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1、学习必备欢迎下载8.1 二元一次方程组教学目标：教学目标：1认识二元一次方程和二元一次方程组.2了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.教学难点：教学难点：求二元一次方程的正整数解.教学过程：教学过程：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的
2、条件：胜的场数负的场数总场数，胜场积分负场积分总积分.这两个条件可以用方程xy222xy40表示.上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和 y） ，并且未知数的指数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程二元一次方程.把两个方程合在一起，写成xy222xy40像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组二元一次方程组.学习必备欢迎下载探究：探究：满足方程，且符合问题的实际意义的 x、y 的值有哪些？把它们填入表中.上表中哪对 x、y 的值还满足方程一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方二元一次方程的解程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，
3、叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解.例例 1 1（1）方程（a2）x +(b-1)y = 3 是二元一次方程，试求 a、b 的取值范围.（2）方程 xa 1+(a-2)y = 2 是二元一次方程，试求 a 的值.例例 2 2若方程 x2 m 1+ 5y3n 2= 7 是二元一次方程.求 m、n 的值例例 3 3已知下列三对值：x6x10 x10y9y6y11xy6 的左、右两边的值相等？12xy6（2） 哪几对数值是方程组2的解？2x31y11（1） 哪几对数值使方程例例 4 4求二元一次方程 3x2y19 的正整数解.课堂练习：课堂练习：教科书习题 8.11、2 题8.2 消元（一）教
4、学目标：教学目标：1会用代入法解二元一次方程组.xy2初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”.3通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.重点：重点：用代入消元法解二元一次方程组.学习必备欢迎下载难点：难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程：教学过程：复习提问：复习提问：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 20 场比赛中得到 38 分，那么这个队胜负场数分别是多少？解：设这个队胜 x 场，根据题意得2x (20 x) 38解得x18则20 x2答：这个队胜 18 场，负 2 场
5、.新课：新课：在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是 x，负的场数是 y，xy202xy38那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现， 二元一次方程组中第 1 个方程 xy20 说明 y20 x，将第 2 个方程2xy38 的 y 换为 20 x，这个方程就化为一元一次方程2x (20 x) 38.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.归纳：归纳：上
6、面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程， 实现消元，进而求得这个二元一次方程组学习必备欢迎下载的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.例例 1 1把下列方程写成用含 x 的式子表示 y 的形式：（1）2xy3（2）3xy10例例 2 2用代入法解方程组xy33x8y14例例 3 3根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？用代入消元法解二元一次方程组的步骤：用代入消元法解二元一次方程组的步
7、骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.课堂练习：课堂练习：教科书第 93 页 2、3、4 题作业：作业：教科书第 97 页第 1 题、第 2 题8 82 2消元（二）消元（二） （第一课时）（第一课时）一、知识与技能目标一、知识与技能目标 1.用代入法、加减法解二元一次方程组. 2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已
8、知”的化归思想. 3.会用二元一次方程组解决实际问题. 4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力. 5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体, 进一步提高解方程组的技能.二、过程与方法目标二、过程与方法目标学习必备欢迎下载 1.通过探索二元一次方程组的解法的过程, 了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯. 2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.三、情感态度与价值观目标三、情感态度与价值观目标 1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已
9、知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。 2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。 3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。 4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。新授课：新授课：一、创设情境，导入新课一、创设情境，导入新课甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10 元钱， 乙借给丙 8 元钱，丙又给甲 12 元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？二、师生互动，课堂探究二、师生互动，课堂探究（一）提高问题，引发讨论（一）提高问题，引发讨论x y 22我们知
