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1、1/34 正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理 1、定理 正弦定理 余弦定理 2、内容 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有 2sinsinsinabcRC 2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC 3、推论 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinsinsinsinabcaABCA 222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab 4、注意（1）
2、在 ABC 中，已知 A,a,b，讨论三角形解的情况.先由aAbBsinsin可进一步求出 B；则 C=180-(A+B),从而ACacsinsin.（2）在ABC 中，sinAsinB 是 AB 的充要条件。（sinAsinB22abRRabAB）由余弦定理判断三角形的形状 a2=b2+c2A是 直 角 ABC 是直角三角形，a2b2+c2A 是钝角 ABC是钝角三角形，a2 b2+cA是 锐 角/ABC 是锐角三角形。（注意：A 是锐角/ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）5、三角 形面 积公式 三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac；prcpbpappS
3、ABC)()(，其中2cbap，r为内切圆半径；RabcSABC4，R为外接圆半径 6、已知 两边 和其 中1.当 A 为钝角或直角时，必须 ab 才能有且只有一解；否则无解 2.当 A 为锐角时，如果 ab，那么只有一解；如果 ab，那么可以分下面三种情况来讨论：2/34 一 边的 对角 解三 角形，有两解、一解、无 解三 种情况（1）若 absinA，则有两解；（2）若 a=bsinA，则只有一解；（3）若 absinA，则无解 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解（1）A 为直角或钝角 （2）A 为锐角
4、7、解三 角形 的一 般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结 1、已知两角 A、B，一边a,由 A+B+C=及sinsinsinabcABC，可求角 C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角 A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角 B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角 A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角 A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对
5、角 B，由 C=-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出 C，而通过sinsinabAB求 B 时，可能出一解，两解或无解。3/34 二、例题精讲&变式练习 考点一：运用正余弦定理解三角形 例题 1：在 ABC 中，a2 3，b6，A30，解三角形 变式 1：在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 A60，a 3，b1，则 c 等于()A1 B2 C.31 D.3 变式 2：在 ABC 中，已知 a2 2，A30，B45，解三角形 规律小结：对于已知两边及其中一边的对角，或者已知两个角以及任意一边的情况下，套用正弦定理，可以直接求出对应的角或边 考点二：运用余
6、弦定理解三角形 例题 2：在ABC 中，已知2 3a，62c，B=45，求 b 及 A 变式 1：在 ABC 中，边 a，b 的长是方程 x25x20 的两个根，C60，求边 c.4/34 规律小结：在已知两边及夹角可利用余弦定理求出第三边；在已知三边的情况下，可利用余弦定理求出任意边所对的角。考点三：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围 例 2（1）（10 上海文）若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC 则ABC A一定是锐角三角形.B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin5:11:
7、13ABC 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0115213115cos222c，所以角 C 为钝角（2）在锐角ABC 中，BC1，B2A，则ACcosA的值等于_，AC 的取值范围为_ 解析：由正弦定理得ACsin2ABCsinA.即AC2sinAcosA1sinA.ACcosA2.ABC 是锐角三角形，0A2，02A2，03A2，解得6A4.由 AC2cosA 得 AC 的取值范围为(2，3)答案：2(2，3)1在ABC中，若acos Abcos Bccos C，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形答案 B 解析 由正弦定理知：sin
8、 Acos Asin Bcos Bsin Ccos C，tan Atan Btan C，ABC.2在ABC中，sin A34，a10，则边长c的取值范围是()A.152，B(10，)C(0,10)D.0，403答案 D 解析 csin Casin A403，c403sin C0c403.3在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 答案 A 解析 由正弦定理：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.5/
9、34 4、在ABC 中，cos2B2ac2c，(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的形状为 ()A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 解析：cos2B2ac2c，cosB12ac2c，cosBac，a2c2b22acac，a2c2b22a2，即 a2b2c2，ABC 为直角三角形 答案：B 例题 3：在ABC中，若60B，cab2，试判断ABC形状 变式 1：在ABC中，已知2cossinsin2ACB，则ABC为 三角形 变式 2：在 ABC 中，sin Asin Bsin C234，试判断三角形的形状 变式 3：在 ABC 中，已知(ab
10、c)(bca)3bc，且 sin A2sin Bcos C，试确定 ABC的形状 6/34 变式 4：在三角形 ABC 中，若 acosB=bcosA，试判断这个三角形的形状 变式 5：在ABC 中，a，b，c 分别表示三个内角 A，B，C 的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形形状 解：由正弦定理可知 a/sinA=b/sinB=k 则 a=ksinA，b=ksinB 代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把 k 约分（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）sin2A
11、sin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）sin2Asin（A+B）-sin（A-B）=sin2Bsin（A-B）+sin（A+B）利用和角公式，整理有 sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosB sin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0 sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0 sinAsinB（sin2A-sin2B）=0 sinA0，sinB0 所以 sin2A=sin2B 2A=2B 或 2A+2B=180 度 A=B 或 A+B=90 度 所以是等腰三角形或直角三角形
12、 规律小结：判断三角形形状的题型中，常常只给出三边的关系，或者正余弦之间的关系式，那么，在做这类题型时，常常要将题目中的所有角度利用正余弦全部转化为边的关系，进而化简得到特殊关系；或者将所有的边利用正弦定理转化为角度的关系，再利用三角恒等公式或者辅助角公式进行变换，最后得到特殊角，进而求解 考点四：面积问题 例 3（2009 浙江文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC 7/34 （I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值 解 析：（）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos.
13、bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（）由（）知5bc，而1c，所以5b，所以5232125cos222Abccba 1、在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC （I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值 解 （1）因为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3AB AC 得cos3,bcA 5bc，1sin22ABCSbcA （2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得 2222cos20abcbcA，2 5a 2、在ABC 中，sin(
14、C-A)=1,sinB=13。（I）求 sinA 的值；(II)设 AC=6，求ABC 的面积。解：（I）由sin()1,CACA知2CA。又,ABC所以2,2AB即2,0.24ABA故213cos2sin,12sin,sin.33ABAA(II)由（I）得：6cos.3A 又由正弦定理，得：sin,3 2,sinsinsinBCACABCACABB 所以11sincos3 2.22ABCSAC BCCAC BCA 3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c10，又知cos Acos Bba43，求a、b及ABC的内切圆半径 B D C A 8/34 解 由正弦定理知sin Bs
15、in Aba，cos Acos Bsin Bsin A.即 sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB2.ABC是直角三角形，且C90，由 a2b2102ba43，得a6，b8.故内切圆的半径为rabc2681022.4在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a2，C4，cos B22 55，求ABC的面积S.解：cos B2cos2 B2135，故B为锐角，sin B45.所以 sin Asin(BC)sin34B7 210.由正弦定理得casin Csin A107，所以S12acsin B1221074587.例题 4：在
16、ABC 中，a、b、c 分别是角 A，B，C 的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角 B 的大小；（2）若 b=13，a+c=4，求ABC 的面积.变式 1：在ABC 中，A=60，AB=5，BC=7，则ABC 的面积为 .9/34 变式 2：在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C=3.（1）若ABC 的面积等于3，求 a、b 的值；（2）若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC 的面积.10/34 变式 3：考点五：利用正余弦定理求角 例 4（2011 届稽阳联考）如右图，在ABC中，D为BC边上一点，CADBAD,，1010
17、3cos,552cos（1）求BAC的大小；解：（1）由已知，55cos1sin2 1010cos1sin2 sinsincoscos)cos(cosBAC2210105510103552),0(BAC4BAC 1.（2010 山东文）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若2a，2b,sincos2BB,则角 A 的大小为 .B D C A 11/34【解析】由sincos2BB得12sincos2BB，即sin 2B1，因为0B，所以B=45，又因为2a，2b，所以在ABC中，由正弦定理得：22=sinAsin45，解得1sinA2，又ba，所以AB=45，所以A=30。
18、2在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(31)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90答案 C 解析 设C为最大角，则A为最小角，则AC120，casin Csin Asin()120Asin Asin 120 cos Acos 120sin Asin A32cos Asin A123212，cos Asin A1.tan A1，A45，C75.考点六：证明恒等式 1：在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c。已知,sin()sin()444AbCcBa。求证：2BC 变式 1：12/34 变式 2：在 ABC 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c。求证：在
19、ABC 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c。求证：13/34 考点七：运用余弦定与向量的综合 例题 6：已知ABC、为ABC的三内角，且其对边分别为abc、若向量2(cos2Am，cos1)2A，向量(1n，cos1)2A，且21m n.(1)求A的值；(2)若2 3a，三角形面积3S，求bc的值 14/34：解：（1）向量，向量，且.15/34，3 分 16/34 得，又，所以.5 分 17/34（2），.7 分 18/34 又由余弦定理得：.9分 19/34，所以.12 分 考点：三角函数的性质以及解三角形 变式练习 2、（1）求角 B 的大小；（2）求 sinA+sinC 的取值
20、范围 20/34 考点八：正弦定理、余弦定理的简单应用 例 1（11 浙江文）在ABC中，角,A B C所对的 边分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB（）A 12 B12 C-1 D 1 解:acosA=bsinB 由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1 故选 D 1.在ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是 （A）(0,6 （B）,)6 （C）(0,3 （D）,)3 答案：C 解析：由222sinsinsinsinsinABCBC得222abcbc，即2221
21、22bcabc，1cos2A，0A，故03A，选 C 2.在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 ABC123，则 abc等于()A123 B234 C345 D1 32 答案 A:B:C=1:2:3 A+B+C=180 A=30，B=60，C=90 a:b:c=1:3:2 3在ABC中，若 tan A13，C150，BC1，则AB_.答案 102 21/34 解析 tan A13，A(0,180)，sin A1010.由正弦定理知BCsin AABsin C，ABBCsin Csin A1sin 1501010102.4 在ABC中，A60，a6 3，b12，SABC1
22、8 3，则abcsin Asin Bsin C_，c_.答案 12 6 解析 abcsin Asin Bsin Casin A6 33212.SABC12absin C126 312sin C18 3.sin C12，csin Casin A12，c6.考点九：正弦定理、余弦定理的综合应用 1.已知三角形ABC，B=450，AC=，（1）求 sinA；（2）求 BC 的长；（3）若 D 是 AB 的中点，求中线 CD 的长 2.设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 sinabA（）求 B 的大小；（）若3 3a，5c，求 b 解：（）由a=2bsinA，根 据
23、 正 弦 定 理 得sinA=2sinBsinA，所 以1022/34，由 ABC 为锐角三角形得 4.在ABC中，5cos13A ，3cos5B （）求sinC的值；（）设5BC，求ABC的面积 23/34 5.设ABC的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 a cosB=3，b sinA=4 （）求边长 a；（）若ABC的面积10S，求ABC的周长l (1)由正弦定理，asinB=bsinA=4 所以 a2=(asinB)2+(acosB)2=25 a=5 (2)S=1/2*bcsinA=10 c=5 由cosB=3/5及余弦定理得 b=(c2+a2-2cacosB)=25
24、所以，周长=5+5+25=10+25。6.在ABC中，内角ABC、的对边长分别为abc、.已知222acb，且sin4cossinBAC，求b.24/34 7.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb 2，求 B.8.已知ABC 的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C 分 析：先 利 用 正 弦 定 理 题 设 等 式 中 的 边 转 化 角 的 正 弦，化 简 整 理 求 得sin25/34（A-）=sin（B+），进而根据 A，B 的范围，求得A-和26/34 B+的关系，进而求得A+B=，则 C 的值可求 9.ABC
25、中，D 为边 BC 上的一点，BD=33,5sin13B ,3cos5ADC.求 AD.27/34 10.ABC的 内 角A、B、C的 对 边 分 别 为a、b、c 己 知sincsin2 sinsin,aACaCbB（）求 B；（）若075,2,Abac求 与 11：在ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且510sin,sin.510AB 28/34（）求 A+B 的值；（）若21,aba求、b、c得值.(1)因为 AB 为锐角,SinA=5/5,SinB=10/10 所以 cosA=25/5，cosB=310/10 所以 cos（A+B）=cosAcos
26、B-sinAsinB=2/2 所以 A+B=/4(2)由 cos（A+B）=2/2 得 sinC=sin（A+B）=2/2 由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,得 a=2b 又因为 a+b=2-1 解得 a=32-4,b=3-22 所以 c=35-210 12、考点十：正余弦定理与向量、数列的综合应用 29/34 30/34 31/34 3 32/34 四、方法与技巧总结 1、已知两角 A、B，一边a,由 A+B+C=及sinsinsinabcABC，可求角 C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角 A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C
27、；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角 A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角 A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由 C=-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出 C，而通过sinsinabAB求 B 时，可能出一解，两解或无解。五、课后作业 1.在 ABC 中，若 2cosBsinA=sinC,则 ABC 一定是 三角形.2.在 ABC 中，A=120,AB=5,BC=7，则CBsinsin的值为 .3.在 ABC 中，BC=2，B=3，若 ABC 的面积为23，则 tanC 为 .4.在 ABC 中，a2-c2+b2=ab,则 C=.5.在
28、ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c，若 a=1,b=7,c=3,则 B=.6.某人向正东方向走了 x 千米，他右转 150，然后朝新方向走了 3 千米，结果他离出发点恰好3千米，那么 x 的值是 .7.已知ABC 三边满足 a2b2c2 3ab，则此三角形的最大内角为_ 8.已知 a、b、c 是 ABC 的三边长，关于 x 的方程 ax2-222bc x-b=0(acb)的两根之33/34 差的平方等于 4，ABC 的面积 S=103，c=7.（1）求角 C；（2）求 a，b 的值.9.在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC 的形状 10.ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2 A 2a.(1)求ba；(2)若 c2b2 3a2，求 B.34/34