资源描述
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习题一
1 设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.
1）； 2）；
3）； 4）.
解 设总体的样本为，
1）对总体，
其中：
2）对总体
其中：
3）对总体
4）对总体
2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：
表1.1 频率分布表
i
0 1 2 3 4
个数
6 7 3 2 2
0.3 0.35 0.15 0.1 0.1
经验分布函数的定义式为：
，
据此得出样本分布函数：
图1.1 经验分布函数
3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：
组下限
165 167 169 171 173 175 177
组上限
167 169 171 173 175 177 179
人 数
3 10 21 23 22 11 5
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图1.2 数据直方图
它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.
4 设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.
解
因k较大，由中心极限定理,：
所以：
查表得：，.
5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
解
6 从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解 设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.
由题意知：和相互独立，且：
，
7 设是总体的样本，试确定C，使得.
解 因，则，且各样本相互独立，则有：
所以：
查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.
8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：
试确定统计量的分布.
解 由已知条件得：，其中.
因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
，.
9 设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：
1） 2) 3) 4)
解 1)
2)
3)
4)
10 设为总体的样本，求
与。
解
又因为 ,所以：
11 设来自正态总体，定义：，计算.
解 由题意知，令：，则
12 设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：
1）；2）；3）。
解 1)
，
所以：
2)
令：
所以：
计算可得：
3)
查表可得： ，而取整数，.
13 设和是两个样本，且有关系式：（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.
解 因：
所以：
即：
14 设是总体的样本.
1) 试确定常数，使得，并求出；
2) 试确定常数，使得，并求出和.
解 1）因：，
标准化得：，且两式相互独立
故：
可得：，，.
2） 因：，，
所以：，
可得：.
15 设分别是分布和分布的分位数，求证
.
证明 设，
则：
所以：
故：.
16 设是来自总体的一个样本，求常数，使：
.
解 易知，则；
同理，则
又因：，所以与相互独立.
所以：
计算得：c = 0.976.
17 设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证：
1）；
2）；
3）.
解 1）因：，
所以：，
又：
且：与相互独立
所以：~
2） 由1）可得：
3） 因：，
所以：
18 设为总体的样本，为样本均值，求，使得
.
解
所以：
查表可得：，即.
19 设为总体的样本，试求：
1）的密度函数； 2）的密度函数；
解 因：，
所以的密度函数为：
，
由定理：
20 设为总体的样本，试求：
1）； 2）
解
21 设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：
1）； 2）；3）
解 1）因为：
所以：，
且与相互独立，由抽样定理可得：
2）因为：，
且与相互独立，
所以：
3）因为：，
所以：，
且与相互独立，
由卡方分布可加性得：.
22 设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？
解 由抽样分布定理：,,
查表可得：，.
23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.
解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，
又因分别为两独立的样本方差：
所以：.
24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率
1）；
2）.
解 1）因，且各样本间相互独立，所以：
故：
2）因：, 所以：
25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：
1） 已知；
2） 未知，但已知样本标准差.
解 1）
2）
26 设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：
1） 2）
3）确定C，使.
解 1）
2）
其中,则
3）
其中，，则
所以： ,计算得：.
27 设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数.
证明
所以：.
28. 设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.
解 因，为该总体的简单随机样本，令，则有
可得：
习题二
1 设总体的分布密度为：
为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量 .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .
解 计算其最大似然估计：
其矩估计为：
所以：，
.
2 设总体X服从区间[0, ]上的均匀分布，即，为其样本，
1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；
2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.
解 1）矩估计量：
最大似然估计量：
无解 .此时，依定义可得：
2）矩法：
极大似然估计：.
3 设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X的分布密度为：
1）未知
2）未知
3）未知
4) 未知
5），其中参数未知
6），其中参数未知
7）未知
8）
解 1）
矩法估计：
最大似然估计：
.
2)
矩估计：
最大似然估计：
.
3）
矩估计：
联立方程：
最大似然估计：
,
,无解，当时，使得似然函数最大，
依照定义，，同理可得.
4)
矩估计：
，不存在
最大似然估计：
，无解；依照定义，.
5)
矩估计：
即
最大似然估计：
，无解
依定义有：.
6)
矩估计：
解方程组可得：
最大似然估计：
无解，依定义得， 解得 .
7)
矩估计：
最大似然估计：
.
8)
矩估计：
最大似然估计：
.
4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量 .
解 记则；
.
5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
组中值
5 15 25 35 45 55 65
频 数
365 245 150 100 70 45 25
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.
.解 最大似然估计：
.
6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948
设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解 设灯泡的寿命为,,极大似然估计为：
根据样本数据得到： .
经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：
大肠杆菌数/升
0 1 2 3 4 5 6
升 数
17 20 10 2 1 0 0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？
解 设为每升水中大肠杆菌个数，，，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量 .
1）若时； 2）若均未知时 .
解 1） ，的最大似然估计量为，
所以 .
2） 的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.
9 设总体X具有以下概率分布：
x
0
1/3
1/4
0
1
1/3
1/4
0
2
0
1/4
1/4
3
1/6
1/4
1/2
4
1/6
0
1/4
求参数的极大似然估计量 .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值 .
解 分别计算 ，时样本观测值出现的概率：
由最大似然估计可得：.
10 设总体X具有以下概率分布：
，
求参数的最大似然估计量 .
解 最大似然估计应该满足：
结果取决于样本观测值.
11 设是总体X的样本，设有下述三个统计量：
指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？
解
，
所以 无偏，方差最小.
12 设总体，为其样本，
1）求常数，使为的无偏估计量；
2）求常数，使为的无偏估计量 .
解 1）
令
得 .
2）
令
.
13 设是来自总体X的样本，并且EX =，DX = ，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .
解
所以 .
14 设有二元总体，为其样本，证明：
是协方差的无偏估计量 .
证明
由于
所以：
，证毕 .
15 设总体，样本为，是样本方差，定义，，试比较估计量,,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对 的均方误差最小？
解 1）
所以 是的无偏估计
2）
所以，
可以看出最小 .
16 设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？
解
所以 比较有效.
17 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得为的线性最小方差无偏估计量 .
解： 设
当，上式达到最小，此时 .
18. 设样本来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量 .
解
所以其C-R方差下界为
所以 是参数有效估计量.
19 设总体X具有如下密度函数，
是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界 .
解 因为似然函数
所以取统计量
得=，所以是无偏估计量
令 由定理2.3.2知 T是有效估计量，由
所以 C-R方差下界为.
20 设总体X服从几何分布：，对可估计函数，则
1）求的有效估计量；
2）求；
3）验证的相合性 .
解 1）因为似然函数
所以取统计量 .
又因为
所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量
2）
所以 是相合估计量 .
21 设总体X具有如下密度函数，
是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么 .
解 因为似然函数
所以令
所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量
所以：是有效估计量.
22 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：
1） 求参数的极大似然估计量；
2） 试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；
3） 试问是否是相合估计量？
解 1）
得到最大似然估计量
2）
所以
所以是无偏估计量，，由定理2.3.2得到是有效估计量
信息量
3）
所以，T也是相合估计量 .
23 设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间 .
解 设以概率推断参数取值于，在已知方差为1条件下，推断参数
的置信度为的置信区间为
所以 ，，得到
即以概率推断参数取值于.
24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，
2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11
设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，
1）若已知=0.01cm； 2）若未知；
解 因为
1） 计算
所以 置信区间为
2） 计算
所以 置信区间为.
25 测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .
解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：
因为
计算
所以 置信区间为 .
26 在方差已知的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？
解 均值的置信度为的置信区间为
要使
即 .
27 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
解
，所以.
28假设0.5, 1.25, 0.8, 2.0是总体X的简单随机样本值 .已知 .
1） 求参数a的置信度为0.95的置信区间；
2） 求EX的置信度为0.95的置信区间 .
解 1） 服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为 ，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：
其中，，代入公式，得到置信区间为
2）
，由1）知道的置信区间为，所以置信区间为.
29 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：
A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：
置信区间为
计算得
所以.
30 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：
置信区间为
计算得
所以置信为 .
31 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意标准差的置信度为0.95的置信区间为
计算得
所以 置信区间为 .
32 在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货物次品率的置信度为95%的置信区间
解 设表示来自总体的样本，样本为次品时,样本为正品时，表示次品率，则，
的置信区间为
计算得：
所以 置信区间为.
33 设总体，参数，是来自于总体X的样本，并且，求参数的贝叶斯估计量 .
解 设，先验分布密度，
当时，样本的概率密度分布为
关于参数的后验分布为
的后验分部为 ，所以关于的Bayes估计量.
34 设总体，参数具有指数分布，即，并且损失函数为平方差函数形式，求 参数的贝叶斯估计量 .
解 设，先验分布密度
当时，样本的概率密度分布为
关于参数的后验分布为
的后验分部为 ，关于的Bayes估计量.
35 设总体X服从几何分布：，并且参数，其中为已知参数 .在平方差损失下，求参数的贝叶斯估计量T .
解
设，
先验分布密度
当时，样本的概率密度分布为：
关于参数的后验分部为
的后验分部为
关于的Bayes估计量.
36 设为总体的样本，
1） 求参数p是有效估计量T1与相应的信息量；
2） 如果，在平方差损失下，求参数p的贝叶斯估计量T2 .
3） 试比较两个估计量T1和T2 .
解 1）因为似然函数为：
所以
又因为
所以取，有定理2.3.2得 是的有效估计量
2）设
先验分布密度 当时，样本的概率密度分布为
关于参数的后验分部为
的后验分部为 ，关于的Bayes估计量
（3）比较估计量,有：
所以，优于.
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