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1、二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理知识点 1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a0)的函数值 y=0 时，就是一元二次方程，当y0 时，就是二次不等式。知识点 2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函数 y=ax2 bxc 图象与 x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2bxc=0 的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、 韦达定理、 求根公式等解题。知识点 3、二次函数与一元二次方程、
2、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：二、精典题型剖析例 1、已知二次函数y=x2（ m3）xm 的图象是抛物线，如图（1）试求 m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当 m 为何值时，方程x2（ m3）xm=0 的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点 P、Q，求当 PQ 最短时 MPQ 的面积变式训练 ： 1、 函数 y=ax2bxc 的图象过（1， 0） ， 则bacacbcba的值是 _ 2、已知二次函数y=x2-2x+3. (1) 若它的图像永远在x 轴的上方，则x 的取值范围是 _; (2) 若它的图像永远在x 轴的下方，则x 的取值范围是
3、 _; (3) 若它的图像与x 轴只有一个交点，则x 的取值范围是 _. 3、已知二次函数y=x2mxm2求证：无论 m 取何实数， 抛物线总与x 轴有两个交点=b24ac 0 =0 0 二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图像xyOxyOxyO一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根abx22,1abx2无实数根一元二次不等式ax2+bx+c 0(a0)的解集x1x或x2x（1x2x）abx2x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c 0(a0)的解集1xx2x（1x2x）无解无解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - DQ图图1xyOABCCBAOyxDQxyOABC4已知二次函数y=x22kxk2k2（1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5已知抛物线y=mx2（ 32m）xm2（m 0 ）与 x 轴有两个不同的交点（1）求 m 的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当 m=1 时，求抛物线的顶点Q 及 P点关于抛物线的对称轴对称的点P 的坐标，并过 P 、Q、P 三点，画出抛物线草图例 2、 (本题满分12 分
5、) 二次函数26(0)yaxbxa的图像交 y 轴于 C 点，交x轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程24120 xx的两个根 . （1）求出点A、点 B 的坐标及该二次函数表达式. （2）如图 2，连接 AC、BC，点 Q 是线段 OB 上一个动点（点Q 不与点 O、B 重合），过点 Q 作 QDAC 交于 BC 点 D，设 Q 点坐标（m， 0） ，当CDQ面积 S最大时，求 m 的值. （3）如图 3，线段 MN 是直线 y=x 上的动线段（点M 在点 N 左侧），且2MN，若 M点的横坐标为n，过点 M 作 x 轴的垂线与x 轴交于点
6、P，过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q.以点 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出 n 的值；若不能，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 变式训练 ： （2012?资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0 的解集是（）A1x5 Bx5 Cx 1 且 x5 Dx 1 或 x5 例 3、 已知关于x 的一元二次方程2220 xax
7、b，0,0 ba. （ 1）若方程有实数根，试确定a，b 之间的大小关系；（ 2）若 ab=23，且1222xx，求 a，b 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数222yxaxb的图象与x 轴的交点为A、C（点 A在点 C 的左侧），与 y 轴的交点为B，顶点为 D.若点 P（x，y）是四边形ABCD 边上的点，试求3xy 的最大值 . 变式训练：（2012 甘肃兰州 10 分）设二次函数yax2bxc(a0) 的图象与x 轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B 两个交点间的距离为：AB|x1x2|2b4ac=a。参考以上定理和结论，解答下列问题
8、：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显然 ABC 为等腰三角形(1)当 ABC 为直角三角形时，求b24ac 的值；(2)当 ABC 为等边三角形时，求b24ac 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例 4、 （2012 广东肇 庆 10 分）已知二次函数2ymxnxp图象的顶点横坐标是2，与 x轴交于A（ x1，0） 、B（ x2，0）
9、 ， x10 x2，与y 轴交于点C， O 为坐标原点，tantanCABO1OC（1）求证：n4m0；（2）求 m、 n 的值；（3）当 p0 且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值变式训练：（2012 湖北荆门 10 分）已知： y 关于 x 的函数y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求 k 的值；当k x k+2 时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
10、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 专题训练1. （2012 天津市 10 分）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0） ，点 A （1，yA） 、B（0， yB） 、C（ 1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10 时，求顶点P 的坐标；求ABCyyy-的值；（）当y00 恒成立时，求ABCyyy的最小值2. （2012 湖北黄石10 分） 已知抛物线C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)，若抛物线 C1经过点(0, 3)，方程2axb
11、x3a0的两根为1x，2x，且12xx4。（1）求抛物线C1的顶点坐标 . （2）已知实数x0，请证明：1xx2,并说明x为何值时才会有1x2x. （3） 若抛物线先向上平移4 个单位，再向左平移1 个单位后得到抛物线C2， 设1A(m , y)，2B(n, y )是 C2上的两个不同点，且满足：00AOB9，m0，n0.请你用含有m的表达式表示出AOB 的面积 S，并求出 S的最小值及S取最小值时一次函数OA 的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x , y )，22Q(x,y )，则 P，Q 两点间的距离222121(xx )(yy )）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -