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1、微积分(第3版)，赵树嫄主编，中国人民大学出版社，2007习题参考答案ch4 中值定理与导数应用 习题四(A) P194 参考答案P4275. 用Lagrange定理证明：若f(x)=f(0)=0, 且当x0时f(x)0, 则当x0时f(x)0. 证明：当x0时, 由Lagrange定理得 f(x)f(0)=f(c)(x0), (0c0. 6. 证明不等式 . 证明：根据Lagrange中值定理, 有c介于x,y之间, 使得 故 , 故命题成立. 8. 证明23, (x0, x1). 证明：令y=23x+1, 则y=3(1), y=0. y在(0,1)上严格单调下降, 在(1,+) 上y严格单
2、调上升, 而在x=1处y达到最小值0. 如图所示, 故y0, (x0, x1).此即 23, (x0, x1). 图t8yOxy=y(x)119. 利用L.Hospitals Rule求极限.(1) 解：=2. (3) . 解：=. (5) , (a0). 解：=. 16.证明y=xln(1+x2)单调增加. 证明：y=1=0.故y单调增加. 17.证明y=sinxx单调递减. 证明：y=cosx10.故y单调递减. 18.求极值. (1) y=x33 x2+7.解：从y= 3x26x=0解得驻点x=0,2. 根据y的符号变化可知y(0)=7是极大值, y(2)=3是极小值. (3) y=.解
3、：从y=0解得驻点x=1/2. 根据y的符号变化可知y(1/2)=3/2是极大值. (5) y=(x+1)2/3(x5)2. 解：从y=0解得驻点 1/2,5,奇点1. 根据y的符号变化可知y(0.5)= 是极大值, y(5)=0是极小值 . 奇点x=1处y有极小值0. (7) y=(x1). 解：从y=得驻点x=2/5, 奇点x=0. 根据y的符号变化可知y(2/5)= 是极小值. 在奇点x=0处y有极大值0. 19. 利用2阶导数判断极值. (1) y=x33x29x5. 解：从y= 3x26x9=0解得驻点x=1,3. y=6(x1), y(1)0,故y(1)=0是极大值, y(3)=3
4、2是极小值. (3) y=2xln(4x)2.解：y=2x2ln(4x), 从y=2(1)=0解得驻点x=1. y=, y(1)0, 故y(1)=24ln2是极小值. 20.求指定区间上的最大最小值. (1) y=x42x2+5, 2,2.解：从y= 4x34x=0解得驻点x=0,1. 比较端点处的函数值y(2)=13与驻点处的函数值y(0)=5 ,y(1)=4得y的最大值y(2)=13, 最小值y(1)=4. (3) y=, 1/2,1.解：从y=0解得驻点x=0,2, 比较函数值y(0)=0,y(2)=4与端点处的函数值y(1/2)=1/2, y(1)=1/2得y在1/2,1上的最大值y(
5、1/2)=y(1)=1/2, 最小值y(0)=0. 21. 设f(x)=ax36ax2+b, (a0), 区间1,2上的最大3, 最小值29 ,求a,b.解：从y= 3ax212ax =0解得驻点x=0,4, 比较函数值y(0)=b, y(4)=0, 与端点处的函数值y(1)=5a+b, y(2)= 16a+b,可以得到y的最大值3与最小值29. 显然最大值f(0)=b=3, 最小值y(2)=16a+b=29. 故a=2,b=3.24. 怎样做总造价最低?解：设池底半径xm,高ym. 依题得 x2y=300, 材料总造价P=2xy+2x2, (这里假设侧面单位造价为1). 从而P=2x2+60
6、0/x . 从P=4x600/x2 =0解得驻点x=, 根据y的符号变化可知P()是极大值, 显然也是最大值. 答：当底半径长m, 高2m时总造价最低. 25. 某工厂A距铁路的垂直距离AB=a km, 如图, C是火车站, BC=b km,已知铁路运费为n元/(吨公里), 公路运费为m元/(吨公里), mn, 问怎样确定转运站M的位置, 才能使运费最省? 图t25AMCB解：设CM=x, 则总运费 y=nCM+ mMA= nx+m 从y=n+m(xb)/=0, 解得唯一临界点x0=bna/.从实际情况可以判断该点也是最小值点. 答：转运站M距离火车站C点bna/时运费最省. 26. 问怎样确
7、定货场M的位置, 才能道路总长度最短? 图t26BMCDA解：设CM=x, 则道路总长度 y=AM+ MB=+, 从y=x/(3x)/=0, 解得唯一正临界点x0=6/5.从实际情况可以判断该点也是最小值点. 答：货场M距离C点1.2km时道路总长度最短. 30. 问分几批生产,能使生产准备费以及库存费之和最小? 解：设分x批生产, 则生产准备费以及库存费之和P(x)=1000x+0.05100104/2x. 从P= 10000.0550104/x2 =0解得唯一的非负驻点x0=5, x0显然是最小值点.答：分5批生产,能使生产准备费以及库存费之和最小. 31. 问分几批进货,能使手续费以及库
8、存费之和最小? 解：设分x批进货, 则手续费以及库存费之和P(x)=bx+ca/2x. 从P=bca/2x2 =0解得唯一的非负驻点x0=, x0显然是最小值点.答：分批进货,能使手续费以及库存费之和最小. (注意:也可以设批量为x)32. 确定下列曲线的凹向与拐点.(1) y=x2x3.解：y=2x3x2, y=26x, 拐点x=1/3, 故 y在(,+)上的凹凸性如下区间端点 1/3 +y的符号+凹凸性下凹上凹(3) y=ln(1+x2). 解：y=2x/(1+x2), y=2(1x2)/(1+x2)2, 拐点x=1, 故 y在(,+)上的凹凸性如下区间端点 1 +1 +y的符号+凹凸性上
9、凹下凹上凹35. 求下列曲线的渐近线. (1) y=ex. 解：y无铅直渐近线. 设y=ax+b是渐近线, 则 a=0, b=(exax)=0, 渐近线y=0.(7) y=x. 解：x=0是铅直渐近线.设y=ax+b是渐近线, 则 a=1, b=( xx)=0, 渐近线y=x.39. 生产x单位某产品的总收益函数为R(x)=200x0.01x2, 求生产50单位时的总收益,平均收益和边际收益.解：总收益R(50)= 200500.01502=9975元. 平均收益= R(50)/50=199.5. 边际收益=R(50) =2000.0250=199. 40. 生产x单位某产品的利润函数为L(x
10、)=500+x0.00001x2, 问生产多少单位时的利润最大?解：L(x)=10.00002x=0得到驻点x=0.5105=50000. 答：生产50000单位时的利润最大. 41. 每批生产x单位某产品的费用为C(x)=5x+200, 得到的收益为R(x)=10x0.01x2, 问每批生产多少单位时的利润最大?解：L(x)=R(x)C(x), L(x)=R(x)C(x)= 100.02x 5=0得到驻点x=250. 答：每批生产250单位时的利润最大. 42. 某产品的价格P与需求量Q的关系为P=10Q/5, (1) 求需求量为20及30时的总收益,平均收益和边际收益. (2) Q为多少时总收益最大? 解：(1) R=PQ=(10Q/5)Q, 总收益R(20)= (1020/5)20=120, R(30)= (1030/5)30=120. 平均收益R(20)/20=6, R(30)/30=4. R=102Q/5, 边际收益R(20)=2, R(30)=2. (2) 从R=102Q/5=0,得到驻点Q=25, 是最大值点,最大值R(25)=125. 4/4