清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案.docx

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1、习题一1 设总体的样本容量，写出在以下4种状况下样本的联合概率分布. 1； 2； 3； 4.解 设总体的样本为，1对总体，其中：2对总体其中：3对总体4对总体2 为了探讨玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏状况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布, 阅历分布函数并画出图形.解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1 频率分布表i0 1 2 3 4个数6 7 3 2 20.3 阅历分布函数的定义式为：，据此得出样本分布函数：图1.1 阅

2、历分布函数3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：)如下： 组下限165 167 169 171 173 175 177组上限167 169 171 173 175 177 179人 数3 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似听从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似听从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.4 设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.解 因k较大，由中心极限定理,：所以：查表得：，.5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.解 6 从总体中分别抽取容量为10及

3、15的两个独立的样本，求它们的均值之差的确定值大于的概率.解 设两个独立的样本分别为：及，其对应的样本均值为：和.由题意知：和相互独立，且： ， 7 设是总体的样本，试确定C，使得. 解 因，那么，且各样本相互独立，那么有：所以： 查卡方分位数表：，那么.8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：试确定统计量的分布.解 由条件得：，其中.因为相互独立，所以也相互独立，再依据二项分布的可加性，有，.9 设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：1 2) 3) 4) 解 1) 2) 3) 4) 10 设为总体的样本，求及。解又因为 ,所以：11 设来自正态总体，定义

4、：，计算.解 由题意知，令：，那么 EMBED Equation.DSMT4 12 设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：1；2；3。解 1)， EMBED Equation.DSMT4 所以：2) 令： EMBED Equation.DSMT4 所以： 计算可得：3) 查表可得： ，而取整数，.13 设和是两个样本，且有关系式：均为常数，试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.解 因： 所以：即：14 设是总体的样本.1) 试确定常数，使得，并求出；2) 试确定常数，使得，并求出和.解 1因：，标准化得：，且两式相互独立故：可得：，.2 因：，

5、 所以：， 可得：.15 设分别是分布和分布的分位数，求证.证明 设，那么： 所以： 故：.16 设是来自总体的一个样本，求常数，使： . 解 易知，那么； 同理，那么 又因：，所以及相互独立. 所以：计算得：c = 0.976.17 设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证： 1； 2； 3.解 1因：， 所以：， 又： 且：及相互独立 所以： EMBED Equation.DSMT4 2 由1可得：3 因：，所以：18 设为总体的样本，为样本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 设为总体的样本，试求：1的密度函数； 2的密度函数；解 因：， 所以的密度函数为：，

6、由定理： 20 设为总体的样本，试求：1； 2解 21 设为总体的一个样本，试确定以下统计量的分布：1； 2；3解 1因为：所以：，且及相互独立，由抽样定理可得：2因为：，且及相互独立，所以：3因为：，所以：，且及相互独立，由卡方分布可加性得：.22 设总体听从正态分布，样原来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？解 由抽样分布定理：,查表可得：，.23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，又因分别为两独立的样本方差：所以：. 24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率1；2.解 1因

7、，且各样本间相互独立，所以：故：2因：, 所以：25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在以下两种状况下的值：1 ；2 未知，但样本标准差.解 1 EMBED Equation.DSMT4 226 设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：1 23确定C，使.解 1 2其中,那么 3 其中，那么所以： ,计算得：. 27 设总体的均值及方差存在，假设为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数. 证明 所以：.28. 设总体，从该总体中抽取简洁随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.解 因，为该总体的简洁随机样本，令，那么有 可得：习题二1 设总体的分布密度为：为其样本，求参

8、数的矩估计量和极大似然估计量 .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .解 计算其最大似然估计： 其矩估计为： 所以：，.2 设总体X听从区间0, 上的匀整分布，即，为其样本，1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值, 总体方差的估计值.解 1矩估计量： 最大似然估计量：无解 .此时，依定义可得：2矩法： 极大似然估计：.3 设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量及极大似然估计量 .总体X的分布密度为：1未知2未知3未知4) EM

9、BED Equation.DSMT4 未知5，其中参数未知6，其中参数未知 7未知8）解 1 矩法估计：最大似然估计：.2) 矩估计： 最大似然估计：.3 矩估计： 联立方程： 最大似然估计： ,无解，当时，使得似然函数最大，依照定义，同理可得.4) 矩估计：，不存在 最大似然估计：，无解；依照定义，.5) 矩估计： 即最大似然估计：，无解依定义有：.6) 矩估计： 解方程组可得：最大似然估计： EMBED Equation.DSMT4 无解，依定义得， 解得 .7) 矩估计：最大似然估计：.8)矩估计：最大似然估计： .4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数，记，样原来自于总体X，那么

10、求参数的最大似然估计量 .解 记那么；.5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 组中值 5 15 25 35 45 55 65频 数 365 245 150 100 70 45 25假如各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：.6 某种灯泡寿命听从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能运用1300小时以上的概率.

