《(完整版)清华大学_杨虎_应用数理统计课后习题参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整版)清华大学_杨虎_应用数理统计课后习题参考答案.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、习题一 1 设总体X的样本容量5n，写出在下列 4 种情况下样本的联合概率分布.1）),1(pBX；2）)(PX；3）,baUX；4）)1,(NX.解 设总体的样本为12345,XXXXX，1）对总体(1,)XBp，1122334455511155(1)(,)()(1)(1)iinxxiiiixxP Xx XxXx XxXxP Xxpppp 其中：5115iixx 2）对总体()XP 11223344555115551(,)()!ixniiiiixiiP Xx XxXx XxXxP Xxexex 其中：5115iixx 3）对总体(,)XU a b 5511511,1,.,5 (,)()0ii
2、iiaxb if xxf xba，其他 4）对总体(,1)XN 25555/2221511111 (,)()=2exp22ixiiiiif xxf xex 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取 20 个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表 1.1：表 1.1 频率分布表 i 0 1 2 3 4 个数 6 7 3 2 2 iXf 0.3 0.35
3、 0.15 0.1 0.1 经验分布函数的定义式为：(1)10,(),=1,2,1,1,nkkkxxkF xxxxknnxx，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4xxxFxxxx 图 1.1 经验分布函数 3 某地区测量了 95 位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限 165 167 169 171 173 175 177 组上限 167 169 171 173 175 177 179 x()nF x人 数 3 10 21 23 22 11 5 试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解 图 1.2 数据直
4、方图 它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即(172,5.64)N.4 设总体 X 的方差为 4，均值为，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得满足9.0)(kXP.解 -54 100XP XkPk 555 PkXk 因 k较大，由中心极限定理,(0,1)4 100XN：-55PXkkk (5)(1(5)kk 2510.9k 所以：50.95k 查表得：51.65k，0.33k.5 从总体2(52,6.3)XN中抽取容量为 36 的样本，求样本均值落在 50.8 到 53.8 之间的概率.解 25250.853.8 1.14291.71436.3/36XPXP
5、252(0,1)6.3/36XUN 50.853.81.14291.7143(1.7143)(1.14290.9564(1 0.8729)0.8293PXPU ）6 从总体(20,3)XN中分别抽取容量为 10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3 的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,XX与115,YY，其对应的样本均值为：X和Y.由题意知：X和Y相互独立，且：3(20,)10XN，3(20,)15YN (0.3)1(0.3)P XYP XY 0.31()0.50.5XYP (0,0.5)(0,1)0.5(0.3)22(0.4243)0.6744XYNXYN
6、P XY 7 设110,XX是总体(0,4)XN的样本，试确定 C，使得1021()0.05iiPXC.解 因(0,4)iXN，则(0,1)2iXN，且各样本相互独立，则有：10122(10)2iiX 所以：10102211()()144iiiiCPXCPX 1021110.0544iicPX 102110.9544iicPX 查卡方分位数表：c/4=18.31，则 c=73.24.8 设总体 X 具有连续的分布函数()XFx，1,nXX是来自总体 X 的样本，且iEX，定义随机变量：1,1,2,0,iiiXYinX 试确定统计量niiY1的分布.解 由已知条件得：(1,)iYBp，其中1()
7、XpF.因为iX互相独立，所以iY也互相独立，再根据二项分布的可加性，有 1(,)niiYB n p，1()XpF.9 设1,nXX是来自总体 X 的样本，试求2,EX DX ES。假设总体的分布为：1）(,);XB N p 2)();XP 3),;XU a b 4)(,1);XN 解 1)EXEXNp(1)DXNppDXnn 2(1)ESDXNpp 2)EXEX DXDXnn 2ESDX 3)2abEXEX 212baDXDXnn 2212baESDX 4)EXEX 1DXDXnn 21ESDX 10 设1,nXX为总体2(,)XN 的样本，求 21()niiEXX与21()niiDXX。解
8、 22212(1)(1)(1)(1)niiEXXEnSnESnDXn 222421(1)(1)niinSDXXDnSD 又因为 222(1)(1)nSn,所以：2412(1)niiDXXn 11 设1,nXX来自正态总体(0,1)N，定义：1211|,|niiYXYXn，计算12,EY EY.解 由题意知(0,1/)XNn，令：YnX，则(0,1)YN()E YnE X221|2yy edy22022yyedy 022te dt 22(1)2 1(|)2)E YEXn 21111(|(|2)()nniiiiE YEXEXnnE X 12 设1,nXX是总体(,4)XN的样本，X为样本均值，试问
9、样本容量n应分别取多大，才能使以下各式成立：1）2|0.1EX；2）|0.1EX；3）(|1)0.95PX。解 1)4(,4)(,)XNXNn，(0,1)2/XUNn 2E X242/XEnn 242/2/XXDEnnn 4100.1n 所以：40n 2)令：(0,1)2/XUNn()2/XEE Un2212uuedu 2201222uuedu 所以：220.1E Xn 计算可得：225n 3)111P XPX 222/nXnPn 22nn 210.952n 查表可得：0.9751.96,15.362nun，而n取整数，16n.13 设1(,)nXX和1(,)nYY是两个样本，且有关系式：1(
10、)iiYXab（,a b均为常数，0b），试求两样本均值X和Y之间的关系，两样本方差2XS和2YS之间的关系.解 因：111niiYXanb 11 1niiXnab n 1Xab 所以：1EYEXab 即：222112221111111111=1nnYiiiiniXiSYYXaXannbbXXSnbb 14 设15,XX是总体(0,1)XN的样本.1)试确定常数11,c d，使得2221121345()()()cXXdXXXn，并求出n；2)试确定常数2c，使得222212345()/()(,)cXXXXXF m n，并求出m和n.解 1）因：12(0,2)XXN，345(0,3)XXXN 标
11、准化得：12(0,1)2XXN，345(0,1)3XXXN且两式相互独立 故：22234512(2)23XXXXX 可得：112c，113d，2n.2）因：22212(2)XX，23452(1)3XXX，所以：221223452(2,1)3XXFXXX，可得：23,2,12cmn.15 设(),(,)pptnFm n分别是t分布和F分布的p分位数，求证 21/21()(1,)pptnFn.证明 设1(1,)pFn，则：()1()1P FpPFp ()()12()2()12P TP TpP TppP T 所以：12()ptn 故：2112()(1,)pptnFn.16 设21,XX是来自总体)1
12、,0(NX的一个样本，求常数c，使：1.0)()()(221221221cXXXXXXP.解 易知12(0,2)XXN，则12(0,1)2XXN；同理12(0,2)XXN，则12(0,1)2XXN 又因：1212(,)0Cov XXXX，所以12XX与12XX相互独立.221212222121212()(1)()()()()XXc XXPcPcXXXXXX 212212()()1XXcPXXc 212212()20.11()2XXcPXXc 所以：0.9(1,1=39.91cFc）计算得：c=0.976.17 设121,nnXXXX为 总 体2(,)XN 的 容 量1n的 样 本，2,X S为
13、 样 本1(,)nXX的样本均值和样本方差，求证：1）1(1)1nXXnTt nnS；2）211(0,)nnXXNn；3）211(0,)nXXNn.解 1）因：1()0nE XX，211()nnD XXn 所以：211(0,)nnXXNn，1(0,1)1nXXNnn 又：2221(1)nSn 且：11nXXnn与221nS相互独立 所以：1222111nXXnnnSn11nXXnnS(1)t n 2）由 1）可得：211(0,)nnXXNn 3）因：1()0E XX，211()nD XXn 所以：211(0,)nXXNn 18 设1,nXX为总体2(,)XN 的样本，X为样本均值，求n，使得(
14、|0.25)0.95PX.解(0,1)/0.250.250.25/XUNnXP XPnnn 20.2510.95n 所以：0.250.975n 查表可得：0.9750.251.96nu，即62n.19 设1,nXX为总体,XU a b的样本，试求：1）(1)X的密度函数；2）()nX的密度函数；解 因：,XU a b，所以X的密度函数为：1,()0,xa bf xbaxa b，0,(),1,xaxaF xaxbbaxb 由定理：1(1)()(1()()nfxnF xf x 11(),0,nbxnxa bbabaxa b 1()()()()nnfxn F xf x 11(),0,nxanxa b
15、babaxa b 20 设15,XX为总体(12,4)XN的样本，试求：1）(1)(10)P X；2）(5)(15)P X 解(12,4)12(0,1)2iXNXN(1)(1)10110P XP X 51110iiP X 511110iiP X 51121112iiXP 51(1(1)51(1)0.5785 5(5)11515iiP XP X 51121.52iiXP 55(1.5)0.93320.7077 21 设11(,)mmm nXXXX为总体2(0,)XN的一个样本，试确定下列统计量的分布：1）1121miim nii mnXYmX；2）21221miim nii mnXYmX；3）2
16、12212311nmmiimiiXnXmY 解 1）因为：21(0,)miiXNm 所以：1(0,1)miiXNm，2221()m nii mXn 且1miiXm与221m nii mX相互独立，由抽样定理可得：11122211=()mimiiim nm niii mi mXnXmYt nXmXn 2）因为：22211()miiXm，22211()m nii mXn 且2211miiX与2211m nii mX相互独立，所以：22211222111=(,)1mmiiiim nm niii mi mnXXmF m nmXXn 3）因为：21(0,)miiXNm，21(0,)m nii mXNn
17、所以：2212()(1)miiXm，2212()(1)m nii mXn 且212()miiXm与212()m nii mXn相互独立，由卡方分布可加性得：22222111(2)mm niiii m nXXmn.22 设总体X服从正态分布),(2N，样本nXXX,21来自总体X，2S是样本方差，问样本容量n取多大能满足95.067.32)1(22SnP？解 由抽样分布定理：2221(1)nSn,221(32.67)0.95nPS,查表可得：n121，n22.23 从两个正态总体中分别抽取容量为 20 和 15 的两独立的样本，设总体方差相等，2221,SS分别为两样本方差，求39.22221S
18、SP.解 设12=20=15nn，分别为两样本的容量，2为总体方差，由题意，2222221112222222(1)19(1)14=(19)=(14)nSSnSS，又因2221,SS分别为两独立的样本方差：21221222221919=(19,14)1414SSFSS 所以：221122222.3912.3910.950.05SSPPSS .24 设总体),(2NX，抽取容量为 20 的样本2021,XXX，求概率 1）57.37)(85.1022012iiXP；2）58.38)(65.1122012iiXXP.解 1）因(0,1)iXN，且各样本间相互独立，所以：20222022121(20)
19、iiiiXX 故：210.8537.570.990.050.94P 2）因：2022212219(19)iiXXS,所以：221911.6538.580.9950.10.895.SP 25 设总体),80(2NX，从中抽取一容量为 25的样本，试在下列两种情况下)380(XP的值：1）已知20；2）未知，但已知样本标准差2674.7S.解 1）222(80,)8080(80,)(0,1),(24)255/2580380320/54XNXXXNNtSXP XP，314P U 12(0.75)1 220.77340.4532 2）808032.0647.2674/5XP XP 12.0641 2
20、0.97510.05P T 26 1,nXX设为总体2(,)XN 的样本，2,X S为样本均值和样本方差，当20n 时，求：1）();4.472P X 2）222(|);2PS 3）确定 C，使()0.90SPCX.解 1）2(,)(0,)14.4724.472XNNXnXP XP 10.841320XP 2）2222222222PSPS 222322PS 221322SP 22199.528.5SP 其中222219=(19)S,则 222222199.528.529.528.50.950.050.9SPSPP 3）120/20SXXPcPPXSccS 其中，=(19)/20XTtS，则 2
21、00.9SPcP TXc 所以：0.920(19)=1.328tc,计算得：3.3676c.27 设总体X的均值与方差2存在，若nXXX,21为它的一个样本，X是样本均值，试证明对ji，相关系数11),(nXXXXrji.证明 cov(,)(,)()()ijijijXX XXr XX XXD XXD XX 21()()ijnD XXD XXn 21ov(,)()ijijijCXX XXE X XX XX XX Xn 所以：1(,)1ijr XX XXn.28.设总体2(,)XN，从该总体中抽取简单随机样本)1(,221nXXXn，X是它的样本均值，求统计量niiniXXXT12)2(的数学期望
22、.解 因2(,)XN，)1(,221nXXXn为 该 总 体 的 简 单 随 机 样 本，令iin iYXX，则有2(2,2)iYN 可得：112niiYYXn 22211(2)(1)nnin iiYiiTXXXYYnS 22(1)2(1)YETnESn 习题二 1 设总体的分布密度为：(1),01(;)0,xxf x其它 1(,)nXX为其样本，求参数的矩估计量1和极大似然估计量2.现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.解 计算其最大似然估计：11111(,)11ln(,)ln(1)lnnnnniiiinniiLxxxxLxxnx 1121ln(
23、,)ln0110.2112lnnniiniidnLxxxdnx 其矩估计为：13.40.1 0.2 0.9 0.8 0.7 0.766X 3077.0121,212)1()1(1101021XXXxdxxEX 所以：1211 2,11lnniiXnXX，120.3077,0.2112.2 设总体 X服从区间0,上的均匀分布，即0,XU，1(,)nXX为其样本，1)求参数的矩估计量1和极大似然估计量2；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解 1）矩估计量：11,22.42EXXX 最大似然估计量：1111
24、1(,)ln(,)0nnninLxxnLxx 无解.此时，依定义可得：21maxii nX 2）矩法：2111.2,0.472212EXDX 极大似然估计：2221.1,0.4033212EXDX.3 设1,.,nXX是来自总体 X 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.已知总体 X 的分布密度为：1）,0(;),00,0 xexf xx未知 2）(;),0,1,2,0!xf xexx未知 3）1,(;,)0axbf x a babba，其它未知 4)2,0(;)0 xxf x，其它未知 5）()/1,(;,),00,xexf xx，其中参数,未知 6）1,0(;,),00,
25、xxf xx ，其中参数,未知 7）234,0(;),00,0 xxexf xx未知 8）22(;)(1)(1),2,3,01xf xxx 解 1）矩法估计：111,EXXX 最大似然估计：11111(,),ln(,)lnniiinnxxnnniiiLxxeeLxxnx 2111ln0,niniiidnnLxdXx.2)()XP 矩估计：1,EXXX 最大似然估计：11(,),lnlnixnxnnniiiiLxxeeLnnxxxx 2ln0,dnxLnXd .3）矩估计：2,212baabEXDX 联立方程：2*2*2*221323aXMbXMabXbaM 最大似然估计：111(,)(;)()
26、nniniLxxf xba,lnln()Lnba ln0dLndaba,无解，当1minii naX 时，使得似然函数最大，依照定义，1minii naX，同理可得1maxii naX.4)矩估计：00lnEXdxxx，不存在 最大似然估计：122111(,),lnln2lnnnnniiiiiLxxLnxxx ln0nL，无解；依照定义，(1)X.5)矩估计：()/0()(1)(2)xtxEXedxt e dt X 22220()(1)2(2)(3)tEXte dt 222222122()iMXn 2222222*2*111,iMXXXMnXMM 即22*2*2111111(),()nniii
27、iXMXXXMXXnn 最大似然估计：()/1111(,)exp,1lnlninxnniLxxenxnnLnnx 2ln0,ln()0nnnLLx，无解 依定义有：(1)(1),LLXXXX.6)矩估计：1101EXxxdxM 2221201EXxxdxM 解方程组可得：22111*2221,MMMMMM 最大似然估计：1111111(,),lnlnln(1)lnnnnnniiiniiiLxxxxLnnx 1lnlnln0,ln0niinnLnxL 无解，依定义得，()nx 解得()111lnlnLnniixxn.7)矩估计：2222322230004222(2)xxtxxxEXedxedte
28、 dtX 2MX 最大似然估计：2222221331144(,)iixnxnniniiiixLxxexe 222lnln43 lnlnlniixLnnnx 22332ln20,3iLixnLxn.8)矩估计：22222222220222222230(1)(1)(1)(1)(1)(1)1221xxxxxxxxddEXx xddddqXdqdqq 2MX 最大似然估计：222211(,)(1)(1)(1)(1)ln2 ln(2)ln(1)ln(1)inxnnxnniiiiLxxxxLnnxnx 222ln0,1LnnxnLX.4.设总体的概率分布或密度函数为(;)f x，其中参数已知，记0()pP
29、 Xa，样本1,.,nXX来自于总体 X，则求参数p的最大似然估计量 p.解 记001,;0,iiiiyxayxa则(1,)iYBp；11112112(,)(1)(1)ln(,)ln(1)ln(1)nniiiiiiyynyynninL p y yyppppL p y yynypnyp 12(,)0(1)nypdL p y yyndppp pY.5 设元件无故障工作时间 X 具有指数分布，取 1000 个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值ix 5 15 25 35 45 55 65 频 数i 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值，试
30、用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：11(,),lnlninxnnxniLxxeeLnnx 711120000ln0,2010001000iiidnLnxXxvdX 10.05X.6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取 10 只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用 1300 小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x,2(,)xN,极大似然估计为：2211,()niixxxn 根据样本数据得到：2997.1,17235
31、.81.经计算得，这个星期生产的灯泡能使用 1300 小时的概率为 0.0075.7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取 50 升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从 Poisson 分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数il 17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设x为每升水中大肠杆菌个数，()xP，Ex，由 3 题（2）问知，的最大似然估计为x，所以 .150/1*42*310*220*117*0 XL 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为 1 时，
32、出现上述情况的概率最大.8 设总体2(,)XN，试利用容量为 n 的样本1,.,nXX，分别就以下两种情况，求出使()0.05P XA的点 A 的最大似然估计量.1）若1时；2）若2,均未知时.解 1）1，的最大似然估计量为x，0.950.95,0.95()0.95,xAp xApAAU 所以 0.95A UX.2）的最大似然估计量为x，2最大似然估计为*2M，由极大似然估计的不变性，直接推出*20.95MA UX.9 设总体 X具有以下概率分布(;),1,2,3f x：x(;1)f x(;2)f x(;3)f x 0 1/3 1/4 0 1 1/3 1/4 0 2 0 1/4 1/4 3 1
33、/6 1/4 1/2 4 1/6 0 1/4 求参数的极大似然估计量.若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值.解 分别计算 1,2,3，时样本观测值出现的概率：441111;3610497620;30ppp当时，当时，当时，由最大似然估计可得：1.10 设总体 X具有以下概率分布(,),0,1f x：1,01(;0)0,xf x其它，1,01(;1)20,xf xx其它 求参数的最大似然估计量.解 最大似然估计应该满足：120,111max,;max;0,;1,nnLniiiiL x xxf xf x 0,10.511max 1,2nniix 结果取决于样本观测值1
34、2,nx xx.11 设1234,XXXX是总体 X 的样本，设有下述三个统计量：123411163()()XXXXa 12342234()/10XXXXa 12343()/4XXXXa 指出1,a2,a3 a中哪几个是总体均值 a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解 22222111111()(),()()0.2763369ED 2(234)/10E，220.3D 223314(),0.25416ED 所以 123,无偏，3方差最小.12 设总体2(,)XN，1,.,nXX为其样本，1）求常数k，使122111()niiiXXk为2的无偏估计量；2）求常数k，使11|niiXXk为的
35、无偏估计量.解 1）21222222111112(1)22(1)()2(1)niiiiiEEknxxxxnnkk 令 2222(1)Enk 得 2(1)kn.2）令 1,2110,nkkk iiiixnnyxxxNnnn 222(1)2(1)122(1)xnnixn nE yedxnnn nk.13 设1,.,nXX是来自总体 X 的样本，并且 EX=，DX=2，2,X S是样本均值和样本方差，试确定常数c，使22XcS是2的无偏估计量.解 2222222222()E XcSEXcESDXE Xccn 所以 1cn.14 设有二元总体(,)X Y，1122(,),(,),(,)nnXYXYXY
36、为其样本，证明：11()()1niiiXXYYnC 是协方差Cov(,)ZX Y的无偏估计量.证明 由于1,1,11()()nnkkkk ikk iiiiixynnxxyyxynnnn 21,1,1,1,2222(1)(1)(1)nnnnkikikkkk ikk ikk ikk iiiny xnx yxynx ynnnn 所以：22222(1)(1)(1)(1)(2)2(1)(1)iinnnExynnExEyE xxyyExyExEynnnnnExyExEynn 1(1)(1)()cov(,)1nnECnExyExEyExyExEyX YZnnn，证毕.15 设总体2(,)XN，样本为1,.,
37、nXX，2S是样本方差，定义2211nSSn，22211nSSn，试比较估计量2S,21S,22S哪一个是参数2的无偏估计量？哪一个对2 的均方误差222()iE S最小？解 1）22222211111()()()111nniiiiiESEXXEXnXEXnEXnnn 222221()1nnnn 所以 2S是的2无偏估计 2）2212(1),nDSn所以，224222422,11DSE SDSnn 222222224111222222222422221()2()1nE SD SE SnE SD SE Sn 可以看出2222E S最小.16 设总体0,XU，123,XXX为样本，试证：134ma
38、x3iiX 与134miniiX 都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解 111(1)0011100443(1)(1)344(1)(1)31nnnnxxnE Xndxttdtnttdtttdtn 11()()0044444()333331nnnnxxnnEXEXndxt tdtn(1)()3,44nEXEX 212222222(1)0011113 13(1)335210 xxEXdxtt dt 21222422()001333355nxxEXdxt dt 22222(1)(1)(1)(1)341616()16()10165D XDXEXE X 22222()()()()(1)4161616
39、393()()43999516155nnnnDXDXEXE XD X 所以()43nX比较有效.17 设1，2是的两个独立的无偏估计量，并且1的方差是2的方差的两倍.试确定常数 c1,c2，使得11c22c为的线性最小方差无偏估计量.解：设 22122,2DD 1 12212121221()11E cccccccccc），22222221 1221211(2221D cccccc）222111121321cccc 当1212*33c，上式达到最小，此时21213cc .18.设样本1,.,nXX来自于总体 X，且()XP(泊松分布)，求,EX DX，并求 C-R 不等式下界，证明估计量X是参数
40、的有效估计量.解 DXEXEXDXnn，1111(,)!2ixnnnxniiiLxxeexx lnlnln!iLnnxx 22ln,()(ln)dnxndnLnxIELdd 所以其 C-R方差下界为 1()In 所以 X是参数有效估计量.19 设总体 X具有如下密度函数，1,01(,)0,xxf x，0其它 1,.,nXX是来自于总体 X 的样本，对可估计函数1()g，求()g的有效估计量()g，并确定 R-C下界.解 因为似然函数 1111L(,),lnln(1)lniinnnnniixxxxLnx 111lnlnlnln()0iiidnLxnxnxgdnn 所以取统计量1lniTxn 11
41、111100001lnlnlnlniEXx xdxxdxxxxdx 得1ET=()g，所以1lniTxn 是无偏估计量 令()cn 由定理 2.3.2 知 T是有效估计量，由221()1()gDTcnn 所以 C-R 方差下界为21n.20 设总体 X 服从几何分布：1()(1),1,2,kP Xkppk，对可估计函数1()g pp，则 1）求()g p的有效估计量1(,)nT XX；2）求()DTI p和；3）验证T的相合性.解 1）因为似然函数111(,)(1)(1)inxnnxnniL p xxpppp lnln()ln(1)Lnpnxnp 1ln()111dnnxnnnLxxg pdp
42、ppppp 所以取统计量TX.又因为 11111(1p)(1p)nnkkkkkkdEXEXkppkpqdq 20111nkkddppqpdqdqppp 所以TX是()g p的无偏估计量，取()1nc pp，由定理 2.3.2 得到，TX是有效估计量 2）222()()1()1(),(1p()0,(nc p g pg ppI pDTnpc pnpDXqDXnnp）所以 TX是相合估计量.21 设总体 X具有如下密度函数，ln,01(;)110,xxf x，其它 1,.,nXX是来自于总体 X 的样本，是否存在可估计函数()g以及与之对应的有效估计量()g？如果存在()g和()g，请具体找出，若不
43、存在，请说明为什么.解 因为似然函数11lnln(,),11innxnxniLxx lnln lnln1lnLnnx ln1ln,ln11 lndnnnxLxdn 所以令 ()ln1,1 lnggX 1112000lnlnlnln1,111ln1 lnlnxxxxxxEXEXdxxdx 所以()gX是()g的无偏估计量，取()cn，由定理 2.3.2 得到，()gX是()g有效估计量 所以：()gX是()g有效估计量.22 设1,.,nXX是来自于总体 X的样本，总体 X 的概率分布为：|1|(,)()(1),1,0,1,012xxf xx 1）求参数的极大似然估计量；2）试问极大似然估计是否
44、是有效估计量？如果是，请求它的方差D和信息量()I；3）试问是否是相合估计量？解 1）111(,)1122lnln(n)ln(1)iiiixxnxnxniiiLxxLxx n1ln01(1)nxixidnLxid 得到最大似然估计量1xin 2）110011,10122ExiE xi E xinn 所以11ExiE xinn 所以是无偏估计量，()(1)nc，由定理 2.3.2 得到1xin是有效估计量 信息量c()1()(1)In 3）1(1)D0,(n)c()n 所以，T也是相合估计量.23 设样本1234,XXXX来自总体(,1)N，并且的区间估计为(1,1)XX，问以多大的概率推断参数
45、取值于此区间.解 设以概率1p 推断参数取值于(1,1)XX，在已知方差为 1 条件下，推断参数 的置信度为1的置信区间为1122(,)XuXunn 所以 121un，122u，得到0.0456 10.9544p 即以概率0.9544p 推断参数取值于(1,1)XX.24 从一批螺钉中随机地取 16 枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的 90%置信区间，1）若已知=0.01cm；2）若未知；
46、解 因为2.125,16,0.171,Xns 0.950.9510.95,1.65,151.7532t-1）计算 0.950.950.010.012.1209,2.12911616XbaX=所以 置信区间为1.1212.129，2）计算 0.950.950.01710.0171152.1175,152.13251616XtbXt=所以 置信区间为2.115 2.135，.25 测量铝的密度 16 次，测得2.7050.029,xs试求铝的比重的 0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布).解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为 0.952.7050.975,152.1312
47、Xt，n=16,s=0.029,=0.05,1-计算 0.9750.9750.0290.029152.6896,152.72041616XtbXt=所以 置信区间为 2.6895 2.7025，.26 在方差2已知的正态总体下，问抽取容量 n 为多大的样本，才能使总体均值的置信度为1的置信区间长度不大于 l？解 均值的置信度为1的置信区间为1122(,)XuXunn 要使121222lnln 即 222124nl.27 从正态总体(3.4,36)N中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？解(1.43.4)(3.
48、4)(5.43.4)(1.45.4)0.95()0.95666nn XnPXP 2()10.955.88,34.573nnn ，所以,35n.28 假设 0.5,1.25,0.8,2.0是总体 X 的简单随机样本值.已知ln(,1)YXN a.1）求参数 a的置信度为 0.95的置信区间；2）求 EX的置信度为 0.95的置信区间.解 1）lnYX服从(,1)N正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为12Yu ，由题意，从总体 X中抽取的四个样本为：12ln0.50.69314718,ln1.250.22314355yy 34ln 0.80.22314355,ln 20.693147
49、18yy 其中，0.9754,1,1.96,0nuY，代入公式，得到置信区间为(0.98,0.98)2）2()0.5212yYyEXEeeedye，由 1）知道的置信区间为(0.98,0.98)，所以EX置信区间为0.98 0.50.98 0.50.481.48(,)(,)eeee.29 随机地从 A批导线中抽取 4 根，并从 B批导线中抽取 5根，测得其电阻()为：A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140 设测试数据分别服从21(,)N 和22(,)N，并且它们相互独立，又212,均未知，求参数12的置信度
50、为 95%的置信区间.解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为12112211(2)wXYtnnSnn 计算得 2626AB120.14125,0.1392,8.25*10,5.2*10,4,5,0.05xySSnn 26WW0.9756.57 10,0.00255,(7)2.365,0.0022,0.0063SStab 所以 0.0022,0.0063.30 有两位化验员 A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了 10 次测定，其测定值的方差2s依次为 0.5419 和 0.6065，设2A与2B分别为 A、B 所测量数据的总体的方差(