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1、初中数学竞赛辅导资料(9) 一元一次方程解的讨论甲内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0 x=0, 0 x=2 的解分别是：x=3, x=0 或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2， 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a0 时，有唯一的解x=ab；当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论x 取什么值， 0 x0 都成立）3,求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当 ab时，方
2、程有整数解；当 ab，且 a、b 同号时，方程有正整数解；当 a、b 同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题例1a 取什么值时，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？解：当a0 且 a2 时，方程有唯一的解，x=a4当 a=0 时，原方程就是0 x= 8，无解；当 a=2 时，原方程就是0 x=0 有无数多解由可知当a0 且 a2 时，方程的解是x=a4,只要 a 与 4 同号，即当 a0 且 a2 时，方程的解是正数。例2k 取什么整数值时，方程k(x+1)=k 2（x2）的解是整数？（ 1x）k=6 的解是
3、负整数？解：化为最简方程（k2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2=1，2， 4 时，方程的解是整数k=1， 3，0， 4，2， 6 时方程的解是整数。化为最简方程kx=k 6，当 k0 时 x=kk6=1k6，只要 k 能整除 6,即 k=1， 2，3， 6 时， x 就是整数当k=1,2,3 时，方程的解是负整数5， 2， 1。例 3己知方程a(x2)=b(x+1) 2a无解。问a 和 b 应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(ab)x=b 方程无解，ab=0 且 b0 a 和 b 应满足的关系是a=b0。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
4、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 例 4a、b 取什么值时，方程（3x2）a+（2x3） b=8x7 有无数多解？解：原方程化为最简方程：（ 3a+2b8）x=2a+3b 7，根据0 x0 时，方程有无数多解，可知当07320823baba时，原方程有无数多解。解这个方程组得12ba答当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。丙练习（ 9）1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：(x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x 1,x+2=2+x 2,关于 x 的方程 ax=
5、x+2 无解，那么a_ 3,在方程 a(a3)x=a 中，当 a 取值为时，有唯一的解；当 a时无解；当 a时,有无数多解；当 a时 ,解是负数。4， k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？x=k4x=16kx=kk32x=123kk5， k 取什么值时，方程xk=6x 的解是正数？是非负数？6， m 取什么值时，方程3（m+x）=2m1 的解是零？是正数？7， 己知方程221463ax的根是正数，那么a、b 应满足什么关系？8， m 取什么整数值时，方程mmx321) 13(的解是整数 ? 9， 己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b 的值。初中数学竞赛辅导资料（10）二元
6、一次方程的整数解甲内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（ a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（ 9，3） 3，而 3 不能整除10； （4，2） 2，而 2不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2， 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解， 一般
7、都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解 （即所有的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 解） 。k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1 的整数解解： x=5111y=yyyy2515101(1) , 设kky(51是整数），则 y=1-5k (2) ,把（ 2）代入（ 1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 原方程所有的整数解是kykx51211（k 是整数）方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解00yy
8、xx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解：出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值用观察法直接写出。乙例题例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解 x=53235310155918yyyyy设ky53（k 为整数），y=35k,代入得 x=99k 原方程整数解是kykx5399（k 为整数）又解：当x=o 时， y=2，方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解解： x=52056100yyy(1)，设ky5(k 为整数
9、 )，则 y=5k,(2) 把（ 2）代入（ 1）得 x=20-6k ，00yx解不等式组050620kk得 0k620,k 的整数解是1，2，3，正整数解是514yx108yx152yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 例 3，甲种书每本3元，乙种书每本5元， 38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得3x+5y=38（x,y 都是正整数）x1 时，y=7，71yx是一个整数解通解是kykx375
10、1（k 为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k整数 k=0，1，2 把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。丙练习 10 1， 求下列方程的整数解公式法： x+7y=4, 5x-11y=3 整除法： 3x+10y=1, 11x+3y=4 2,求方程的正整数解：5x+7y=87,5x+3y=110 3，一根长10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4， 兄弟三人，老大20 岁，老
11、二年龄的2 倍与老三年龄的5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）4x2y=11, 10 x-5y=70, 9x+3y=111, 18x-9y=98, 91x-13y=169, 120 x+121y=324. 6, 一张试巻有20 道选择题，选对每题得5 分，选错每题反扣2 分，不答得0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7用观察法写出方程3x+7y=1 几组整数解：y= 1 4 2 x=371y初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1 二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：精品资料
12、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（两个方程等效）当212121ccbbaa时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的）当2121bbaa（即 a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程
13、组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例 2、3）乙例题例 1.选择一组a,c值使方程组cyaxyx275有无数多解，无解，有唯一的解解：当5a=12=7c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。当5a127c 时，方程组无解。解得 a=10,c14。当5a12 时，方程组有唯一的解，即当 a10 时， c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例 2.a 取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？解：把 a 作为已知数，解这个方程组得23152331ayax00yx0231502331aa解不等式组得531331
14、aa解集是 6311051a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 答：当 a 的取值为6311051a时，原方程组的解是正数。例 3.m 取何整数值时，方程组1442yxmyx的解 x 和 y 都是整数？解：把 m 作为已知数，解方程组得82881mymxx 是整数， m8 取 8 的约数 1， 2， 4， 8。y 是整数， m8 取 2 的约数 1， 2。取它们的公共部分，m8 1， 2。解得m=9，7，10，6。经检验 m=9，7
15、，10，6 时，方程组的解都是整数。例 4（古代问题）用100 枚铜板买桃，李，榄橄共100 粒，己知桃，李每粒分别是3， 4 枚铜板，而榄橄7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,y,z 粒,依题意得)2(1007143) 1 (100zyxzyx由（ 1）得 x= 100yz (3) 把（ 3）代入（ 2） ，整理得y=200+3z7z设kz7(k 为整数 )得 z=7k, y=200+20k, x=30027k x,y,z 都是正整数07020200027300kkk解得0.10.9100kkk（ k 是整数）10k3 和不等式（ 2）的解集x2 的交集，
16、 x3.如数轴所示：023 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例 2）乙例题例 1.一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。解：除以3 余 2 的自然数集合A 2，5，8，11，14，17，20，23， 26，整数集正数集正整数集精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
17、 - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 除以 5 余 3 的自然数集B 3，8，13，18，23，28，除以 7 余 2 自然数集合C 2，9，16，23，30，集合 A、B、C 的公共元素的最小值23 就是所求的自然数。例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。解：二位的质数共21 个，它们的个位数字只有1， 3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是 1，3，7，9 ；其中差等于6 的有： 1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组；平方数的个位数字相同的只有3 和 7；1 和 9 二组。同时符合三个条件
18、的个位数字是3 和 7 这一组故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67 共四组。例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28 人，订阅 B 种刊物的有21 人，其中 6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、 B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（ A、B 两种都订的人数集合） 。只订 A 种刊物的人数是28622 人；只订 B 刊物的人数是21615 人；小组总人数是22156144 人。设 N，N（A） ，N（B） ，N（AB） ，N分别表示总人数，订A 种、 B
19、种、 AB 两种、都不订的人数，则得公式一 NN+ N（A）+N（B）N（AB ） 。例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24 人，篮球有 18 人， 排球有 10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有6 人，同时会玩乒乓球和排球的有4 人，三种球都会的只有1 人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一 ,得公式二：NN+ N（A）+N（B）+N(C) N（AB ） N（AC ） N(BC)+N(ABC) 只会打乒乓球的是2464115（人）求 N（BC）可用公式二：4024181064N（BC）1 N（BC） 3，即同时会打篮球和排球的是3 人只会打排球的是10
20、316（人）例 5. 十进制中，六位数8719xy能被 33 整除，求x 和 y 的值解： 0 x，y9， 0 x+y18， 9xy9，x+yx y 33311，19x+y+8 7 的和是 3 的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8) (9+y+7) 是 11 的倍数，故 xy=4，7 x+y 和 xy 是同奇数或同偶数，它们的交集是下列四个方程组的解：48yxyx414yxyx711yxyx717yxyxABC 1AB 6AC 4 A24B18C 10ABB 21A 28只B15只A226精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下
21、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 解得62yx95yx29yx512yx（x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2 丙练习 12 1 负数集合与分数集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。3 12 的正约数集合A ，30 的正约数集合B12 和 30 的公约数集合C ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的4 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：563xx052xx22131xx0202xx5 某数除以3 余 1，除以 5 余 1，除
22、以 7 余 2，求某数的最小值。6 九张纸各写着1 到 9 中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7 求符合如下三条件的两位数：能被3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。8 据 30 名学生统计， 会打篮球的有22 人，其中 5 人还会打排球； 有 2 人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和 B 进行表决，赞成A 的有 52 票，赞成 B 的有 60 票，其中A、B 都赞成
23、的有36 人，问对 A、B 都不赞成的有几人？10.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2 人三科都参加呢？）11.053yxyx12.十进制中，六位数2851xy能被 21 整除，求x,y 的值（仿例5）初中数学竞赛辅导资料（13）用枚举法解题甲内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：按一定的顺序，有系统地进行；分类列举时，要做到既不重复又不违漏；遇到较大数字或抽象的字母，可从较小
24、数字入手，由列举中找到规律。乙例题1例 1如图由西向东走，从 A 处到 B 处有几种走法？411134311CABPMN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如从 A 到 C 有三种走法，在C处标上 3，从 A 到 M（N）有 314 种，从 A 到 P 有 34 411 种，这样逐步累计到 B，可得 111113（种走法）例2写出由字母X，Y，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数
25、为1）的所有四次单项式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X 的项的顺序列出（如左）解法二：按XYZX 的顺序轮换写出（如右）X4，X 4， Y4，Z4 X3Y，X3Z，X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ，X3Z ， Y3X，Z3Y XY3，XZ3，XY2Z， XYZ2，X2Y2， Y2Z2， Z2X2 Y4，Z 4Y3Z，Y2Z 2，YZ3。X2YZ ，Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按3 个字母， 2 个字母， 1 个字母的顺序轮换写出(略) 例3讨论不等式axb 的解集。解：把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表ax0 时，解
