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1、正余弦定理学问点权威总结正余弦定理学问点权威总结：一, 正弦定理和余弦定理1, 定理正弦定理余弦定理2, 内容1, 正弦定理：在中，, , 分别为角, , 的对边，为的外接圆的半径，则有 3, 推论a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;4, 留意（1）在ABC中，已知A,a,b，探讨三角形解的状况.先由可进一步求出B；则C =180-(A+B),从而.（2）在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinB EMBED Equation.DSMT4 abAB）由余弦定理推断三角形的形
2、态a2=b2+c2A是直角ABC是直角三角形，a2b2+c2A是钝角ABC是钝角三角形，a2b2+cA是锐角/ABC是锐角三角形。（留意：A是锐角/ ABC是锐角三角形 ，必需说明每个角都是锐角）5, 三角形面积公式三角形面积公式：； ，其中，为内切圆半径； ，为外接圆半径6, 已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解, 一解, 无解三种状况1.当A为钝角或直角时，必需ab才能有且只有一解；否则无解2.当A为锐角时，假如ab，那么只有一解；假如ab，那么可以分下面三种状况来探讨：（1）若absinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解留意在已知三角形的两
3、边和其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其他状况时则只有一解或无解（1）A为直角或钝角（2） A为锐角7, 解三角形的一般思路：（1）已知两角和一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的状况可能不唯一；（3）已知两边和其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8, 方法与技巧总结1, 已知两角A, B，一边,由A+B+C=和，可求角C，再求, ；2, 已知两边, 与其夹角A，由2=2+2-2 EMBED Equation.3 cosA，求出，再由余弦定理，求出角B, C；3, 已知三边, , ，由余
4、弦定理可求出角A, B, C；4, 已知两边, 和其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解。二, 例题精讲&变式练习考点一：运用正余弦定理解三角形例题1：在ABC中，a2，b6，A30，解三角形变式1：在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知A60，a，b1，则c等于()A1 B2 C.1 D.变式2：在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形规律小结：对于已知两边和其中一边的对角，或者已知两个角以和随意一边的状况下，套用正弦定理，可以干脆求出对应的角或边考点二：运用余弦定理解三角形例题
5、2：在ABC中，已知，B=45，求b和A变式1：在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，求边c.规律小结：在已知两边和夹角可利用余弦定理求出第三边；在已知三边的状况下，可利用余弦定理求出随意边所对的角。考点三：利用正弦定理, 余弦定理推断三角形的性状和求取值范围例2（1）（10上海文）若的三个内角满足则A确定是锐角三角形. B确定是直角三角形.C确定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由和正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角（2）在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得. 即.
6、2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，) 答案：2(，)1在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.2在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是()A. B(10，) C(0,10) D.答案D解析，csin C0c.3在ABC中，a2bcos C，则这个三角形确定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos
7、 Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.4, 在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形态为 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形 答案：B例题3：在中，若，试推断形态变式1：在中，已知，则为 三角形变式2：在ABC中，sin Asin Bsin C234，试推断三角形的形态变式3：在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形态变式4：在三角形A
8、BC中，若acosB=bcosA，试推断这个三角形的形态变式5：在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，假如（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），推断三角形形态解：由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=k则a=ksinA，b=ksinB代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k约分（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）sin2Asin（A+B）-sin（A-B）
9、=sin2Bsin（A-B）+sin（A+B）利用和角公式，整理有sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosBsin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0sinAsinB（sin2A-sin2B）=0sinA0，sinB0所以sin2A=sin2B2A=2B 或2A+2B=180度A=B或A+B=90度所以是等腰三角形或直角三角形 规律小结：推断三角形形态的题型中，常常只给出三边的关系，或者正余弦之间的关系式，那么，在做这类题型时，常常要将题目中的全部角度利用正余弦全部转化为边的关系，进而化简得到特殊
10、关系；或者将全部的边利用正弦定理转化为角度的关系，再利用三角恒等公式或者帮助角公式进行变换，最终得到特殊角，进而求解考点四：面积问题例3（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解析：（） INCLUDEPICTURE :/192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/2009-1/2009189344.jpg * MERGEFORMAT 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以，所以1, 在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； BDCA（II）若，求的值解 （1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦
11、定理得， 2, 在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以3在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且c10，又知，求a, b和ABC的内切圆半径解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由，得a6，b8.故内切圆的半径为r2.4在ABC中，a, b, c分别是三个内角A, B, C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.解：cos B
12、2cos2 1，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以Sacsin B2.例题4：在ABC中，a, b, c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.变式1：在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，则ABC的面积为 .变式2：在ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面积等于，求a, b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.变式3： 考点五：利用正余弦定理求角例4（2011届稽阳联考）如右图，在中，为边上一点，
13、 （1）求的大小；解：（1） 由已知， EMBED Equation.3 1.（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,则角A的大小为 .【解析】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。2在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则AC120，1.tan A1，A45，C75.考点六：证明恒等式1：在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知。求证： 变式1：变式2：在ABC中，角A, B, C对边分别为a, b, c。求证：在ABC
14、中，角A, B, C对边分别为a, b, c。求证：考点七：运用余弦定与向量的综合例题6：已知为的三内角，且其对边分别为若向量，向量，且.(1)求的值； (2)若，三角形面积，求的值：解：（1）向量，向量，且.， 3分得，又，所以. 5分（2），. 7分又由余弦定理得：.9分，所以. 12分考点：三角函数的性质以和解三角形变式练习2, （1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围 考点八：正弦定理, 余弦定理的简洁应用例1（11浙江文）在中，角所对的边分.若，则（ ）A B C -1 D 1 解:acosA=bsinB由正弦定理得sinAcosA=sinBsinBsinAcosA+
15、cos2B=sin2B+cos2B=1 故选D1.在ABC中，则A的取值范围是 （A）（B） （C）（D）答案：C解析：由得，即，故，选C2.在ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c，若ABC123，则abc等于()A123 B234 C345 D12答案A:B:C=1:2:3 A+B+C=180 A = 30，B = 60，C = 90 a:b:c = 1:3:2 3在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.答案解析tan A，A(0,180)，sin A.由正弦定理知，AB.4在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.答案126解析12.SABC
16、absin C612sin C18.sin C，12，c6.考点九：正弦定理, 余弦定理的综合应用1. 已知三角形ABC，B=450，AC= ， （1）求sinA；（2）求BC的长；（3）若D是AB的中点，求中线CD的长2. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b解：（）由a=2bsinA，依据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得4. 在中， （）求的值；（）设，求的面积5. 设的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c，且a cosB=3，b sinA=4（）求边长a；（）若的面积，求的周长(1)由正弦定
17、理，asinB=bsinA=4所以 a2=(asinB)2+(acosB)2=25a=5(2)S=1/2*bcsinA=10c=5由cosB=3/5和余弦定理得b=(c2+a2-2cacosB)=25所以，周长=5+5+25=10+25。6. 在中，内角的对边长分别为.已知，且，求.7. 设ABC的内角A, B, C的对边长分别为a, b, c，,，求B.8. 已知ABC的内角，和其对边，满足，求内角分析：先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A-）=sin（B+），进而依据A，B的范围，求得A-和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求9.ABC中，D为边BC上的一
18、点，BD=33, ,.求AD.10.ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c己知（）求B；（）若11：在ABC中，A, B为锐角，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且（）求A+B的值；（）若得值.(1)因为 AB为锐角,SinA=5/5,SinB=10/10 所以 cosA=25/5，cosB=310/10 所以 cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=2/2 所以A+B=/4(2)由 cos（A+B）=2/2 得 sinC=sin（A+B）=2/2 由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC,得 a=2b 又因为a+b=2-1 解得a=32-4,
19、b=3-22 所以c=35-21012、考点十：正余弦定理与向量, 数列的综合应用3四, 方法与技巧总结1, 已知两角A, B，一边,由A+B+C=和，可求角C，再求, ；2, 已知两边, 与其夹角A，由2=2+2-2 EMBED Equation.3 cosA，求出，再由余弦定理，求出角B, C；3, 已知三边, , ，由余弦定理可求出角A, B, C；4, 已知两边, 和其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解。五, 课后作业1. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC确定是 三角形.2. 在
20、ABC中，A=120,AB=5,BC=7，则的值为 .3. 在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面积为，则tanC为 .4. 在ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .6. 某人向正东方向走了x千米，他右转150，然后朝新方向走了3千米，结果他离动身点恰好千米，那么x的值是 .7. 已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_8. 已知a, b, c是ABC的三边长，关于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的两根之差的平方等于4，ABC的面积S=10，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.9. 在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试推断ABC的形态10. ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.