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1、一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k 0, k, b为常数 ) 的函数。注意：（ 1） k0, 否则自变量x 的最高次项的系数不为1；（2）当 b=0 时， y=kx，y 叫 x 的正比例函数。2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（ 0，b）；与 x 轴交于（ -，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b 与直线 y=kx 平行，例如直线：y=2x+3 与直线 y=2x-5都与直线y=2x 平行。3、性质：(1) 图象的位置 : (2) 增减性k0 时， y 随 x 增大而增大k0 时， y 随 x 增大而减小4求一次函数
2、解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1) 由已知函数推导或推证(2) 由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。(3) 用待定系数法求函数解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个
3、等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：利用一次函数的定义构造方程组。利用一次函数y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与y 轴交点的纵坐标， 即由 b 来定点；直线 y=kx+b 平行于 y=kx ，即由 k 来定方向。利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。利用题目已知条件直接构造方程。二、 例题举例：例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x ；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x2. 例 2 当 m为何值时，函数y=- （m
4、-2）x32m+（m-4）是一次函数？基础应用题（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（ 3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例 3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长05cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是 x 的一次函数乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58 千米时，则火车离库尔勒的距离s （千米）与行驶时间
5、t （时） 之间的函数关系式是 . 例 4 某物体从上午7 时至下午 4 时的温度 M （）是时间t（时）的函数： M=t2-5t+100（其中 t=0 表示中午 12 时， t=1 表示下午 1 时）， 则上午 10 时此物体的温度为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3
6、）当 y=4 时，求 x 的值例 6 若正比例函数y=（1-2m）x 的图象经过点A（x1，y1）和点 B（x2，y2），当 x1x2时， y1 y2，则 m的取值范围是（）Am O Bm 0 Cm 21Dm M 综合应用题例 8 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费04 元；“神州行” 使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06元（均指市内通话）若1 个月内通话x 分，两种通讯
7、方式的费用分别为y1元和 y2元（1）写出 y1，y2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200 元，则选择哪种通讯方式较合算？例 10 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20 时 y=160O；当 x=3O时， y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？例 1已知 y=，其中=(k 0 的常数 ) ，与成正比例，求证y 与
8、x 也成正比例。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例 2已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y 轴交点的纵坐标为-1 ，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n， 故求解析式的关键是构造关于n 的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y 轴交点纵坐标”来构造方程。例 3直线 y=kx+b 与直线 y=5-4
9、x 平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y 轴上，求此直线解析式。分析：直线 y=kx+b 的位置由系数k、b 来决定：由 k 来定方向， 由 b 来定与 y 轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k 相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。说明： 一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数k、b 来决定：由k 来定方向，由b 来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过 (0, b) 点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与 y轴交点定b。例 4直线与 x 轴交于点 A（-4 ，0），与 y 轴交于点B，若点 B到 x 轴的距离为2，求直线的解析式。说明：此例看起来很简单，但
10、实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。（1）图象是直线的函数是一次函数；（2）直线与 y 轴交于 B点，则点 B （0，）；（3）点 B到 x 轴距离为 2，则 |=2 ；（4）点 B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=；（5）已知直线与y 轴交点的纵坐标，可设 y=kx+，下面只需待定k 即可。例 5已知一次函数的图象，交x 轴于 A（-6 ，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2， AOB的面积为 6 平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 分析：自画草图如下：例 6已知正比例函数y=kx (k0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x 轴作垂线，这点到垂足间的线段和x 轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。分析：画草图如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -