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1、直线的倾斜角与斜率导学案直线的倾斜角与斜率教学设计 直线的倾斜角与斜率教学设计 一、设计说明 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，学生对几何的相识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此从学生最熟识的直线入手，去探讨刻划直线性质的量倾斜角与斜率，通过对这一问题的探究去揭示解析几何的本质是：用代数方法探讨图形的几何性质.学生通过这一节的学习，初步感受困难问题简洁化、数形紧密结合的思想. 二、教学内容分析 直线的倾斜角是这一章全部概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键；过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种的比值，要让学生理解这种表
2、达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关. 三、教学目标 1学问与技能：使学生理解倾斜角与斜率的概念，了解二者之间的关系，会求过已知两点的直线的斜率； 2过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培育学生转化的思想，提高解决问题的实力； 3情感、看法与价值观：在探究倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的改变对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学看法 四、教学重点与难点 重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式； 难点：斜率； 对难点的处理：先从简洁的过原点的直线入手，再分倾斜角为锐角、钝角的状况去分析 五、教学策略 对于“倾斜角与斜率”的教学，老师创
3、设问题情境，学生在问题的激励下主动探究，教学方法采纳师生互动式；而“过两点的直线的斜率公式”的教学则采纳“学生探究、老师适时讲解”的方法 六、教学过程 （一）新知的引入： 在平面直角坐标系内，画出几条不同直线，诱导学生思索，有何不同？ 从而进一步设计确定直线的位置有哪些条件呢？ （设计意图：学生在老师“问题串”的引导下去思索，得出本章重要学问点） （二）概念的讲解：通过探讨我们已经知道，确定直线的位置的条件是一个点与方向那么如何刻划直线的方向呢？学生确定会想到角，也会想到用纵坐标的改变量与横坐标的改变量的比值这时就须要老师的适时点播引出刻划直线的方向的两个量-直线的倾斜角和斜率 一、直线的倾斜
4、角与斜率 1倾斜角（ （1）倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角；注：强调当直线与坐标轴轴平行时的倾斜角。 提问：倾斜角的范围是什么？（让学生自己去解决） （）倾斜角的范围： 日常生活中，我们用坡度来刻划道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比；为了用坐标的方法刻划直线的倾斜角，引入直线的斜率概念(也可以从一次函数的解析式引入，其中的K就是斜率) 斜率让学生任画一条直线，类比坡度的方法，用坐标的方法刻划“直线的坡度”斜率； （强调若直线倾斜角相等，则斜率也相等） 老师定义:当横坐标从增加到时，纵坐标从增加到称为直线的斜率； 提问：由此
5、定义，你能发觉斜率的其他形式的定义吗？ 再问：若倾斜角为锐角，求斜率的取值范围；若倾斜角在锐角内改变，斜率如何改变？ （三）例题的讲解（7分钟） 例1：求下列直线的斜率： (1)y=x(2)y=1(3)x=0 （四）课堂练习 （五）本节课小结 八、设计反思 在平面解析几何直线与方程的教学中，老师应帮助学生经验如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿直线与方程一章教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。 倾斜角与斜率 3.1.1倾斜角与斜率（一）教学目标1
6、学问与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，驾驭过两点的直线的斜率公式.2过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3情感、看法与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培育学生视察、探究实力，运用数学语言表达实力，数学沟通与评价实力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培育学生树立辩证统一的观点，培育学生形成严谨的科
7、学看法和求简的数学精神.（二）教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.（三）教学方法教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作多数多条直线a，b，c，易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念.学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着老师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题概念形成1直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特殊地，当直线l与
8、x轴平行或重合时，规定.老师提问：倾斜角的取值范围是什么？当直线l与x轴重合时（由学生结合图形回答） 概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.老师提问：如左图，直线abc，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出.确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素概念形成2直线的斜率一条直线的倾斜角（90）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字
9、母k表示，即.由此可知，一条直线l的倾斜角肯定存在，但是斜率k不肯定存在.例如=45时k=tan45=1=135时k=tan135=1老师提问：（由学生探讨后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k=tan0=0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？=90，k不存在设疑激发学生思索得出结论概念形成3直线的斜率公式对于上面的斜率公式要留意下面四点：（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的依次无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而干脆由直线上
10、两点的坐标求得；（4）当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0，直线与x轴平行或重合.（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.老师提出问题：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种状况，并引导学生如何作协助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.应用举例例1已知A(3，2)，B(4，1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）分析：已知两点坐标，而且x1x2，由斜率公式代入
11、即可求得k的值；而当时，倾斜角是钝角；而当时，倾斜角是锐角；而当时，倾斜角是0.例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，1，2及3的直线a，b，c，1.分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以依据直线a的斜率确定；或者k=tan=1是特别值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.学生分析求解，老师板书例1略解：直线AB的斜率k1=1/70，所以它的倾斜角是锐角.直线BC的斜率k2=0.50，所以它的倾斜角是锐角. 例2略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，依据斜率公式
12、有1=(y0)/(x0)所以x=y可令x=1，则y=1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）课堂练习：P911题、2题、3题、4题.通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义归纳总结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.（2）直线的斜率公式.师生共同总结沟通完善引导学生学会自己总结课后作业布置作业见习案3.1第一课时由学生独立完成巩固深化备选例题例1求下列两点直线的斜率，并推断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）(1，1)，(2，4)；（2）(3，5)，(0，2)；（3）(2，3)，(2，5)；（4）(3，2)，(6，
13、2)【解析】（1），所以倾斜角是锐角；（2），所以倾斜角是钝角；（3）由x1=x2=2得：k不存在，倾斜角是90（4），所以倾斜角为0例2已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120，则Q点的坐标为.【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)直线PQ的斜率k=tan120=b=2，即Q点坐标为 直线的倾斜角和斜率1直线的倾斜角和斜率1教学目标(1)了解直线方程的概念.(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的,但不是每条直线都存在斜率.(3)理解公式的推导过程,把握过两点的直线的斜率公式.(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培育学生视察、
14、探究实力,运用数学语言表达实力,数学沟通与评价实力.(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培育学生树立辩证统一的观点,培育学生形成严谨的科学看法和求简的数学精神.教学建议1.教材分析(1)学问结构本节内容首先依据一次函数与其图像直线的关系导出直线方程的概念;其次为进一步探讨直线,建立了直线倾斜角的概念,进而建立直线斜率的概念,从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这始终线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变;最终推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法.(2)重点、难点分析本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容绽开
15、的主线,无论是建立直线的方程,还是探讨两条直线的位置关系,以及探讨直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用.因此,正确理解斜率概念,娴熟把握斜率公式是学好这一章的关键.本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受,但是,为什么要定义直线的斜率,为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不轻易接受.2.教法建议(1)本节课的教学任务有三大项:倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮:倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段在教学中首先是创设问题情境,然后通过探讨明确用角来刻画直线的方