26、集是xab, 当 aab, 当 a=0,b0 时，解集是所有学过的数，当 a=0,b0 时，解集是空集(即无解 ) 例 4如图把等边三角形各边4 等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数解：设原等边三角形边长为4 个单位，则最小的等边三角形边长是1 个单位，再按顶点在上和顶点在下两种情况，逐一统计：边长 1 单位，顶点在上的有：1+2+3+4=10边长 1 单位，顶点在下的有：1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在上的有：1+2+3=6边长 2 单位，顶点在下的有：1 边长 3 单位，顶点在上的有：1+2=3 边长 4 单位，顶点在上的有：1合计共 27 个丙练习 13 1 己知 x，
27、y 都是整数，且xy=6，那么适合等式解共_个，它们是2 a+b=37,适合等式的非负整数解共_组，它们是3 xyz=6, 写出所有的正整数解有：4 如图线段AF 上有 B，C，D，E 四点,试分别写出以A，B，C，D，E 为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - A B C D E F 5.写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式。6.除以 4 余 1
28、两位数共有几个？7.从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？8.把 边长等于4 的正方形各边4 等分，連结各对应点成16 个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为5 等分呢？ 10 等分呢？9.右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A 到 B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？10.列表讨论不等式axb 的解集 . 11.一个正整数加上3 是 5 的倍数，减去3 是 6 的倍数，则这个正整数的最小值是初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察
29、其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由( 1)2 1 ， （1 ）31 ， （ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是1，而1 的偶次幂是 1 。由两位数从10 到 99 共 90 个（9 10 ） ，三位数从100 到 999 共 900 个（9102） ，四位数有 91039000 个（ 9103） ，归纳出 n 位数共有910n-1(个) 由 1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想
30、结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论， 有可能是错误的， 所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）乙例题例1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点，1 2 第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得12 3 第 4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得12 3 第 5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，得12 34 AB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
31、 - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 第 n 条直线和前n1 条直线都相交，增加了n1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点1 23 n1（个） ，这里 n2，其和可表示为1+（n+1） 21n,即2) 1(nn个交点。例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的連乘积，读作n 的阶乘。例如5！ 12345。试比较3n与（n+1） ！的大小（ n 是正整数）解：当 n 1 时， 3n3,（n1） ！ 122 当 n 2 时， 3n9，（n1） ！ 1236 当 n 3 时， 3n27,（n1） ！ 123424 当 n 4 时， 3n8
32、1,（n1） ！ 12345120 当 n 5 时， 3n243,（n1） ！ 6！ 720猜想其结论是：当n1，2，3 时，3n（ n1） ！ ，当 n3 时 3n（ n1） ！ 。例 3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析：这2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2 个， 3 个， 4 个直到发现规律为止。解： x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=
33、2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解为x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。丙练习 14 1 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个。2 十 进 制 的 两 位 数21aa可 记 作10a1 a2,三 位 数321aaa记 作100a
34、1+10a2+a3,四 位 数4321aaaa记作，n 位数记作3 由 1323（ 12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323 n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）个1101111252222个（）2；121111n个22222n个（）2。位91111位95655（）2；n位n位56551111（）2 5 把自然数1 到 100 一个个地排下去：123 91011 99100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算12111131211413120191精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
35、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小 . 8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长8 等分，分成24 个小长方形，那么这24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽m 等分,长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数 )那么这 mn 个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等
36、分，切成64 个小正方体，那么这64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m 等分 ,宽 n 等分 ,高 p 等分，（m,n,p 都是大于2 的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横， 纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块， 其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式甲内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项
37、式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2, 平方差公式： （a+b）(ab)=a2b2 立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b3 3.公式的推广：多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍。二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(a
38、b)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 注意观察左边第二个因式的项数、
39、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2 ab2n2b2n1)=a2nb2n (a+b)(a2na2n1b+a2n2b2 ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（ ab）(an1+an2b+an3b2+ abn2+bn1)=anbn4.公式的变形及其逆运算由（ a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)22ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3 3ab(a+b) 由公式的推广可知：当n 为正整数时an bn能被 ab
40、 整除 , a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除 , a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。乙例题例 1. 己知 x+y=a xy=b 求x2+y2x3+y3x4+y4x5+y5 解：x2+y2 (x+y)2 2xy a2 2b x3+y3 (x+y)33xy（ x+y） a3 3ab x4+y4 (x+y)44xy（ x2+y2） 6x2y2a44a2b2b2 x5+y5（ x+y ）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y) x4+y4 xy(x2+y2)+x2y2=aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1 的和，一
41、定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a 为整数 ) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1 是整数证毕例3.求证： 2222 3111能被 7 整除证明： 2222 3111（ 22）111311141113111 根据a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除， （见内容提要4）41113111能被4 3整除2222 3111能被 7 整除例4. 由完全平方公式推导“个
42、位数字为5 的两位数的平方数”的计算规律解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25 “个位数字为5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1 的数的积。如： 152=225 幂的百位上的数字2=12)，252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - -
43、- - 丙练习 15 1 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(a b)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2 _ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3) _ 2 填空：(x+y)(_)=x4y4(xy)(_)=x4 y4 (x+y)( _)=x5+y5（ xy）(_)=x5y53.计算：552= 652= 752= 852= 952= 4. 计算下列各题，你发现什么规律1119= 2228= 3436= 4347= 7674= 5.已知 x+x1=3, 求x2+21xx3+31xx4+41x的值6.化
44、简：（ a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c) 7.己知 a+b=1,求证： a3+b33ab=1 8.己知 a2=a+1，求代数式a55a+2 的值9.求证： 2331 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。初中数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类甲内容提要1 余数的定义：在等式AmBr 中，如果A、B
45、是整数， m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称r 是 A 除以 m 的余数。即：在整数集合中被除数除数商余数(0余数 除数 ) 例如： 13，0，1， 9 除以 5 的余数分别是3，0，4，1（ 15（ 1） 4。 95（ 2）1。 ）2 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m 种。例如整数除以 2，余数只有0 和 1 两种，除以3 则余数有 0、1、2 三种。abc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 3 整数的
46、一种分类：按整数除以正整数m 的余数，分为m 类，称为按模m 分类。例如：m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作2k, 2k1（k 为整数）m=3 时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+2. 或 3k ,3k+1 ， 3k1其中 3k1表示除以3 余 2。m=5 时，分为五类， 5k .5k+1,5k+2,5k+3,5k+4或 5k,5k1,5k2 ，其中 5k 2 表示除以5 余 3。4 余数的性质：整数按某个模m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（ 3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 112）（ 4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3
47、k1+k2)+3（余数 133）（ 5k2）225k220k+4=5(5k2 4k)+4（余数 224）以上等式可叙述为：两个整数除以3 都余 1，则它们的和除以3 必余 2。两个整数除以4，分别余1 和 3，则它们的积除以4 必余 3。如果整数除以5，余数是2 或 3，那么它的平方数除以5，余数必是4 或 9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如： 17 除以 5 余 2 176除以 5 的余数是4 （2664）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。乙例题例 1. 今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7 天，选用模m=7, 求 99除以 7 的余数解： 99（ 7 2）9，
48、它的余数与29的余数相同，29（ 23）3 83（ 71）3它的余数与13相同，99天后是星期一。又解：设 A表示 A 除以 7 的余数，99（72）9 29 83 （71）3 13 1 例 2. 设 n为正整数，求43 n+1 除以 9 的余数。分析：设法把幂的底数化为9k r 形式解： 43 n+1443n=4(43)n=4（ 64）n4(971)n (9 71)n除以 9 的余数是1n=1 43 n+1 除以 9 的余数是4。例 3. 求证三个连续整数的立方和是9 的倍数解：设三个连续整数为n1,n,n+1 M=(n 1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数 n按模 3，分为
49、三类讨论。当 n=3k （k 为整数，下同）时，M33k(3k)2+2=9k(9k2+2) 当 n=3k+1 时，M3（3k+1） (3k+1)2+2 3（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当 n=3k+2 时，M3（3k+2） (3k+2)2+2 3（3k+2）(9k2+12k+6) 9(3k+2)(3k2+4k+2) 对任意整数n，M 都是 9 的倍数。例 4. 求证：方程x23y2=17 没有整数解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17
50、 页 - - - - - - - - - - 证明：设整数x 按模 3 分类讨论，当 x3k 时，（3k）23y2=17, 3(3k2y2)=17 当 x=3k1 时，（3k1）23y2=17 3(3k22ky2)=16 由左边的整数是3 的倍数，而右边的17 和 16 都不是 3 的倍数，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17 没有整数解例 5. 求证：不论n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被5 整除证明：把n 按模 5 分类讨论，当 n=5k 时， n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当 n=5k1 时， n2+n+1（ 5k1）25k11 25k210k