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1、高二数学用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 教学目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2.能依据实际问题的须要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的说明；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。教学重难点教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。教学难点能应用相关学问解决简洁的实际问题。教学过程一、复习回顾作频率分布直方图分几个步骤？各步骤须要留意哪些问题？二、创设情境在一次射击竞赛中,甲
2、、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下甲运动员7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.视察上述样本数据，你能推断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来探讨，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。三、新知探究众数、中位数、平均数众数一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。中位数当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。平均数将全部数相加再除以这组数的个数；在频
3、率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。思索探究：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，视察所得的数据，你发觉了什么问题？为什么会这样呢？你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据精确。（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，简单受极端值的影响。练一练：假如你是一名交通部门的工作人员，你准备向市长报告国家对本市26个马路项目投资的平均资金数额，其中一条新马路的建设投资为2000
4、万元人民币，另外25个项目的投资是20100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？解析：平均数。一、标准差、方差在一次射击选拔竞赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下甲运动员7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.视察上述样本数据，你能推断哪个运动员发挥的更稳定些吗？假如你是教练，选哪位选手去参与正式竞赛？我们知道，。两个人射击的平均成果是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（视察图2.27）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成果比较分散，乙的成
5、果相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。1、标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。 思索探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为的样本数据有什么特点？答：（1）明显，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着全部的样本数据都等于样本平均数。2、方差 在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采纳标准差。四、例题精析例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920
6、，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？分析采纳求标准差的方法解： 所以甲水稻的产量比较稳定。点评：在平均值相等的状况下，比较方差或标准差。变式训练：在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A）92,2(B)92,2.8(C)93,2(D)93,2.8【答案】B【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+=92；方差为2.8，故选B。 例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的实力，随机抽查了20位
7、工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数. (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数. 点评：在直方图中估计中位数、平均数。变式训练：某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：等待时间（分钟）人数48521用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=，病人等待时间的标准差的估计值= 五、反馈测评1在一次学问竞赛中，抽取20名选手，成果分布如下：成果678910人数分布12467则选手的平均成果是（）A4B.4.4C.8D.8.828名新生儿的身长（c
8、m）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为，约有一半的新生儿身长大于等于，新生儿身长的最可能值是.3.样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为 4某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.（1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定. 六、课堂小结1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数
9、？2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？板书设计书面作业课本67 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课前预习学案一、预习目标：通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。二、预习内容：1、学问回顾：作频率分布直方图分几个步骤？各步骤须要留意哪些问题？ 2、众数、中位数、平均数的概念众数:_ 中位数:_ 平均数:_3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是_中位数左边和右边的直方图的_应当相等，由此可估计中位数的值。平均数是直方图的_.4.标准差、方差标准差s=_ 方差s2=_三、提出怀疑同学们，通过你的
10、自主学习，你还有哪些怀疑，请把它填在下面的表格中怀疑点怀疑内容课内探究学案一、学习目标：1.能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差2.能依据实际问题的须要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的说明；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。二、学习内容1.众数、中位数、平均数思索1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，视察所得的数据，你发觉了什么问题？为什么会这样呢？ 思索2：你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？练一练：假如你是一名交通部
11、门的工作人员，你准备向市长报告国家对本市26个马路项目投资的平均资金数额，其中一条新马路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？ 2.标准差、方差在一次射击选拔竞赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下甲运动员7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.视察上述样本数据，你能推断哪个运动员发挥的更稳定些吗？假如你是教练，选哪位选手去参与正式竞赛？ 思索1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？ 思
12、索2：标准差的取值范围是什么？标准差为的样本数据有什么特点？ 3、典型例题例1.为了调查某厂工人生产某种产品的实力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数. (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数. 例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？三、反思总结1、在频率分布直方图中，如何求
13、出众数、中位数、平均数？2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系? 四、当堂检测 1在一次学问竞赛中，抽取20名选手，成果分布如下：成果678910人数分布12467则选手的平均成果是（）A4B.4.4C.8D.8.828名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为，约有一半的新生儿身长大于等于，新生儿身长的最可能值是.3某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：等待时间（分钟）人数48521用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=，病人等待时间的标准差的估计值= 4样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方
14、差，标准差分别为 5某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.（1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定. 课后练习与提高1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）A1B.2C.3D.4解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得所以有，故选D.2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身
15、高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米例4若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万3.下面是某快餐店全部工作人员的收入表：老板大厨二厨选购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元（1）计算全部人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收
16、入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？（4）依据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析解：（1）平均收入（3000+450+350+400+320+320+410）=750元（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特殊高，这是一个异样值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入（450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特别数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异样值要进行特地探讨，有时应剔除之中学
17、数学必修三导学案2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（1） 2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（1）【学习目标】1.正确理解样本数据分布直方图的意义和作用，从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征2.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征【新知自学】阅读教材第71-78页内容，然后回答问题 学问回顾：初中我们曾学习过几个数字特征？它们分别有什么特点？新知梳理：1.众数、中位数、平均数众数：样本观测值中出现次数的数，叫做这组数据的众数中位数：将一组数据从按大小依次排列，处在最的一个数据(或最中间两个数据的平均值)，叫做这组数据的中位数数（当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大
18、的依次排列中间的那个数当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的依次排列的最中间两个数的两个数的平均数）平均数：（1）算术平均数已知数据这组数据的算术平均数为（2）加权平均数若取值为的频率分别为则这组数据的算术平均数为 【感悟】如何理解平均数，中位数和众数之间的关系？答：平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特殊大或特殊小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数. 2、频率分布直方图中的中位数和平均数、众数在频率分布直方图中，中位数左边
19、和右边的直方图的面积。平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘于小矩形底边中点的横坐标之和众数的估计值是最高矩形的底边中点的横坐标。【感悟】现实中的总体所包含的个体数往往是许多的，如何求得总体的平均数和标准差呢？答：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数和标准差，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.对点练习：1.求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1，2，3，3，3，4，6，7，8，9，9 2.在一组数据7，8，8，10，12中，下面说法正确的是（）（A）中位数等于平均数(B)中位数大于平均数
20、（C）中位数小于平均数（D）无法确定 3.已知一频率分布直方图如图所示，分别求出其平均数，中位数和众数. 【合作探究】典例精析例题1.为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径 变式训练1.若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数. 例题2.为了了解某地区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁1
21、8岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下： 依据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20(B)30(C)40（D）50 变式训练2.下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h），试估计该学生的日平均睡眠时间. 睡眠时间人数频率50.05170.17330.33370.3760.0620.021001 【课堂小结】 【当堂达标】1.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17、14、10、15、19、17、16、14、12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是（）（A）14（件）(B)16（件）（C）15（件）（D）17（件） 2.下列说法中，
22、不正确的是（）（A）数据2，4，6，8的中位数是4，6(B)数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4（C）一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据（D）8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数为 3.一组数据按大小关系排列为1，2，4，6，9这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为（）A.4B.5C.5.5D.6 【课时作业】1.一名射击运动员连续射靶6次，命中的环数分别是：7、6、7、8、8、7，则这名运动员射击环数的众数是（）（A）6(B)7（C）8（D）以上答案均不对2.设矩形的长为，宽为，其比满意，这种矩形给人以美感，称黄金矩形.黄金矩形常应用于工
23、艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620上述两个样原来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）（A）甲批次的总体平均数与标准值更接近(B)乙批次的总体平均数与标准值更接近（C）两个批次总体平均数与标准值接近程度相同（D）两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定3.一个学校有初中生800人，中学生1200人，则是初中生占全体学生的（）（A）频数（B）频率（C）概率（D）频率分布4.以下哪一个数不是总体的特征数()（A）
24、总体平均数（B）总体方差（C）总体标准差（D）总体的样本5.光明中学高一年级360名学生选择摄影、棋类、武术、美术四门校本课程状况的扇形统计图如右，从图中可以看出选择美术的学生人数是（）（A）18（B）24（C）36（D）546.用简洁随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个样本，则在抽样过程中，每个个体被抽取的可能性（）（A）相等（B）渐渐增大（C）渐渐削减（D）不能确定7.推断甲、乙两个小组学生英语口语测验成果哪一组比较整齐，须要知道两组成果的（A）平均数(B)方差（C）众数（D）频率分布8.数、平均数、中位数分别是什么？ 9.若5，1，2，的平均数为1，则=.10.已知个数据的和为56
25、，平均数为8，则=.11.1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出60个全垒打的记录.下面是扬基队的历年竞赛中的鲁斯和马利斯每年击出的全垒打的比较图：鲁斯马利斯0813465223685433997661149445061 中学数学必修三导学案2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2） 2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2）【学习目标】1通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差2进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征.【新知自学】学问回顾：众数、中位数、平均数 新知梳理：1.标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常
26、用的统计量是.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示样本数据的标准差的算法：（1）算出样本数据的平均数.（2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：.（3）算出（2）中的平方.（4）算出（3）中n个平方数的平均数，即为样本方差.（5）算出（4）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为： 明显，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小【感悟】现实中的总体所包含的个体数往往是许多的，如何求得总体的平均数和标准差呢？2.方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： 在刻画样本数据的分散程度上，方差和
27、标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采纳标准差。对点练习：1可以描述总体稳定性的统计量是（）(A)样本平均数(B)样本中位数（C）样本方差(D)样本最大值2已知容量为40的样本方差，那么s等于（）(A)4(B)2（C）(D)13与总体单位不一样的量是（）(A)s(B)B（C）(D)【合作探究】典例精析例题1.在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677（1）甲、乙两人本次射击的平均成果分别为多少环？（2）运用标准差推断哪位运动员的成果更加稳定？ 变式训练1.甲乙两人在同样的条件下练习射击，每人5发子弹，命中环数如
28、下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9，则两人射击成果的稳定程度是（）A.甲比乙稳定B.乙比甲稳定C.甲乙稳定程度相同D.无法比较例题2.对自行车运动员甲乙两人在相同条件下进行了6次测试，测试成果的茎叶图如图所示甲乙72890157833468 (1)分别求出甲乙的中位数和平均数；(2)试用方差推断选谁参与该项竞赛更合适。 变式训练2.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4,9.7，去掉最高分和最低分，所剩数据的平均值和方差分别是（）A.9.4，0.4884B.9.4，0.016C.9.5，0.04D.9.5，0.016
29、【课堂小结】【当堂达标】1、下列说法正确的是（）A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高2、已知两组样本数据的平均数为h，的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为()A.B.C.D.3、某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9，5,4,9,10,7,4则平均命中环数为_;命中环数的标准差为_.【课时作业】1.已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的方差是（）A、1B、2C、3
30、D、42.一组数据的方差为，将这组数据中的每个数据都扩大倍，所得一组新数据的方差为（）A.B.C.D.3.若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是（）(A)平均数为10，方差为2(B)平均数为11，方差为3（C）平均数为11、方差为2(D)平均数为14，方差为44.一个样本的方差是，则这个样本的平均数与样本容量分别是(）(A)10，10(B)6，15（C）15、10(D)由确定，105.从某项综合实力测试中抽取100人的成果，统计如表，则这100人成果的标准差为（）A.B.C.3D.分数54321人数2022303010 6.已知一个样本1，3，2，5，x，它的平均数为3
31、，则该样本的标准差是7.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是，标准差是8.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为(从小到大排列)9甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）其中产量比较稳定的小麦品种是品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8 10.某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：甲套设备：504，510，505，490，485，485，515，510，496，500；乙套
32、设备：496，502，501，499，505，498，499，498，497，505（1）试确定这是何种抽样方法？（2）比较甲、乙两套设备的平均值与方差，说明哪套包装设备误差较少？ 11.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)依据茎叶图推断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差. 12.甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）：甲：203204202196199202205197202199乙：202200208206210209202293194194（1）分别计算两
33、个样本的平均数和方差.（2）从计算结果看，哪台包装机的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？ 第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案 第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征核心必知1预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P71P78，回答下列问题(1)众数、中位数、平均数各是什么样的数？提示：见本课时归纳总结，核心必记(1)(2)你能说出教材P72思索中样本的中位数与样本中位数估计值为什么不一样吗？提示：频率分布直方图已经损失了一些基本的信息，因而通过频率分布直方图只能估计样本的中位数，而不能得到样本的精确的中位数(3)标准差和方
34、差各指什么？提示：见本课时归纳总结，核心必记(2)2归纳总结，核心必记(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数中位数：把一组数据按从小到大的依次排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x1n(x1x2xn)(2)标准差、方差标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示假设样本数据是x1，x2，xn，x表示这组数据的平均数，则s1nx1x2x2x2xnx2.方差：标准差的平方s2即为方差，则s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2问题思索(1)
