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1、衡水十三中衡水十三中 赵倩赵倩思考：在直角三角形中，思考：在直角三角形中，“边边”与与“角角”的关系的关系 Rt 中中ABC222abcsin,sinacA bcBsinsinabABsin1C sinsinsinabcABC思考：对于一般三角形，上述结论是否成立思考：对于一般三角形，上述结论是否成立 bCDaCDABsin,sin所以所以CD=asinB=bsinA, 即即,sinsinBbAa同理可得同理可得,sinsinCcBbCcBbAasinsinsin即：DCabAB图1过点过点C作作CDAB于于D,此时有此时有若三角形是锐角三角形若三角形是锐角三角形, , 如图如图1,1,探究一
2、CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿上可得D若三角形是钝角三角形若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗以上等式仍然成立吗?此时也有cADB sin交交BC延长线于延长线于D,过点过点A作作ADBC，CAcbB图2探探究究二二正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即思考是否可以用其他方法证明正弦定理?探究一：探究一：OC/cbaCBA,90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,RcCC2sinsinRCc2sinBACDabcaABCahS2
3、1而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin212sinsinsinABCabcabcSABC探究二：探究二：剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：1， 已知两角和一边，求其他角和边. 2，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.RCcBbAa2sinsinsin3，边角互换一般地，把三角形的三角一般地，把三角形的三角A,B,C和他们所对和他们所对的边的边a，b，c叫做三角形的元素。已知三叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
4、解角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。三角形。例题讲解例题讲解解三角形中，已知，在例,9 .42,8 .81,0 .321cmaBAABC2 .66)8 .810 .32(180)(180BAC定理，解：根据三角形内角和)( 1 .800 .32sin8 .81sin9 .42sinsincmABab根据正弦定理，)( 1 .740 .32sin2 .66sin9 .42sinsincmACac根据正弦定理，已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角定理的应用练1 在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到1cm）
5、.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14=21030sin45sin10BACabc)26(5例题讲解例题讲解)11(,40,28,20. 2cmAcmbcmaABC，边长精确到角度精确到解三角形。中，已知在例.8999. 02040sin28sinsinaAbB解：根据正弦定理，116,64,1800BBB或所以因为).(3040sin76sin20sinsin,76)6440(180)(18064)
6、 1 (cmACacBACB时，当).(1340sin24sin20sinsin,24)11640(180)(180116)2(cmACacBACB时，当已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角两个均符合条件。,BAba三角形中大边对大角三角形中大边对大角已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以 60, 或120当 时,60C=90,.32cC=30,.16sinsinACac练2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c316当
7、120时,B16300ABC16316两个均符合条件。,BAba(1)(2)三角形中大边对大角三角形中大边对大角变式1: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c练2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c316变式2: a=20, b=40, A=45解三角形.变式3: a=22, b=25, A=133解三角形.变式1: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以260,或1800260=1540由于1540 +3001800故B只有一解（如图）C=124
8、0,49sinsinACac变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACac30137 .25sina b A B ,三角形中大边对大角变式2: a=20, b=40, A=45解三角形.解：由正弦定理BbAasinsin得22045sin40sinsinaAbB无解。 , 12已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?思考思考 15,4,120abA，求，求B； 判断判断 解的个数：解的个数：ABC 25,4,90abA，求，求B； 10 335,903abA，求，求B； 420,28,40abA，求，求B； 一解一解 一解一解 无解无解 两解两解 课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC2R数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学数学使人智慧使人智慧