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1、5.3 二次根式的加法和减法第5章 二次根式 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ） 教学课件第2课时 二次根式的混合运算1.掌握二次根式的混合运算及其应用;（重点、难点）2.掌握乘法公式在二次根式混合运算中的作用学习目标导入新课导入新课问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)m=a+b+c分配律 单多 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳
2、，你们发现了什么？ 单单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.引例：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (路基的土石方即等于路基的体积)为多少立方米呢？4 2m62m6m4 2m6m6 2m讲授新课讲授新课二次根式的混合运算解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为： 14 26 265002 23 2650025 2650035000 3 m.答：这段路基的土石方为35000 3m . 从上面的解
3、答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.例1 计算： 3 1 6 2 2 2 + 2 1 28-( ) ( ) ； () . () .3=6228 - -3=6 228 - -3= 2 323=32；- - 3 1 6 28( ) ( ) - - 2 2 + 2 1 2 ()()- -= 2 2 2 + 222 -= 2 2 2 + 2 2 -.= 2 - - ：解解例2 计算：2 1 2 2+ 1 2 2 1 2 23 - ( )( )； (). ().22= 2 21 - - = 7；2 2 23 ()()- -22 = 2 2 233 - -= 23 2 2 3 -
4、-.= 5 2 6- - 1 2 2+ 1 2 2 1 ：解解 - -( )( ) 利用平方差公式展开利用完全平方公式展开例3 计算：11(1)3222(2).23 2- 3 ； (1)3222 解：4 222 5 22 5 ； 11(2)23 2- 3 2- 32323 2- 323 2- 3 423 2- 3 2244.2 - 3 3) 6124( 361324解法一：（3） 361324 3618 66224 26122. 2611你还有其他解法吗？1( 24)3.6计算：试一试解法二： 原式=1 61466631( 24)3.6632 66311 636311 636311 3 263
5、11 2.6 二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.要点归纳二次根式的应用二 例4 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1,3 1,xy解： x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得3 1,3 1,xy原式= 23+1 +31（）（）22 312.（）32,32xy解: ，x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy32,32xy32322 3,xy 3232321,xy 212 32 110. 【变式题】 已知 ，求x3y+xy3. 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代
6、数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.归纳xyxy在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:575777357拓展探究思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？21, 32根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？例5 计算:141;2.3251（）（ ）解:1321132.323232（）4514514251.4515151（ ） 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可
7、以使分母不含根号.归纳m an bm an b【变式题】 已知 ,求 .11,5252ab222ab解: 15252,525252a15252,525252b222222ababab2525225252220222 5. 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.归纳已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10解：31043,103.ab22ab练一练6 1010.223( 103) 3103310310610例6：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米
8、.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.解：贺卡的周长为4 ( 288338)4 (12 213 2)4 25 2141.4()150 141.4厘米答：李欣的彩带够用. 本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式方法总结当堂练习当堂练习 1.下列计算中正确的是（ ）1A. 3( 3)33B.( 12- 27)31 1C. 32222D. 3( 23)62 3B2.已知 试求x2+2xy+y2
9、的值.3 1,3 1,xy解： x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得3 1,3 1,xy原式= 23+1 +31（）（）22 312.（）10152313128)2118( （1） ；（2） ；（3） .解：（1）1015210101015552101011051; 10101（2）313123331334331332; 3343.计算.解：（3）8)2118(8218188218184144 212 10 .4.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.(6 155 5)(6 155 5)解：由题意得，222(6 155 5)(6 155 5)
10、(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)12 15 10 5600 3(cm ).即剩余部分的面积是2600 3cm .5.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：231方法一：2231231231;31313131方法二：313123 131.313131能力提升：535325353.535353(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：2;5322253253253;53535353解：(1)1111.4264862018201614264862018201621111(2)42648620182016120182 .2二次根式的运算乘除法则课堂小结课堂小结加减法则乘除公式见本课时练习课后作业课后作业