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1、一次函数的图象和性质一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k0时，y随x增大而增大 k0时，y随x增大而减小 4求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由
2、已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： 利用一次函数的定义 构造方程组。 利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。利用函数图象
3、上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 利用题目已知条件直接构造方程 。二、例题举例： 例1已知y=，其中=(k0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。证明：与成正比例， 设=a(a0的常数), y=, =(k0的常数), y=a=akx， 其中ak0的常数， y与x也成正比例。 例2已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， =-3x-1, =(3-)x, 是正比例函数； =-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；
4、 =(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。 说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。 例3直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。 分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。 解：y=kx+b与y=5-4x平行， k=-4, y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴， b=18
5、， y=-4x+18。 说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。 例4直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。 解：点B到x轴的距离为2， 点B的坐标为（0，2）， 设直线的解析式为y=kx2, 直线过点A（-4，0）， 0=-4k2, 解得：k=, 直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2. 说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。 （1）图象是直线的函
6、数是一次函数； （2）直线与y轴交于B点，则点B（0，）； （3）点B到x轴距离为2，则|=2； （4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=； （5）已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+， 下面只需待定k即可。 例5已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。 分析：自画草图如下： 解：设正比例函数y=kx， 一次函数y=ax+b， 点B在第三象限，横坐标为-2， 设B（-2，），其中0， =6， AO|=6， =-2， 把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx
7、，得k=1 把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b， 得 解得： y=x, y=-x-3即所求。 说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示； （2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AOBD=6（过点B作BDAO于D）计算出线段长BD=2，再利用|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3). 例6已知正比例函数y=kx (
8、k0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。 分析：画草图如下：则OA=13，=30， 则列方程求出点A的坐标即可。 解法1：设图象上一点A（x, y）满足 解得：； 代入y=kx (k1时， BCD=ABD， BDC=ADB， BCDABD， = =- - - - = 8-22x+5=0 x1=, x2=, 经检验：x1=, x2=,都是方程的根。 x=,不合题意，舍去。x=， D点坐标为（, 0）。 设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b， 所求一次函数为y=-x+（2）若点D在点
9、C左侧则x1， 可证ABCADB， - - - - 8-18x-5=0 x1=-, x2=, 经检验x1=-, x2=,都是方程的根。 x2=不合题意舍去，x1=-, D点坐标为（-, 0）， 图象过B、D（-, 0）两点的一次函数解析式为y=4x+综上所述，满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+. 例8已知：如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标。 解：直线y=x-3与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，-3）， OA=6，OB=3， OAOB，CDAB， ODC=OAB， cotODC=cotOAB,即 OD=8. 点D的坐标为（0，8）， 设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入 0=4k+8, 解得 k=-2 直线CD：y=-2x+8, 由解得 点E的坐标为（，-） 说明：由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。 - 9 -