16、向,如何定义这个角呢,学生在探讨中渐渐明确倾斜角的概念.本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有,为什么要用倾斜角的正切定义斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题,就要求老师帮助学生熟识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角,而是倾斜角的正切,即直线方程(一次函数的形式,下同)中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念,可以借助几何画板设计:(1)改变直线改变中的系数改变(同时注意的改变).(2)中的系数改变直线改变改变(同
17、时注意的改变).运用上述正反两种改变的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系,这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后学问的联系,课前要对平面对量,三角函数等有关内容作肯定的复习预备.在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件,最好能用充要条件叙述直线方程的概念,强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好预备.(2)本节内容在教学中宜采纳启发引导法和探讨法,设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在主动思维的基础上,进行充分的探讨、争论、沟通、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立,这
18、三项教学任务都是在探讨、沟通、评价中完成的.在此过程中学生的思维和实力得到充分的发展.老师的任务是创设问题情境,引发争辩,组织沟通,参加评价.教学设计示例直线的倾斜角和斜率教学目标:(1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念,(2)理解公式的推导过程,把握过两点的直线的斜率公式.(3)培育学生视察、探究实力,运用数学语言表达实力,数学沟通与评价实力.(4)帮助学生进一步理解数形结合思想,培育学生树立辩证统一的观点,培育学生形成严谨的科学看法和求简的数学精神.教学重点、难点:直线斜率的概念和公式教学用具:计算机教学方法:启发引导法,探讨法教学过程:(一)直线方程的概念如图1,对于一次
19、函数,和它的图像直线有下面关系:(1)有序数对(0,1)满意函数,则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).(2)反过来,直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满意.一般地,满意函数式的每一对,的值,都是直线上的点的坐标(,);反之,直线上每一点的坐标(,)都满意函数式,因此,一次函数的图象是一条直线,它是以满意的每一对x,y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看,函数也可以看作是二元一次方程,这样满意一次函数的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解,使方程和直线建立了联系.定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的全部点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就
20、叫做这条直线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线.以上定义改用集合表述:,的二元一次方程的解为坐标的集合,记作.若(1)(2),则.问:你能用充要条件叙述吗?答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是.(二)直线的倾斜角问题1请画出以下三个方程所表示的直线,并视察它们的异同.;过定点,方向不同.如何确定一条直线?两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说假如只给出一点,要确定这条直线还应增加什么条件?学生:思索、回忆、回答:这条直线的方向,或者说倾斜程度.导入今日我们就共同来探讨如何刻画直线的方向.问题2在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?探讨之
21、前我们可以设想这个角应当是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同时还应当是简洁的、自然的.学生:绽开探讨.学生探讨过程中会有错误和不严谨之处,老师注意引导.通过探讨认为:应选择角来刻画直线的方向.依据三角函数的学问,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(起先时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.板书定义:一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.(老师强调三点:(1)直线向上的方向,(2)轴的正方向,(3)最小正角.)非凡地,当与轴平行或重合时,规定倾斜角为0.由此定义,角的范围如何?0180或0如图3至此问题2已经解决
22、了,回顾一下是怎么解决的.(三)直线的斜率问题3下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30、45、135的直线,并试着写出它们的直线方程.然后视察思索:直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的?学生:在练习本上画出直线,写出方程.30?=45?=135?=(注:学生对于写出倾斜角是45、135的直线方程不会困难,但对于倾斜角是30可能有困难,此时可启发学生借用三角函数中的30角终边与单位圆的交点坐标来解决.)演示动画视察直线改变,倾斜角改变,直线方程中系数改变的关系(1)直线改变改变中的系数改变(同时注意的改变).(2)中的x系数k改变直线改变改变(同时注意的改变).老师引导学生视察,归纳,
23、猜想出倾斜角与的系数的关系:倾斜角不同,方程中的系数不同,而且这个系数正是倾斜角的正切!板书定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作,即.这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量倾斜角,现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量斜率.指出下列直线的倾斜角和斜率:(1)=(2)=tg60(3)=tg(30)学生思索后回答,师生一起订正:(1)120;(2)60;(3)150(为什么不是30呢?)画图,指出倾斜角和斜率.结合图3(也可以演示动画),视察倾斜角改变时,斜率的改变状况.注意:当倾斜角为90时,斜率不存
24、在.=0?=0090?0=90?不存在90180?0(四)直线过两点斜率公式的推导问题4假如给定直线的倾斜角,我们当然可以依据斜率的定义=tg求出直线的斜率;假如给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是确定的,斜率就是确定的,那么又怎么求出直线的斜率呢?即已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1x2),求直线P1P2的斜率.思路分析:首先由学生提出思路,老师启发、引导:运用正切定义,解决问题.(1)正切函数定义是什么?(终边上任一点的纵坐标比横坐标.)(2)角是“标准位置”吗?(不是.)(3)如何把角放在“标准位置”?(平移向量,使P1与原点重合,得到新向量.)(4)P的坐
25、标是多少?(x2x1,y2y1)(5)直线的斜率是多少?=tg=(x1x2)(6)假如P1和P2的依次不同,结果还一样吗?(一样).评价:注意公式中x1x2,即直线P1P2不垂直x轴.因此当直线P1P2不垂直x轴时,由已知直线上随意两点的坐标可以求得斜率,而不须要求出倾斜角.练习(1)直线的倾斜角为,则直线的斜率为?(2)随意直线有倾斜角,则随意直线都有斜率?(3)直线(330)的倾斜角和斜率分别是多少?(4)求经过两点(0,0)、(1,)直线的倾斜角和斜率.(5)课本第37页练习第2、4题.老师巡察,视察学生状况,个别辅导,订正答案(答案略).总结老师引导:首先回顾前边提出的问题是否都已解决
26、.再看下边的问题:(1)直线倾斜角的概念要注意什么?(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗?(3)已知两点坐标,如何求直线的斜率?斜率公式中脚标1和2有依次吗?学生边探讨边总结:(1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,当=90时,不存在.(3)=(),没有.作业1.课本第37页习题7.1第3、4、5题.2.思索题(1)方程是单位圆的方程吗?(2)你能说出过原点,倾斜角是45的直线方程吗?(3)你能说出过原点,斜率是2的直线方程吗?(4)你能说出过(1,1)点,斜率是2的直线方程吗?板书设计7.1直线的倾斜角和斜率一、直线方程二、直线的倾斜角三、直线的斜率四、斜率公式练习小结作业直线的倾
27、斜角和斜率教学反思直线的倾斜角和斜率教学反思课堂导入是课堂教学的主要环节之一，一堂课导入的成与败干脆影响着整堂课的效果。恰当的导入不仅能够引起学生对新知的学习爱好和求知欲望，而且能够让学生明确本节课的教学目的和意义，对课程的内容起到指引方向的作用。通过对直线的倾斜角和斜率这节课的反复研读，备课，打磨。我想谈谈自己在磨课过程中的一些感悟。一、关于章节第一课的引入直线的倾斜角和斜率是北师大数学必修二其次章第一节。这节课的内容看似简洁，实则要给学生讲清晰，却不简单。本节课的引入不仅有这节课的引入，还有本章的引入。我前后两次试讲，课前引入上一次，改一次。第三次采纳了课本上的引入，从教学效果来看，这一次
28、是最流畅，最切合学生实际的引入，对本章起到了提纲挈领的作用。下面是我三次课程不同的引入。1第一次引入：问题引入提问：平面直角坐标系中，如何表示一个点P?直线又如何表示？从今日起我们学习其次章解析几何初步，让我们一起了解解析几何的鼻祖-笛卡尔，多媒体展示笛卡尔对解析几何的贡献，然后引入第一节课。学生一脸茫然，只是机械的听着。从上课后的感受来看，很别扭，很不顺。课上得好不好，一个是学生有发言权，另一个就是执教者本人，是否流畅舒适。而我上完感觉不爽，不舒适，语言拗口。所以，上完课和同行老师聊了聊，就改了。换一种方式引入。2、其次次上课的引入提问：（1）一次函数的解析式是什么？它的图像是什么形态？（学
29、生回答）（2）初中我们通过平面直角坐标系探讨了一次函数的图像和性质，哪位同学了解平面直角坐标系还可以称作什么坐标系？有同学回答笛卡尔坐标系，老师由此引出笛卡尔，多媒体展示笛卡尔在解析几何中的贡献，引出本章以及本节课。这样引入，好像很快过度到笛卡尔这个人，但是学生的爱好不是很大，而且提到一次函数，学生自然而然由y=kx+b(k不等于0）想到斜率，实质上孩子在初中虽然知道斜率，但是，对斜率概念是不了解的，这也是本节课的探讨目标。孩子在回答后面课堂第一个问题确定直线的方法有哪些？时，干脆回答直线的斜率，让后面教学也很不顺。其次，这种引入太单调，对本章也没有说明，引入时间过长。所以，也感觉课上得很不爽
30、。课后，我又一次研读课本，阅读老师用书，细致看课标对这一部分的要求。我突然发觉，教科书上的引入实质上是最好的引入，数学来源于生活，有服务于生活。3、第三次的引入，也是公开课的引入16世纪以后，由于生产和科技的发展，天文、力学、航海等方面对几何学提出新的须要，比如德国的天文学家开普勒发觉行星围着太阳沿着椭圆轨道运行，意大利科学家伽利略发觉投掷物的运动轨迹是抛物线（利用多媒体，老师适时的展示行星围着太阳旋转的椭圆轨道、投掷物的运动轨迹是抛物线等图片），这些发觉都涉及圆锥曲线，原先的一套方法已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。让我们相识一下解析几何的鼻祖-笛卡尔，他是解析几何的创立者，解析几何的
31、基本思想是通过建立坐标系，把几何问题代数化，用代数方法进行探讨，从这节课起先，我们学习其次章，解析几何初步。本章就通过对直线与圆等内容的探讨，帮助我们体会解析几何的基本思想。这一节，我们学习第一节-直线的倾斜角和斜率。课后，我发觉，这样的引入特别顺畅，多媒体展示的天体运行图片以及抛物线图片，一方面引起学生的爱好，另一方面说明数学来源于生活，同时又服务于生活，切合学生的实际，同时对解析几何的简洁介绍，让学生也明确了本章的目标，能够总览全章。通过对这一节课的充分备课，发觉研读教材特别重要，我们肯定要娴熟的把握教材，吃透教材，课堂内容才会深化浅出。第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页