11、解 设灯泡的寿命为,极大似然估计为：依据样本数据得到： .经计算得，这个星期生产的灯泡能运用1300小时的概率为0.0075.7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数听从分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述状况的概率为最大？解 设为每升水中大肠杆菌个数，由3题2问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述状况的概率最大 .8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下

12、两种状况，求出访的点A的最大似然估计量 .1假设时； 2假设均未知时 .解 1 ，的最大似然估计量为，所以 .2 的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，干脆推出.9 设总体X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求参数的极大似然估计量 .假设给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值 .解 分别计算 ，时样本观测值出现的概率：由最大似然估计可得：.10 设总体X具有以下概率分布：， 求参数的最大似然估计量 .解 最大似然估计应当满足：结果取决于样本观测值.11 设是总体X的样本，设有

13、下述三个统计量： 指出 EMBED Equation.DSMT4 中哪几个是总体均值的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解，所以 无偏，方差最小.12 设总体，为其样本，1求常数，使为的无偏估计量；2求常数，使为的无偏估计量 .解 1 令 得 .2令 .13 设是来自总体X的样本，并且 =， = ，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .解所以 .14 设有二元总体，为其样本，证明：是协方差的无偏估计量 .证明 由于所以：，证毕 .15 设总体，样本为，是样本方差，定义，试比拟估计量,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对 的均方误差最小？解 1所以 是的无偏估计2 所以，可以看出最

14、小 .16 设总体，为样本，试证：及都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解所以 比拟有效.17 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得 EMBED Equation.DSMT4 为的线性最小方差无偏估计量 .解： 设 当，上式到达最小，此时 .18. 设样原来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量 .解 所以其方差下界为 所以 是参数有效估计量.19 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定下界 .解 因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令 T是有效估计

15、量，由所以 方差下界为.20 设总体X听从几何分布：，对可估计函数，那么1求的有效估计量；2求；3验证的相合性 .解 1因为似然函数所以取统计量 .又因为 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量2所以 是相合估计量 .21 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以及及之对应的有效估计量？假如存在和，请具体找出，假设不存在，请说明为什么 .解 因为似然函数所以令 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量所以：是有效估计量.22 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：1） 求参数的极大似然估计量；2） 试问极大似然估计是否是有

16、效估计量？假如是，请求它的方差和信息量；3） 试问是否是相合估计量？解 1得到最大似然估计量2所以所以是无偏估计量， EMBED Equation.DSMT4 是有效估计量信息量3所以，T也是相合估计量 .23 设样原来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间 .解 设以概率推断参数取值于，在方差为1条件下，推断参数 的置信度为的置信区间为所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ，得到 即以概率推断参数取值于.24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：)为： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，设钉

17、长分布为正态，在如下两种状况下，试求总体均值的90%置信区间，1假设=0.01； 2假设未知；解 因为 EMBED Equation.DSMT4 1） 计算所以 置信区间为2） 计算所以 置信区间为.25 测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重听从正态分布) .解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为计算 所以 置信区间为 .26 在方差的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？解 均值的置信度为的置信区间为要使即 .27 从正态总体中抽取容量为n的样本，假如要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内

18、的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解，所以.28X的简洁随机样本值 . .1） 求参数a的置信度为0.95的置信区间；2） 求的置信度为0.95的置信区间 .解 1 听从正态分布，依据正态分布均值的区间估计，其置信区间为 ，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：其中，代入公式，得到置信区间为2，由1知道的置信区间为，所以置信区间为.29 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：设测试数据分别听从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计： 置信区间为计算得

19、所以.30 有两位化验员A, B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用一样方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设及分别为A, B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计： 置信区间为计算得 所以置信为 .31 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差11()，设炮口速度听从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .解 由题意标准差的置信度为的置信区间为计算得所以 置信区间为 .32 在一批货物的容量为100的样本中，经检验发觉16个次品，试求这批货物

20、次品率的置信度为95%的置信区间解 设表示来自总体的样本，样本为次品时,样本为正品时，表示次品率，那么，的置信区间为计算得： 所以 置信区间为.33 设总体，参数，是来自于总体X的样本，并且，求参数的贝叶斯估计量 .解 设，先验分布密度，当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分布为的后验分部为 ，所以关于的估计量.34 设总体，参数具有指数分布，即，并且损失函数为平方差函数形式，求 参数的贝叶斯估计量 .解 设，先验分布密度当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分布为的后验分部为 ，关于的估计量.35 设总体X听从几何分布：，并且参数，其中为参数 .在平方差损失下，求参数的贝叶斯估计量T .解 设，先验分布密度 当时，样本的概率密度分布为：关于参数的后验分部为的后验分部为 关于的估计量.36 设为总体的样本，1） 求参数p是有效估计量T1及相应的信息量；2） 假如，在平方差损失下，求参数p的贝叶斯估计量T2 .3） 试比拟两个估计量T1和T2 .解 1因为似然函数为： 所以 又因为所以取，有定理2.3.2得 是的有效估计量2设先验分布密度 当时，样本的概率密度分布为关于参数的后验分部为 的后验分部为 ，关于的估计量3比拟估计量,有： EMBED Equation.DSMT4 所以，优于.