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1、 免费教学资源网站无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考 全免费的数学教学资源网站QQ 904007915 教师群号39658039 （小学）46332927 （中学）初中数学竞赛辅导资料(67) 参数法证平几甲内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算. 乙例题例 1 如图已知： AB 是 O 的直径， C 是半圆上的一点，CD AB 于 D， N 与 O 内切且与AB、 CD 分别切于 E，F. 求证： AC=AE. 分析：选取
2、两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE 的关系 . 证明：设 O， N 半径分别为R 和 r，连接 ON，NE. 根据勾股定理：OE=22)-(Rrr=rR2-R2，AE=OAOER+rR2-R2；OD=OE r=rR2-R2r，AD=OA ODR+rR2-R2r 根据射影定理AC2=AD AB=(R+rR2-R2r)2R =2R2+2RrR2-R22Rr =R2+2RrR2-R2+(R22Rr) =(R+rR2-R2)2 AC= R+rR2-R2. AC=AE 例 2. 已知： ABC 的内切圆I 和边 AB， BC，CA 分别切于D，E，F，AC BC2AD DB. 求证： CRt. 证明
3、：设ADx,则 DB cx. 代入 AC BC2ADDB. 得ab=2x(c x). 2x22cx+ab=0. x=4222abcc=222abcc,又根据切线长定理得x2abc，222abcc2abc.ABCNDEOFxbaCCBAIDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 免费教学资源网站无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考 全免费的数学教学资源网站QQ 904007915 教师群号39658
4、039 （小学）46332927 （中学）c22ab=a22ab+b2. c2=a2+b2 . CRt. 例 3.已知： 等边三角形ABC 中，P 是中位线DE 上一点， BP，CP 的延长线分别交AC 于 F，交 AB 于 G. 求证：BC3CF1BG1. 证明：设 ABC 边长为 a,PDm,PE=n,BG=x,CF=y. DE 是ABC 的中位线，DE BC，DE21BC. )2(2)1(2yayanxaxam（1）（ 2） ：yayxaxanm22. yaxa212121，23)11(2yxa，ayx311. BC3CF1BG1. 例 4.已知：如图四边形ABCD 中，过点B 的直线交
5、AC 于 M，交 CD 于 N，且CDCNACAMSABCSABDSBCD134. 求证： M，N 平分 AC 和 CD. 证明：设SABC1，则 SABD3，SBCD4，SACD3416. 设CDCNACAMk (0k1). 连结 AN. 根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得kCDCNSSACDACN，SACN6k；kSACAMSACNAMN, SAMN6kk6k2；mnPABCDEFGjMABCDN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - -
6、 - - - - - - 免费教学资源网站无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考 全免费的数学教学资源网站QQ 904007915 教师群号39658039 （小学）46332927 （中学）kCDCNSSBCDBCN, SBCN4k；kACAMSSABCABM, SABMk； SBMC1k. SACNSAMNSMNCSBCNSBMC 6k6k2=4k(1k) . 6k2k1=0. k=21；或 k=31.(k=31.不合题意，舍去.) CDCNACAMk=21.AM MC， CNND . 即 M，N 平分 AC 和 CD. 例 5.已知：如图 ABC 中， AD 是高， A
7、B DC AC BD. 求证： AB AC. 证明：设ABc，AC b, BD=m, DC=n. 根据勾股定理得.2222mbncmcnb；.)()(nbmcmcmcnbnb；.mncbmcnb；.cbmnbcmn；cb=bc，b=c. 即 ABAC. 例 6. 如图已知：一条直线截ABC 三边 AB， BC， AC 或延长线于D，E，F. 求证：1FACFECBEDBAD（曼奈拉斯定理）证明：设 BDE ， DEB ， F. 根据正弦定理：在 BDE 中，SinDBinSBESinSinDBBE；在 CEF 中，SinECSinCFSinSinECCF；在 ADF 中，)180(SinFAS
8、inAD)180(SinSinFAAD. EABCFDjMABCDNnmbcABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 免费教学资源网站无需注册，免费下载，关注课件、试题、教案的打包下载和参考 全免费的数学教学资源网站QQ 904007915 教师群号39658039 （小学）46332927 （中学）Sin(180)=Sin. FAADECCFDBBE.SinSinSinSin1)180(SinSin. 即1FAC
9、FECBEDBAD. 丙练习67 1.已知：如图三条弦AB，CD， EF 两两相交于G，H，I. IAGD HE， ICGF HB. 求证： GHI 是等边三角形 . 2.已知：在矩形ABCD 中， AP BD 于 P，PEBC 于 E，PFCD 于 F. 求证： PA3PE PFBD 3.已知： ABC 的两条高 AD ， BE 相交于 H，求证：过 A， B， H 三点的圆与过A， C，H 三点的圆是等圆. 4.已知： AB 是 O 的直径， P 是半圆上的一点，PCAB 于 C，以 PC 为半径的 P 交O 于 D，E. 求证： DE 平分 PC. 5.已知： ABC 的两条高 AD 和
10、 BE 相交于 P，且 ADBC，F 是 BC 的中点 . 求证： PDPF21BC 6.已知：平行四边形ABCD 中， A B，AC2BD2AB4AD4. 求证： A31B. 7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比. 8.已知： AB 是 O 的直径， E 是半圆上的一点，过点E 作 O 的切线和过A，B 的 O的两条切线分别相交于D，C，四边形 ABCD 的对角线AC，BD 交于 F，EF 的延长线交 AB 于 H. 求证： EF=FH. 9.已知：如图 M 和 N 相交于 A，B，公共弦AB 的延长线交两条外公切线于P， Q. 求证： PA=QB；PQ2=AB2+CD2. 10.已知：正方形ABCD 内一点 P，满足等式PAPBPC1 23. 求证： APB 135 . 11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a 和 b 表示两直角边）（1979 年美国中学数学竞赛试题）返回目录参考答案IGHAEFBCDBAMNFEQCPD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -