数学归纳法证明例题.doc

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1、例1用数学归纳法证明:请读者分析下面的证法:证明:n=1时,左边,右边,左边=右边,等式成立假设n=k时,等式成立,即:那么当n=k+1时,有:这就是说,当n=k+1时,等式亦成立由、可知,对一切自然数n等式成立评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n=k这一步,当n=k+1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求正确方法是:当n=k+1时这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,例2是否存在一个等差数列an,使得对任何自然数n,等式:a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立,并证明你的结论分析:采用由特

2、殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来an,然后再证明一般性解:将n=1,2,3分别代入等式得方程组,解得a1=6,a2=9,a3=12,则d=3故存在一个等差数列an=3n+3,当n=1,2,3时,已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3,对大于3的自然数,等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证,可证第二步骤假设n=k时,等式成立,即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时,a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k

3、2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2这就是说,当n=k+1时,也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立综合上述,可知存在一个等差数列an=3n+3,对任何自然数n,等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例3证明不等式 (nN)证明:当n=1时,左边=1,右边=2左边2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设nk,k3时成立则:2(k+1)=2*2k2*(2k+1)=4k+22k+82(k+1)+1n=k+1时成立所以,2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明:当且仅当指数n不能被4整除时,1n2n3n4n能被5整除证明 设A=1n2n3n4n,当n=4k(k为整数)时,1n、3n的个位数均为1,2n、4n的个位均为6,1+1+6+6=14,A的个位为4,显然A不能被5整除当n4k时,若n=4k+1,易知A的个位=(1+2+3+4)的个位=0,A能被5整除当n=4k+2时,A的个位=(1+4+9+16)的个位=0,A能被5整除当n=4k+3时,A的个位=(1+8+27+64)的个位=0,A能被5整除综上所述,当且仅当指数n不能被4整除时,A能被5整除,也即当且仅当指数n不能被4整除时,1n2n3n4n能被5整除

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