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1、第八章 二元一次方程组教案 一、教材分析 本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。 教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简洁的二元一次方程（组）的解。接着，以消元思想为根底，依次探讨理解二元一次方程组的常用方法代入法和消元法。然后，选择了三个具有肯定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植安排问题”“本钱与产出问题”，将贯穿全章的实际问题进步到一个新的高度。最终，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的表达。二、 教学目的（一） 学问与技能 1、理解二
2、元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、驾驭二元一次方程组的代入法和消元法，能依据二元一次方程组的详细形式选择适当的解法；3、理解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步进步学生分析问题和解决问题的实力。（二）过程与方法1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经验“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。（三）情感、看法与价值观通过探究实际问题，进一步相识利用二元一次
3、方程组解决问题的根本过程，体会数学的应用价值，进步分析问题、解决问题的实力。三、教学重难点重点： 二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题；难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。四、课时安排8.1二元一次方程组 1课时8.2 消元二元一次方程组的解法 4课时8.3再探实际问题与二元一次方程组 3课时*8.4三元一次方程组解法举例 2课时本章小结 2课时8.1二元一次方程组一、教学目的1、 理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念；2、 能推断一个方程组是否是二元一次方程组3、 学会求出某二元一次方程的
4、几个解和检验某对数值是否为二元一次方程（组）的解； 二、教学重点难点 重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是； 难点：理解二元一次方程组的解是。三、学情分析四、 教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、问题导入 我们很多同学喜爱打篮球，这里面也有学问。看下面的问题：篮球联赛中，每场竞赛都要分出输赢，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场竞赛中得到16分，那么这个队输赢场数分别是多少？你知道吗？（二）、探究新知这个问题中包含了哪些必需同时满意的条件？胜的场数负的场数总场数，胜场积分负场积分总积分.若设胜的场数是x，负的场数是y，你
5、能用方程把这些条件表示出来吗？xy102xy16这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？所含未知数的个数不同；特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是1。像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程。上面的问题包含了两个必需同时满意的条件，也就是未知数x、y必需同时满意方程xy10和2xy16把两个方程合在一起，写成xy10 2xy16 像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组.满意方程，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.xy为此我们用含x的式子表示y，即y22x（
6、x可取一些自然数）。明显，上表中每一对x、y的值都是方程的解。一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.假如不考虑方程的实际意义，那么x、y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？还可以取x1，y11；x0.5，y9.5，等等。所以，二元一次方程的解有多数对。上表中哪对x、y的值还满意方程？x6，y4还满意方程.也就是说，它们是方程与方程的公共解，记作二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.（三）、课堂练习 1、下列各对数值中是二元一次方程x2y=2的解的是 A B C D 2、课本89面练习。（四）、课堂小结1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；
7、2、二元一次方程、二元一次方程组的解.（五）、作业课本90页 1、2六、课后反思8.2消元（一）一、 教学目的1、 驾驭代入法解二元一次方程组；2、 经验探究二元一次方程组的解法的过程，初步体会“消元” 的根本思想.3、 通过探讨解决问题的方法，培育学生合作沟通意识与探究精神。二、教学重点难点 重点：代入消元法解二元一次方程组；难点：理解“消元”的根本思想。三、 学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、情景导入下面是我们探讨过的一个关于篮球竞赛的问题：篮球联赛中，每场竞赛都要分出输赢，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场竞赛
8、中得到16分，那么这个队输赢场数分别是多少？请你求出结果。设这个队胜了x场，依题意，得 2x+(10-x)=16 解得x6 16x4所以，这个队胜了6场，负了4场.我们知道，设胜的场数是x，负的场数是y，可列方程组：xy10 2xy16那么怎样求这个方程组的解呢？（二）、探究新知上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发觉，二元一次方程组中第1个方程xy10说明y10x，将第2个方程2xy16的y换为10x，这个方程就化为一元一次方程2x+(10-x)=16。这就是说，二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟识的一元一次方程。这样，我们就可以先求出一个未知
9、数，然后再求出另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.例1 解方程组：分析：依据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知数，为此，须要用一个未知数表示另一个未知数。怎样表示呢？转化成的一元一次方程是什么？解：由得x=y+3把代入，得 3（y3）-8y14 解得y=1 把y=1代人得x=2. 上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.解上面的方程组能消去y吗？试试看。(三)、课堂练习： 课本面1；99面2题。（四）、课堂小结
10、1、什么是消元的思想？什么是代入消元法？2、用代入消元法解二元一次方程组。（五）、作业课本103面1、2题。3、（1） 4xy =52x4y=24 （2） 六、课后反思8.2消元（二）一、教学目的1、初步学会用二元一次方程组解决简洁的实际问题及有关的数学问题。2、通过探讨解决问题的方法，培育学生合作沟通意识与探究精神。二、教学重点难点重点：二元一次方程的运用；难点：用二元一次方程组解决简洁的实际问题。三、 学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、复习导入上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，回忆一下：怎样用代入消元法解二元一次方程组？什么是二元一次方
11、程组的解？今日我们学惯用二元一次方程组解决有关的问题。（二)、例题例1已知 是方程组的解，求、的值.分析：依据方程组的解的意义，我们可以知道什么？解：把 代入 ，得把代入，得8+2a-1=a+5 解得a2把a2代入，得b=-5例2 依据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天消费这种消毒液22.5吨，这些消毒液应当分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？分析：问题中有哪些未知量？消毒液应当分装的大瓶数和小瓶数。问题中有哪些等量关系？大瓶数小瓶数25大瓶所装消毒液小瓶所装消毒液22.5吨设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系？设这
12、些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则请你用代入消元法解答上面的方程组。解之得，答：这些消毒液应当分装20000大瓶和50000小瓶.(三)、课堂练习课本93面3、4题。(四)、课堂小结列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思想和步骤是一样的，不同的是一个设一个未知数，一个设两个未知数.一般地，同一个问题既可以列一元一次方程来解决，也可以列二元一次方程组来解决，不过，有时设两个未知数列方程组更便利些。(五） 、作业课本98页4、6.六、课后反思8.2消元（三）一、教学目的1、驾驭加减法解二元一次方程组； 2、进一步体会解二元一次方程组的根本思想消元 ； 3、通过探讨解决问题的方法
13、，培育学生合作沟通意识与探究精神。二、重点难点 重点：用加减法解二元一次方程组； 难点：用加减法解一样未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组。三、 学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、问题引入我们知道，对于方程组 , 可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有别的方法呢？ 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发觉新的消元方法吗？（二）探究新知y的系数相等；用可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 解得x=18把x=18代入得y=4。明显，由也能消去未知数y.思索：联络上面的解法，想一想应怎样解方程组 这两个方程中未知
14、数y的系数互为相反数，因此由可消去未知数y，从而求出未知数x的值。我们看到，把两个二元一次方程的两边分别相加减，可以到达“消元”的目的。 当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（三）、例题 例 用加减法解方程组 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不一样，干脆加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或一样。解：3,得 9x+12y=48 2,得 10x-12y=66 ,得 19x=114 x=6 把x=6代入，得36+4y=16 4y=-
15、2, y=- 所以，这个方程组的解是本题假如用加减法消去x该怎么办？把5，3即可。（四）、课堂练习课本96页1题。（五）、课堂小结1、什么是加减消元法？2、用加减消元法解二元一次方程。（六）、作业：课本98页3、5题。六、课后反思：82消元（四）一、教学目的1、初步学会用二元一次方程组解决有关的问题，进一步相识方程模型的重要性。2、进一步体会解二元一次方程组的根本思想消元；3、通过探讨解决问题的方法，培育学生视察分析实力、逆向思维实力和探究精神二、教学重点难点重点：用二元一次方程组解决有关的问题；难点：列二元一次方程组。三、 学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程
16、（一）、复习导入1、什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？2、解二元一次方组的根本思想是什么？有哪些方法？今日我们来运用二元一次方程组解决有关的问题。（二）、例题例4： 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦36公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？分析：本题要我们求什么？1台大收割机1小时收割小麦的公顷数和1台小收割机1小时收割小麦公顷数。本题的等量关系是什么？2台大收割机2小时的工作量5台小收割机2小时的工作量=3.6 3台大收割机5小时的工作量2台小收割机5小时的工作量=8若设1台大收割机和1台小
17、收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.请你列出方程组。 整理,得 -,得11x=4.4 x=0.4 把x=0.4代入,得y=0.2 答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.（三）、课堂练习课本97页练习2、3题。（四）作业课本98页7、8题。五、课后反思8.3 实际问题与二元一次方程（1）一、 教学目的 1、 学会借助二元一次方程组解决简洁的实际问题；2、 体会二元一次方程组与现实生活的联络和作用；3、 使学生通过问题解决驾驭列方程组解应用题的一般步骤。二、 教学重点难点 重点：解决含有多个未知数的实际问题是；难点：找出问题中的两个等量关系。三、 学情分析四、教学
18、方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程 （一）、导入新课前面我们结合实际问题，探讨了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组本节我们接着探究如何用方程组解决实际问题 （二）、 例题 看下面的问题。例 养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料1820 kg,每只小牛1天约需用饲料78 kg.你能否通过计算检验他的估计？分析：怎样检验李大叔的估计是否正确？（1）先假设李大叔的估计正确，再依据问题中给定的数量关系来检验；（2）依据问题中给定的数量关系求出平均
19、每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来推断李大叔的估计是否正确本题的等量关系是什么？30只母牛一天用的饲料量+15只小牛一天用的饲料量=675 （1）（30+12）只母牛一天用的饲料量+（15+5）只小牛一天用的饲料量=940（2）设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg， 依据题意可列怎样的方程组？解这个方程组得答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛食量估计有肯定的偏向。（三）、课堂练习某所中学如今有学生4200人，安排一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校如今的初中在校生
20、和高中在校生人数各是多少人？（四）、作业课本108面1、2、3题。六、课后反思8.3 实际问题与二元一次方程（2）一、教学目的 1、 学会借助二元一次方程组解决有关配套与设计的实际问题，2、 体会二元一次方程组与现实生活的联络和作用。3、培育学生分析问题、解决问题的实力与合作意识、探究精神。二、教学重点难点 重点：运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题；难点：找出问题中的两个等量关系。三、学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、导入新课前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实消费、生活中还有很多问题也能用方程组解决 （二）、 例题 看下面的问
21、题：例 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地，分为两块长方形土地，分别种植两种作物，怎样划分这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)？分析：本题中的根本关系是什么？本题中的等量关系有哪些？总产量单位面积产量面积甲作物的单位面积产量乙作物的单位面积产量12甲作物的总产量乙作物的总产量34怎样划分这块土地呢？第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，如图（1）；第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和FECD,如图（2）。 ABCDEF (1) (2)对第一种种植方案，设AE=x
22、m，BE=ym，可得怎样的方程组？解这个方程组，得详细怎么划分呢？请你作答。过长方形土地的长边上离一端约120m处，把这块地分为两个长方形较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物你能求出第二种种植方案的答案吗？试试看。（三）、课堂练习一种圆凳由一个凳面和三条腿组成，假如1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能消费多少张圆凳？（四）、作业课本102页4、6题六、课后反思：8.3 实际问题与二元一次方程（3）一、教学目的1、 学会用列表的方式分析、解决简洁的实际问题；2、体会二元一次方程组与现实生活的联
23、络和作用；3、培育学生分析问题、解决问题的实力与合作意识、探究精神二、教学重点难点 重点：解决含有多个未知数的实际问题；难点;用列表分问题中的数量关系。三、学情分析四、教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、 教学过程 （一）、情景导入最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电惊慌的场面，为疏导电价冲突，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案通常白天的用电称为顶峰用电，即8:0022:00，深夜的用电是低谷用电即22:00次日8:00.若某地的顶峰电价为每千瓦时0.56元，低谷电价为每千瓦时0.28元八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家顶峰用电量和
24、低谷用电量各是多少千瓦时吗？像这样的实际问题还有很多。（二）、例题例 如图，长青化工厂与A，B两地有马路、铁路相连这家工厂从A地购置一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地马路运价为1. 5元（吨千米），铁路运价为1.2元（吨千米），这两次运输共支出马路运费15000元，铁路运费97200元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ AB铁路120km马路10km长春化工厂铁路110km马路20km分析：要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必需知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而马路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都
25、有关因此，我们必需知道产品的数量和原料的数量。本题涉及的量较多，我们知道，这种状况下常用列表的方式来处理。本题涉及哪两类量呢？一类是马路运费，铁路运费，价值；二类是产品数量，原料数量。设产品重x吨，原料重y吨，列表如下：产品x吨原料y吨合计马路运费（元）1.520x1.510y1.5(20x+10y)铁路运费（元）1.2110x1.120y1.2(110x+120y)价值（元）8000x1000y由上表可列方程组解这个方程组，得销售款:8000300=2400000; 原料费:1000400=400000;运输费:15000+97200=112200.所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1
26、887800元.（三）、课堂练习前面我们提到过峰谷电价问题，你能求出小彬家顶峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？试试看。（四） 、小结应用二元一次方程解决实际问题的一般方法是怎样的？（五） 作业：课本102页5、8、9。六、课后反思：*8.4三元一次方程组解法举例一、教学目的1、理解三元一次方程组的概念；2、驾驭三元一次方程组的解法。二、重点难点重点：三元一次方程组的解法；难点：三元一次方程组的解法。三、学情分析四、 教学方法及应用师生合作探究，讲授、练习相结合五、教学过程（一）、导入新课前面我们学习了二元一次方程组及其解法，知道有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决。事实上
27、，有不少问题含有三个或更多的未知数，那么怎样解决呢？（二)、新授看下面的问题：小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张？这里有三个未知数，自然要设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，依题意，有x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y这个问题的解必需同时满意上面三个条件，因此，我们把这三个方程全在一起，写成x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 这个方程投影2含有三个一样的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。怎样解三元一次
28、方程组呢？我们知道二元一次方程组是通过消元变成一元一次方程组来解的，那么能不能通过消元把三元一次方程组变为二元一次方程组来解呢？明显，把方程分别代入方程消去x就变成了二元一次方程组，即5y+z=12 6y+5z=22 因此，投影3解三元一次方程组的根本思想是：通过“代入”或“加减”进展消元，把“三元”变成“二元”，从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组来解。这里还表达了化归的思想方法。（三）、例题投影4例1 解三元一次方程组3x+4z=12 2x+3y+z=9 5x9y+7 z=8 分析：消去哪一个未知数可以把这个方程组转化为二元一次方程组？怎么消元？解：3+ ，得 11x+10z=35 联
29、立有3 x +4z=7 11x+10z=35 解之，得x =5 x=-2 把x =5，x=-2代入，得25+3y+z=9 y=1/3因此，这个方程的解为x=5 y=1/3 z=-2 投影5例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时y=0，当x=-2时y=3，当x=5时,y=60求a、b、c的值。解：依题意，得a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 - ,得 a+b=1 - ， a+b=1 联立与有 a+b=1a+b=1 解之，得 a=3b=-2把a=3，b=-2代入，得 c=-5因此 a=3b=-2 c=-5答：a=3，b=-2，c=-5。（四）、课堂练习课本106页
30、练习1、2题。（五）、课堂小结本节课我们学习了三元一次方程组及其解法，和二元一次方程组的解法一样，都是利用消元的思想，把“多元”化成“一元”，从而求出方程组的解。（六）、作业：课本106页1、2。六、课后反思：本章小结一、学问构造实际问题设未知数，列方程二元或三元一次方程组解方程组代入法、加减法二元或三元一次方程组的解实际问题的答案检验二、回忆与思索1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？2、什么是消元的思想？解二元一次方程组消元的途径有哪些？3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么一样之处？有什么不同之处？三、例题导引
31、例1 已知方程组甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程(2)中的b，得到方程组的解为，若按正确的计算，求x6y的值。例2 甲、乙两件服装的本钱共500元，商店老板为获得利润，确定将甲服装按50的利润定价，乙服装按40的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的本钱各是多少元？例3 据探讨，一般洗衣粉含量以0.20.5为宜，即100千克洗衣水里含200500克的洗衣粉比拟适宜，因为这时外表活性最大，去污效果最好。如今，洗衣缸里放了两汤匙洗衣粉（一汤匙约0.02千克），4千克衣服，若要使洗衣粉的含量为0.4（放入衣服之后），容量到达15千克，还需加多少洗衣粉，添多少水才适宜？三、练习升华课本118119面13；510题.