10、道，对于方程组 , 可以用代入消元法求解。2x y 40这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？ 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？（二）导入知识，解释疑难（二）导入知识，解释疑难 1. 1.问题的解决问题的解决上面的两个方程中未知数y的系数相同， 可消去未知数y， 得(2x+y)-(x+y)=40-22即 x=18,把 x=18 代入得 y=4。 另外， 由也能消去未知数y， 得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=-18,x=18,把 x=18 代入得 y=4.4x10y 3.62.2.想一想：想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组15x10y 8分析：这两个方程中未知
11、数 y 的系数互为相反数， 因此由可消去未知数 y，从而求出未知数 x 的值。学习必备欢迎下载解：由得 19x=11.6 x=589558x 58995把 x=代入得 y=-这个方程组的解为99595x 95 3. 3.加减消元法的概念加减消元法的概念从上面两个方程组的解法可以发现， 把两个二元一次方程的两边分别进行相加减， 就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时， 将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法， 简称加减法。 4. 4.例题讲解例题讲解3x4y 16用加减法解方程组5
12、x6y 33分析： 这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同， 直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。解：3,得 9x+12y=482,得 10 x-12y=66 ,得 19x=114 x=6把 x=6 代入，得 36+4y=16 4y=-2, y=-12x 6所以，这个方程组的解是1y 2议一议议一议：本题如果用加减法消去x 应如何解？解得结果与上面一样吗？解：5，得 15x+20y=80 3,得 15x-18=99 -,得 38y=-19 y=-12学习必备欢迎下载把 y=-11代入，得 3x+4(-)=1622 3x=18 x=6
13、x 6所以，这个方程组的解为1y 2如果求出 y=- 5. 5.做一做做一做11后，把 y=代入也可以求出未知数x 的值。222x3y2x3y 743解方程组2x3y2x3y823分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。14x3y 84解：化简方程组，得10 x3y 48，得 4x=36 x=9把 x=9 代入（也可代入，但不佳） ，得 109-3y=48 -3y=-42 y=14这个方程组的解为x 9y 14点评点评: :当方程组比较复杂时 ,应先化简,并整理成标准形式 .本题还可以把 2x+3y和2x-3y 当成两个整体,用换元法,设 2x+3y=A,2x-3y=B,转化
14、为以 A、B 为未知数的二元一次方程组. 6. 6.想一想想一想 (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么? (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?师生共析师生共析: :学习必备欢迎下载(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数, 可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等, 可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数
15、),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号, 合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边, 常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. ( (三三) )归纳总结归纳总结, ,知识回顾知识回顾本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法加减法 .通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.作业：作业：1.用加减法解下面方程组时,你认为先消
16、去哪个未知数较简单,填写消元的方法.3x2y 15 (1) ,消元方法_.5x4y 23 (2)7m3n 1 ,消元方法_.2n3m 22.用加减法解下列方程组: (1)4x y 23x2y 1 (2)4x3y 6x4y 7 (3)参考答案参考答案3x2y 5x4y 9 (4)4x3y 1x4y 10 1.(1)-消去 y (2)2+3 消去 n学习必备欢迎下载19x x 1x 1x 02 2.(1) (2) (3) (4)y 2y 1y 2y 188 82 2消元（二）消元（二） （第二课时）（第二课时）一、创设情境一、创设情境, ,导入新课导入新课七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,
17、体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).进球数 n投进球的人数0112273452同时,已知进球 3 个和 3 个以上的人平均每人投进 3.5 个球;进球 4 个和 4 个以下的人平均每人投进 2.5 个球,你能把表格中投进 3 个球和投进 4 个球对应的人数补上吗?二、师生互动二、师生互动, ,课堂探究课堂探究 ( (一一) )指出问题指出问题, ,引发讨论引发讨论你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢? (经过学生思考、讨论、交流) ( (二二) )导入知识导入知识, ,解释疑难解释疑
18、难 1. 1.例题讲解例题讲解( (见见 P109)P109)分析:如果 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和 y 公顷, 那么 2 台大收割机和 5 台小收割机 1 小时收割小麦_公顷,3 台大收割机和 2 台小收割机 1 小时收割小麦_公顷.解:设 1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷. 根据两种工作方式中的相等关系,得方程组2(2x5y) 3.65(3x2y) 8去括号,得4x10y 3.615x10y 8-,得 11x=4.4解这个方程,得 x=0.4把 x=0.4 代入,得 y=0.2学习必备欢迎下载这个方程组的解是x 0.
19、4y 0.2答:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷. 2. 2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示上面解方程组的过程可以用下面的框图表示: :二元一次方程组 3. 3.做一做做一做4x+10y=3.6 y=0.2x=0.4-两方程相减、消去未知数y解得x一元一次方程 11x=4.415x+10y=7 为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1 号电池 4 节,5 号电池 5 节,总重量为 460 克,第二天收集1 号电池 2 节,5 号电池3 节,总重量为 240克,试问 1 号电池和5 号电池每节分别重多少克?分析:如果 1 号
20、电池和 5 号电池每节分别重 x 克,y 克,则 4 克 1 号电池和 5 节 5 号电池总重量为 4x+5y 克,2 节 1 号电池和 3 节 5 号电池总重量为 2x+3y 克.解:设 1 号电池每节重 x 克,5 号电池每节重 y 克,根据题意可得4x5y 4602x3y 2402-,得 y=20把 y=20 代入,得 2x+320=240,x=90所以这个方程组的解为x 90y 20答:1 号电池每节重 90 克,5 号电池每节重 20 克. 4. 4.练一练练一练:P97:P97 练习第练习第 2 2、题、题. . ( (三三) )归纳总结归纳总结, ,知识回顾知识回顾这节课我们经历
21、和体验了列方程组解决实际问题的过程 , 体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.作业：作业：1.王大伯承包了 25 亩土地, 今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜, 用去了学习必备欢迎下载44000 元,其中种茄子每亩用了1700 元,获纯利 2400 元,种西红柿每亩用了1800 元, 获纯利2600 元,问王大伯一共获纯利多少元?2.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山, 到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走 4 千米,爬山时每小时走 3 千米, 下坡时每小时走 6千米,问旅游者一共走了多少路?参考答案
22、参考答案1.设王大析种了 x 亩茄子,y 亩西红柿,根据题意得x y 251700 x1800y 44000 x 10解得y 15所以获纯利为 102400+152600=63000 元2.旅游者一共走了 20 千米路.设平路长 x 千米,坡路长 y 千米,依时间关系有2xyy1=5 ,即(x+y)=5,2(x+y)=20.43628.38.3 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组教学目标：1 使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题， 让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2 通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系， 体会代数方法的优越
23、性3 体会列方程组比列一元一次方程容易4 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力重点与难点：重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：正确发找出问题中的两个等量关系教学过程：一复习列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答学习必备欢迎下载新课：看一看课本 99 页探究 1问题：1 题中有哪些已知量？哪些未知量？2 题中等量关系有哪些？3 如何解这个应用题？本题的等量关系是（1）30 只母牛和 15 只小牛一天需用饲料为675kg（2） （30+12 只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940解：设平均每只母牛和每只小
24、牛1 天各需用饲料为xkg 和 ykg根据题意列方程，得30 x 15y 67542x 20y 940解这个方程组得(1)(2)x 20y 5答：每只母牛和每只小牛 1 天各需用饲料为 20kg 和 5kg，饲料员李大叔估计每天母牛需用饲料 1820 千克，每只小牛一天需用7 到 8 千克与计算有一定的出入。练一练：1、某所中学现在有学生4200 人，计划一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加 11%，这样全校学生将增加 10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？解：设现在初中在校学生有x 人，高中在校生有 y 人学习必备欢迎下载根据题意，列方程得x y 4200 x(18
25、%) y(111%) 4200(110%)解这个方程组得x 1400y 28002、有大小两辆货车，两辆大车与3 辆小车一次可以支货 15。50 吨，5 辆大车与 6 辆小车一次可以支货 35 吨，求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x,y 吨2x 3y 15.55x 6y 35x 4y 2.53x 5y 24.5答：3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货 24.5 吨3、某工厂第一车间比第二车间人数的则第一车间的人数是第二车间的4少 30 人，如果从第二车间调出10 人到第一车间，53，问这两车间原有多少人？4解：设第一、第二车间原来分别有
26、x,y 人4x y 3053x 10 (y 10)4x 170y 2504、某运输队送一批货物，计划20 天完成，实际每天多运送5 吨，结果不但提前2 天完成任务并多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？再探实际问题与二元一次方程组（二）教学目标：通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方学习必备欢迎下载程模型， 解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题难点：寻找等量关系教学过程：看一看：课本 99 页探究 2问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1
27、：1.5”是什么意思？2、 “甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？3、本题中有哪些等量关系？提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？甲种作物单位产量是 ax y 200(100 xa):(100y1.5a) 3:4学习必备欢迎下载解这个方程组得x 106y 94答：这两个长方形，是过长方形ABCD 土地的长边上离 A 约 106 米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物。思考：这块地还可以怎样分？练一练一、某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：农作
28、物品种水稻棉花蔬菜每公顷需劳动力4 人8 人5 人每公顷需投入奖金1 万元1 万元2 万元已知该农场计划在设备投入 67 万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？问题：题中有几个已知量？题中求什么？分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？解：设安排 x 公顷种水稻、y 公顷种棉花、则(51-x-y)种公顷蔬菜根据题意列方程得：4x 8y 5(51 x y) 300 x y 2(51 x y) 67解这个方程得：x 15y 20那么种蔬菜的面积为 51-15-20=16答：安排 15 公顷种水稻、20 公顷种棉花、16 种公顷蔬菜二、木工厂有 28
29、人，2 个工人一天可以加工 3 张桌子，3 个工人一天可加工 10 只椅子，现学习必备欢迎下载在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4 只椅子配套？三、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果 1 立方米木材可制作 300 条腿或制作凳面 50个，现有9 立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？二元一次方程组小结与复习考点呈现1.二元一次方程（组）的识别例 1若方程 x2m-1+5y3n-2=7 是二元一次方程，则m=_，n=_.解析：方程中含有两个未知数，并且未知项的次数都是 1 的方程是二元一次方程，方程x2m-1+5y3n-2=7
30、中含有两个未知数 x、y，所以只要使它们的次数为1，则该方程即为二元一次方程.所以 2m-1=1，3n-2=1.解得 m=1，n=1.例 2 下列方程组：25a 2b3 2，a 1xy4a b 9x y 7b 1x y xyx y 2,x y 1y z 9;其中是二元一次方程组的有(). 1 个3 个2 个4 个解析：方程组中含有两个未知数即可， 而非每个方程中都要含有两个未知数； 未知项的次数为 1，一方面是强调方程为整式方程，即方程中的未知数不能出现在分母中.另一方面是强调未知项的次数必须是1，而非单独未知数的次数. 和符合定义；中的25和两xy学习必备欢迎下载项的分母中都含有未知数；中未
31、知项xy 的次数是 2，不是1；中含有x、y、z 共 3 个未知数.故选 B.2.二元一次方程（组）解的意义例 3 二元一次方程 4x+y=20 的正整数解是解析：方程的解是指使方程成立的未知数的值.而正整数解是指两个未知数的值均为正整数由 4x+y=20，得 y=204x因为 x、y 均为正整数，所以x 可以取 1、2、3、4，相应的 y 的值分别为 16、12、8、4所以正整数解为x 1，x 2，x 3， x 4，y 16y 12y 8y 47x3y 0，例 4二元一次方程组的解与 7x-3y=0 解的关系（）2x y 1是这个方程的唯一解是这个方程的一个解不是这个方程的解以上结论都不对7
32、x 3y 0,解析： 二元一次方程组的解是指使方程 7x-3y=0 和方程 2x-y=-1 都成立的2x y 1未知数的值，即两个方程的公共解.所以方程组的解对于其中的一个方程而言，只是这个方程的一个解.故选 C.例 5已知关于 x、y 的二元一次方程组a、b 的值.解析：由两个方程组的解相同可知，方程组的解应该满足这两个方程组中的四个方程，可将这两个方程组中的第一个方程联立，构成新的方程组2x3y 33x2y 11和的解相同，求axby 12ax3by 32x 3y 3,x 3,解得将3x 2y 11y 1x 3,3a b 1,a 2,代入另两个方程可得解得y 16a 3b 3b 53.二元
33、一次方程组的解法2x y 6 例 6解方程组：x2y 2解析：观察方程组中两个方程，其中两个方程中存在未知数系数是1 或1 的，可以用代入法求解，也可以用加减消元法求解.代入法：由，得 y=2x-6.学习必备欢迎下载将代入，得 x+2(2x-6)=-2.解得 x=2.将 x=2 代入，得 y=-2.所以x 2y 2加减法：2，得 5x=10.解得 x=2.将 x=2 代入，得 y=-2.所以x 2y 2温馨提示：一般地，当根据某个方程，容易把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示时， 用代入消元法； 当两个方程中某个未知数的系数相同 （或互为相反数， 或成倍数关系）时，可用加减消元法.两种方法
34、都是将二元转化为一元.4.列方程组解决实际问题例 7 （2011 年烟台市）小华从家到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走 60 米，下坡路每分钟走 80 米 ，上坡路每分钟走 40 米，从家到学校需 10 分钟，从学校到家里需 15 分钟.请问小华家离学校多远？解析：平路行走时间+坡路行走时间=总行走时间.从家到学校和从学校到家，上坡路和下坡路互换位置，据此可列方程组.设平路有 x 米，坡路有 y 米.y x10,x 300,6080根据题意，得解得xyy 400.15.6040则 xy700.所以小华家离学校 700 米.误区点拨1.曲解概念致错例 1判断x y 4,
35、x 1,是否是二元一次方程组的解2x 3y 1y 3学习必备欢迎下载错解：把x 1,x 1,y 3代入方程组中第 1 个方程，左边=右边=4，所以是原方程组的y 3解剖析：二元一次方程组的解是指方程组中各个方程的公共解.错解忽视了对另一个方程的检验正解：将x 1,x 1y 3代入方程组中第 2 个方程，左边右边，则,不是第二个方程的y 3解所以x 1,y 3不是原方程组的解2.解法不当致错例 2解方程组：5x - 4y 85x - 2y 14错解：，得 5x4y5x2y=8-14. 解得 y=1.把 y=1 代入，得 5x4=8.解得 x=2.4.所以x 2.4,y 1.剖析：错解用减法消元时
36、，忘记将减式的每一项都改变符号，即等号左边为 5x4y5x2y=2y.正解：，得（5x4y）（5x2y）=814.整理，得 5x4y5x+2y =814.解得 y=3.把 y=3 代入，得 5x43=8.解得 x=4.所以x 4,y 3.例 3解方程组： 2x y 44x 3y 6错解：2，得 4x+y=8.，得2y=2.所以 y=1.把 y=-1 代入，得 2x+（1）=4.解得 x=2.5.所以x 2.5,y 1.学习必备欢迎下载剖析：方程组的两个方程中， 如果同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数， 那么应根据等式的基本性质用适当的数同时乘以方程的两边， 使同一个未知数的系数相等或互为
37、相反数，错解中漏乘了方程左边y 这项.正解：2，得（2x+y）2=42.整理，得 4x+2y=8.得y=2.所以 y=2.把 y=2 代入，得 2x+（2）=4.解得 x=3.所以x 3,y 2.3.等量关系运用不当致错例 4某学校现有学生总数 2300 人，与去年相比，学生的总数增加了 15%，其中男生比去年增加了 25%，女生比去年减少了 25%，则现有男、女生各多少人？错解：设现有男生 x 人，女生 y 人.根据题意，得x y 2300,(1 25%)x (1 25%) y 2300(115%).剖析：正确的等量关系应该是去年的人数=今年的人数（1+15%）.而不是去年的人数=今年的人数
38、（1-15%）.正解：设现有男生 x 人，女生 y 人.xy2300 ,根据题意，得yx2300(125%) (125%)(115%).解得x 2000,y 300.所以现有男、女生的人数分别是2000 人、300 人.方法点拨一、构造方程组解决问题例 1 方程 xm+1+ym+2n=b 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m=，n=.m 0,m11,解析：由题设和二元一次方程的定义得解得1n .m 2n 1.2学习必备欢迎下载3x 2,ax by 5,例 2若是方程组2的解，求 a+2b 的值.y 1ax by 23a b 5,解析：由题设和二元一次方程组解的定义，得2a b 2.，得 a+
39、2b=3.例 3若关于 x 的方程 m(2x+1)=n(x+5)+3(x-1)有无穷多个解，则(n-m)2011= .解析： 将原方程整理得 (2m-n-3)x=5n-m-3.因为原方程有无穷多个解，则有方程组2mn3 0,m 2,20112011解得所以(n-m)=（1-2）=-1.5nm3 0.n 1.二、方程组的特殊解法1.整体考虑6(x y)7(x y) 0,例 4解方程组：2(x y)5(x y) 1.解析：本题可将方程组化简，再根据方程组特点解方程组.但是注意到方程组中的所有未知项都是以（x+y） 、 （xy）的整体形式出现，所以考虑运用整体思想3 得 x+y=3.把代入，得 2(
40、xy)53=1.即 xy=7.由、联立方程组，得2.消常数项x y 7,x 5,解得x y 3.y 2.2x 3y 5,例 5解方程组：3x 2y 10.解析： 注意到方程组中的两个方程的常数项成倍数关系， 所以尝试消去常数项解方程组.2，得 x-4y=0.即 x=4y. 把代入，得 y=1.把 y=1 代入，得 x=4.所以x 4,y 1.3. 设参数法学习必备欢迎下载xyy 1.354xyy 1解析：设=k.354例 6解方程组：则 x=3k，y=5k，y-1=4k.所以 5k-1=4k，k=1. x=3，y=5.所以方程组解为x 3,y 5.跟踪训练x 2,1.写出一个以为解的二元一次方
41、程组y 32.已知 x、y 满足方程组2x y 5,则 xy 的值为_x2y 4,3.下列方程组中，与x 2y 5,的解不同的是（）2x 5y 7A.x 2y 5,4x 10y 14, B.2x 4y 102x 5y 7C.x 2y 5,x y 3, D.x 3y 22x 5y 74.解下列方程组：(1)x+2y=y x2x1；43m nm n1,23(2)m nm n 1.435.对于 x、y 定义一种新运算“*” ：x*y=ax+by，其中 a、b 为常数，等式右边是通常的加法学习必备欢迎下载和乘法运算.已知 3*5=15，4*7=28，求 1*1 的值.6.扬子江药业集团生产的某种药品包
42、装盒的侧面展开图如图所示 如果长方体盒子的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积二元一次方程组小结与复习跟踪训练13cm14cm高 宽长x y 1,1. 答案不唯一，如 2. 1 3.Dx y 57x ,m 51,234. (1)(2)5n 9.y ;235.由新定义的运算，可得3a 5b 15,a 35,解得所以 1*1=a+b=-35+24=-11.4a 7b 28.b 24.6.解：设这种药品包装盒的宽为x cm，高为 y cm.则长为(x+4) cm.根据题意，得2x2y 14,x 5,解得x42y 13.y 2.故长为 9 cm，宽为 5 cm，高为 2 cm体积 V=952=90（cm3） 所以这种药品包装盒的体积为90 cm3