35、一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个(2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？提示：在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积应当相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和课前反思通过以上预习，必需驾驭的几个学问点：(1)众数、中位数、平均数的概念：；(2)标准差、方差的公式：.现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其运用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)甲：3,4,5,6,8,8,8,10乙：
36、4,6,6,6,8,9,12,13丙：3,3,4,7,9,10,11,12思索1三家广告中都称其产品运用寿命为8年，你能说明为什么吗？名师指津：三个厂家从不同的角度进行了说明，以宣扬自己的产品其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年思索2众数、中位数、平均数各有什么优缺点？名师指津：三种数字特征的比较：众数：优点是体现了样本数据的最大集中点，简单计算；缺点是只能表达样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体的特征中位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，简单计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感平均数：优点是代表性较好，是反映数据集中趋势
37、的量，一般状况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点是任何一个数据的变更都会引起平均数的变更，数据越“离群”对平均值的影响越大?讲一讲1某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资(元)22000250022022000100029700人数16510123合计22000150001100020000100069000(1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数；(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？尝试解答(1)由表格可知，众数为2000元把23个数据按从小到大(或从大到小)的依次排列，排在中间的数应是第12个数，其值为220
38、0，故中位数为2200元平均数为69000233000(元)(2)虽然平均数为3000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理的工资在平均数以上，其余人的工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平对众数、中位数、平均数的几点说明(1)假如样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心?练一练1某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成果统计如下：分数5060708090100 人数甲班16121
39、1155乙班351531311选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成果解：甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成果较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成果较好的是甲班；按从高到低(或从低到高)的依次排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成果在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成果较好的是甲班假如记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成果较好的是乙班可
40、见，一个班学生成果的评估方法许多，需视要求而定假如不考虑优秀率的话，明显以中位数去评估比较合适.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.思索1通过计算可以知道，甲、乙两人的平均成果相等，那么甲、乙两人的成果谁的更稳定一些？怎样用数字刻画这种稳定性？名师指津：乙的成果相对稳定，样本数据的稳定性(或分散程度)常用标准差来刻画思索2怎样理解方差与标准差？名师指津：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(
41、2)标准差、方差的取值范围：0，)(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采纳标准差?讲一讲2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)依据计算结果推断哪台机床加工零件的质量更稳定尝试解答(1)x甲16(9910098100100103)100，x乙16(9910010299100100)100.s2甲16(99100)2(1001
42、00)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)273，s2乙16(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定(1)求一组数据的方差和标准差的步骤：先求平均数x.代入公式得方差和标准差s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2，s1nx1x2x2x2xnx2.(2)实际问题中方差、标准差的意义在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要探讨方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的状况下，方差越大
43、，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高?练一练2甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)：甲：10.210.110.98.99.910.39.7109.910.1乙：10.310.49.69.910.1109.89.710.210分别计算上面两个样本的平均数与标准差假如图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：x甲110(10.210.110.910.1)10(mm)，x乙110(10.310.49.610)10(mm)，s甲11010.210210.110210.
44、11020.2280.477(mm)s乙11010.310210.4102101020.060.245(mm)x甲x乙10，s甲s乙，乙比甲稳定，用乙较合适?讲一讲3某校从参与高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成果(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成果的众数；(2)求这次测试数学成果的中位数；(3)求这次测试数学成果的平均分尝试解答(1)由图知众数为7080275.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.30.40.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.10.03(x70)，所以x73.3.(3)由图知这次数
45、学成果的平均分为：405020.00510506020.01510607020.0210708020.0310809020.025109010020.0051072.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和?练一练3为了调查某厂工人生产某种产品的实力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在55,75)的人数是_；(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为_；(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为_解析：(1)(0.04100.02510)2013.(2)设中位数为x，则0.2(x55)0.040.5，x62.5.(3)0.2500.4600.25700.1800.059064.答案：(1)13(2)62.5(3)64课堂归纳感悟提升1本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法2