各题左右两边，底数底数、指数有指数有什么关系？什么关系？55m个5n个555 am an =m个an个a= aaa=am+n(
5、m+n)个a 同底数幂相乘同底数幂相乘, ,底数不变底数不变, ,指数相加指数相加 即即 am an = am+n (m、n都是正整数)（aaa）（aaa）同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则: :条件：条件：乘法乘法 同底数幂同底数幂结果：结果：底数不变底数不变 指数相加指数相加请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？性质呢？ 怎样用公式表示？怎样用公式表示？amanap = （m m，n n，p p都是正整数）都是正整数） amanap=(am an
6、 ) ap=am+n ap=am+n+pam+n+p =(aa a)(aa a)(aa a) amanapn个个am个个a p个个a=am+n+p或或1.1.计算：（口答）计算：（口答）(10(101111 ) )( a( a10 10 ) )（ x x1010 ）（ b b8 8 ）（2 2） a a7 7 a a3 3（3 3） x x5 5 x x5 5 （4 4） b b7 7 b b2 2（1 1） 10105 510106 61.计算：计算： （1 1）10107 7 10104 4 . . （2 2）x x2 2 xx5 5 . . 解：解： （1 1）10107 7 10104
7、 4 =10=107 + 47 + 4= 10= 101111 （2 2）x x2 2 x x5 5 = x= x2 + 5 2 + 5 = x= x7 72 2. .计算：（计算：（1 1）2 23 32 24 42 25 5. . （2 2）yyyy2 2yy3 3. .解：解： （1 1）2 23 32 24 42 25 5=2=23+4+53+4+5=2=21212 （2 2）y yy y2 2 y y3 3 = y = y1+2+31+2+3=y=y6 6【尝试练习【尝试练习】例例1 1 计算下列各式计算下列各式, ,结果用幂的形式表示结果用幂的形式表示. .(2) a a6 ； (
8、-2)1+4 +3 a1+6 xm+3m+1 (1) x2 x5 ； (4) xm x3m+1 ； x2+5 = x7 (3) (-2) (-2)4(- 2)3 = (-2)8 (2) a a6 = = a7 (3) （-2)(- 2)4( -2)3 ；(4) xm x3m+1 = = 4m+1 解解: (1) x2 x5 = = 28 温馨提示：温馨提示：同底数幂相乘时，指数是相加的；同底数幂相乘时，指数是相加的；不能疏忽指数为不能疏忽指数为1的情况；的情况；底数为负数或分数时要加括号底数为负数或分数时要加括号，先，先用同底数幂的乘法法则计算，用同底数幂的乘法法则计算， 最后结最后结果要化简
9、（果要化简（确定结果的正负）；确定结果的正负）；公式中的公式中的a可为一个有理数、单项式或多可为一个有理数、单项式或多项式（项式（整体思想整体思想）1 1、计算计算 (1) b5 b ；(3) a2 a6 ； (4) y2n yn+1 ； (2)23222111111-（） （） （） ； 巩固练习236aaa（2）2、下面、下面的计算对不的计算对不 对？如果不对，应怎样改正？对？如果不对，应怎样改正？3332aaa633aa5a66bbb761bb 11387) 7(754aaa4aa(8)733xxxx(7) - -a2 a6 = a8 - - a8 （6）y5 + y5 = y102y5
10、1 1、计算、计算: :（1 1）（）（-a-a）2 2a a4 4. . （2 2）（-2-2）3 32 22 2. . 解：解： （1 1）原式原式 = a= a2 2a a4 4 =a =a6 6. .（2 2）原式）原式 = -2= -23 3 2 22 2 = = -2-25 5. .当底数互为相反数时，当底数互为相反数时，先化为同底数形式先化为同底数形式. . 提高训练2 2、计算、计算: : （1）34)()(aaa解解:原式原式=（-a)1+4+3=（-a) 8(2) (x+y)3 (x+y)4 .am an = am+n 解解: (x+y)3 (x+y)4 =(x+y)3+4
11、 =(x+y)7公式中的公式中的a a可代表可代表一个数、字母、一个数、字母、式子等式子等. .试一试试一试 计算：计算：（1）（2）（3）（4）47abab（） （） ； 34222-（） （） ；54nmnm（） （） ； 357. .mnmnmn（） （） （） （1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出 来的？在运用时要注意什么？来的？在运用时要注意什么？课堂小结课堂小结同底数幂相乘，底数同底数幂相乘，底数不变不变，指数，指数相加相加.同底数幂的乘法：同底数幂的乘法：mnm n
12、aaamnpm n paaaa , ,mn p（ 都是正整数都是正整数）（ 都是正整数都是正整数）, m n课堂小结课堂小结注意事项：注意事项：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。对这个法则要同底数幂相乘，底数不变，指数相加。对这个法则要注重理解注重理解“同底同底,相乘相乘,不变不变,相加相加”这八个字这八个字.2.底数可以是一个底数可以是一个数数，也可以是，也可以是单项式单项式或或多项式多项式.运算运算时不同底的要先化为同底的，才可以运用法则时不同底的要先化为同底的，才可以运用法则.4.解题时，要注意指数为解题时，要注意指数为1的情况，不要漏掉的情况，不要漏掉.3.解题时，底数是解题时，底
13、数是负数负数或或分数分数时要用括号把底数括起来时要用括号把底数括起来.课堂小结课堂小结随堂练习随堂练习435362) 1 (aaaaaaa_644212xx，则）（888aaa解：原式1、计算：、计算：183a6（1）如果an-2an+1=a11,则n= .2、填空：2.填空：填空：（1） 8 = 2x，则，则 x = ；（2） 8 4 = 2x，则，则 x = ；（3） 3279 = 3x，则，则 x = .23 32322 = 255 3 33 32= 3663.计算：计算：2,3,mnaa?m nam na已知：已知：求求解解：mnaa236随堂练习随堂练习点拨：点拨：同底数幂乘法公式的逆用也很重要同底数幂乘法公式的逆用也很重要.2,3,mnaa随堂练习随堂练习 已知已知 2x=5 , 求求2x+2的值的值22222xx4.计算：计算：2045解：解：2x=5