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1、例 1用数学归纳法证明：1212121751531311nnnn请读者分析下面的证法：证明： n=1 时，左边31311，右边31121，左边 =右边，等式成立假设 n=k 时，等式成立，即：1212121751531311kkkk那么当 n=k+1 时，有：3212112121751531311kkkk3211211211217151513131121kkkk322221321121kkk1121321kkkk这就是说，当n=k+1 时，等式亦成立由、可知，对一切自然数n 等式成立评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证， 假就假在没有利用归纳假设n=k 这一步，当n=k+
2、1 时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求正确方法是：当n=k+1 时3212112121751531311kkkk3212112kkkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 321211232121322kkkkkkkk1121321kkkk这就说明，当n=k+1 时，等式亦成立，例 2是否存在一个等差数列 an，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n
3、+2) 都成立，并证明你的结论分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3 时找出来 an，然后再证明一般性解：将 n=1，2，3 分别代入等式得方程组60322426321211aaaaaa，解得 a1=6，a2=9，a3=12，则 d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当 n=1，2，3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3 的自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设 n=k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2) 那么当 n=k+1 时，a1+2a
4、2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ ( k+1)3( k+1)+3 =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)( k+1)+1( k+1)+2 这就是说，当 n=k+1 时， 也存在一个等差数列an=3n+3 使 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式 a1+2a2+3a3+名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
5、页，共 5 页 - - - - - - - - - +nan=n(n+1)(n+2)都成立例 3证明不等式nn2131211(nN)证明：当n=1 时，左边 =1，右边 =2左边 2*3+1,2的 n 次方大于 2n+1 成立设 nk,k3 时成立则：2(k+1)=2*2k2*(2k+1)=4k+22k+82(k+1)+1 n=k+1 时成立所以，2 的 n 次方大于 2n+1,n 是大于 2 的整数证明：当且仅当指数n 不能被 4 整除时， 1n2n3n4n 能被 5 整除证明设 A=1n 2n3n4n，当 n=4k(k 为整数 )时， 1n、3n 的个位数均为1，2n、4n 的个位均为6，
6、1+1+6+6=14 ，A 的个位为 4，显然 A 不能被 5 整除当 n4k 时，若 n=4k+1，易知 A 的个位 =（1+2+3+4 ）的个位 =0， A 能被 5 整除当 n=4k+2 时， A 的个位 =（1+4+9+16 ）的个位 =0， A 能被 5 整除当 n=4k+3 时， A 的个位 =（1+8+27+64 ）的个位 =0， A 能被 5 整除综上所述，当且仅当指数n 不能被 4 整除时，A 能被 5 整除，也即当且仅当指数n 不能被 4 整除时，1n2n3n4n 能被 5 整除名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -