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1、一次函数的图象和性质知识点一次函数的图象及性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b(k0,k,b为常数)的函数。注意：1k0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；2当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，1两个常有的特殊点：与y轴交于0，b；与x轴交于-，02由图象能够知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。3、性质：(1)图象的位置: (2)增减性k0时，y随x增大而增大k“待定系数法的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决
2、，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次函数的定义构造方程组。利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标知足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程。二、例题举例：例1已知y=，其中=(k0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。证实：与成正比例，设=a(a0的常数),y=,=(k0的常数),y=a=akx，其中ak0的常数，y与x也成正比例。例2已知一次函数=(n-2)x+-n-3的
3、图象与y轴交点的纵坐标为-1，判定=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。解：依题意，得解得n=-1，=-3x-1,=(3-)x,是正比例函数；=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小；=(3-)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大。讲明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标来构造方程。例3直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决
4、定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例y=2x,y=2x+3的图象平行。解：y=kx+b与y=5-4x平行，k=-4,y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，b=18，y=-4x+18。讲明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0,b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。例4直线与x轴交于点A-4，0，与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。解：点B到x轴的距离为2，点B的坐标为0，2，设直线的解析式为y=kx2,直线过
5、点A-4，0，0=-4k2,解得：k=,直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.讲明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理经过，而这些推理是求一次函数解析式必备的。1图象是直线的函数是一次函数；2直线与y轴交于B点，则点B0，；3点B到x轴距离为2，则|=2；4点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；5已知直线与y轴交点的纵坐标，可设y=kx+，下面只需待定k即可。例5已知一次函数的图象，交x轴于A-6，0，交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。分析：自画草图如下：解：设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，点B在第三象限，横坐标为-2，设B-2，其中2此例需要把条件面积转化为点B的坐标。这个转化本质含有两步：一是利用面积公式AOBD=6过点B作BDAO于D计算出线段长BD=2，再利用|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？答：有两种可能，点B可能在第二象限-2，2，结果增加一组y=-x,y=(x+3).例6已知正比例函数y=kx(k