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1、第一讲 函数、极限与连续一、考试要求1 理解函数的概念，驾驭函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。2理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3 理解复合函数及分段函数的概念，理解反函数及隐函数的概念。4 驾驭根本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。5 理解（理解）极限的概念，理解（理解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。6 驾驭（理解）极限的性质，驾驭四则运算法则。7 驾驭（理解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，驾驭（会）利用两个重要极 限求极限的方法。8 理解无穷小量、无穷大量的概念，驾驭无穷小量的比拟方法，会用等价无穷小量求极限。9 理解函
2、数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数连续点的类型10 理解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。11. 驾驭（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 留意，为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注：1、可导奇(偶)函数的导函数
3、为偶(奇)函数。特殊：若为偶函数且存在，则2、若为偶函数，则为奇函数； 若为奇函数，则为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。特殊：设以为周期且存在，则。4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数.5、设是以为周期的连续函数，则，6、 若为奇函数，则；若为偶函数，则7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、 极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3) 单侧极限: 1) 左右极限 2) 极限存在的充要条件： (4) 极限存在的准则 1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形 2) 单调有界数列必有极限(5)极限的根本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）
4、极限不等式 注：不成立2）部分保号性 则在某内3）部分有界性 则在某内有界。4） (6) 两类重要极限 (7) 无穷小量与无穷大量 1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （留意与无界变量的差异） 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比拟 (9) 罗比达法则 3、连续 1) 连续的定义 2) 区间上的连续函数 3) 连续点及其分类 4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理三、 * 重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1) 方法：用无穷小量乘有界变量 2） 方法：分或探讨. 2 、 特殊：若 3、 无穷小量的等价代换 若，则有 特殊留意： （ ， （
5、）， （），设，且，(1) (2) (3) (4) 若，则（0712）当时，与等价的无穷小量是（A） （B）（C） （D）4 、 若 由此有 5、极限的形式与关系（1）（2）（3），6、若，则 (i) (ii) 若，则 (i) (ii) 7、设在处连续，则（1）（2）（3）（4）不存在四、 典型题型与例题 题型一、 函数的概念和性质例1、设 ，则=（A） 0 （B） 1 （C） （D） 例2、对下列函数 （1） （2） （3） 在（0，1）内有界的有（ ）个 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3例3、（0434）函数在下列哪个区间内有界 （A）（-1，0） （B）（0，1） （C）
6、（1，2） （D）（2，3）例4、（0534）以下四个命题中正确的是（ ）（A） 若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（B） 若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（C） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界（D） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界例5、（051、2）设是连续函数的一个原函数，则必有（A）是偶函数是奇函数（B）是奇函数是偶函数（C）是周期函数是周期函数（D）是单调函数是单调函数题型二、 极限的概念和性质例6、 当时，是（A） 无穷小 （B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大例7、设对，总有，且，则 （A） 存在且等于0 （B）存在但
7、肯定不为0 （C）肯定不存在 （D）不肯定存在例8、已知在处连续，且，求 题型三、求函数的极限 根本思路：1、先化简 （1）约掉零因子（无穷因子） （2）提出极限不为零的因子 （3）根式有理化 （4）无穷小交换 （5）变量交换（尤其是倒代换）2、再用洛必达法则或其它求极限的方法3、上述步骤可重复进展 1、 常规方法：1) 运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应留意的问题例9、 求极限 例10、 求极限罗毕达法则1、或型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等）例11、求 例12、 求极限 例13、（042）求极限例14、（0734）
8、= 罗毕达法则2、 型型未定式有两种处理方法 或 例15、求例16、例17、（101）极限(A)1 . (B) . (C). (D). 【 】罗毕达法则3、其他类型1、型转化为型，用洛必达法则等2、3、型 (i) 通分 (ii) 变量交换（重点倒代换） 转化为型。4、不是未定式例18、求极限例19（0434）求2、变形方法： 1) 变量代换；2) 导数定义； 3) 泰勒公式; 特殊若f(x)二阶连续可导，则有 例20、 设f(x)连续， f(0)=0, f(0)0, 求 例21、 求下列极限(泰勒公式) ,例22、求法一、有理化，无穷小交换、洛必达法则法二、泰勒公式3、抽象函数例23、若，求。
9、题型四、 求数列的极限 思路：1、转化为函数的极限。2、数列用递推公式给出，可考虑单调有界原理。3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。1、 利用函数极限求数列的极限方法：1、 2、若例24、求2、 利用数列的收敛准则（1）、两个准则（2）、已知可导 1）若，则单调，且 2）若，则不单调（3）、若存在使得 ，则例25、设证明，并求其解。例26、设证明，并求其解。3、利用定积分定义(合适n项求和的情形) 思路：1、求出项和或积（积可转化为和），再求极限。 2、利用夹逼准则。 3、利用定积分的定义 4、利用已知级数的和。公式： 1） 2） 例27、等于（A
10、） （B） （C） （D）例28、求3、其他方法例29、（用级数收敛性）解：考虑级数 由于级数收敛，所以=0例30、（用中值定理）解：用拉格朗日中值定理（介与之间） =） 因此=题型五、反问题求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等命题方式：1、已知极限存在 2、已知无穷小阶的比拟 3、已知函数的连续性或连续点类型思路：1、将极限转化为 2、洛必达法则 3、泰勒公式例31、已知求的值例31、已知当时，是的高阶无穷小，求值例33、（022）已知在可导，且满意，求题型六、 无穷小量的比拟1、 驾驭低阶无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小等概念2、 当时，若，则例34、设函数则当时，是的（
11、A） 低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小例35、（0412）把时的无穷小 ，从高阶到低阶排列例36、设f(x)连续，且当x0时，F(x)=是与x3等价的无穷小量，则f(0)= .例37、（103）设f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)= , 则当x充分大时有 (A) g (x) h (x) f (x) . (B) h (x) g (x) f (x) . (C) f (x) g (x) h (x) . (D) g (x) f (x) h (x) . 【 】题型七、 推断函数的连续性与连续点的类型1、 初等函数在其有定义的区间内是连续的。2、 连续隐含的条件。3、 会推断函数的连续性（特殊是分段函数在分界点处的连续性，要考虑左右极限）。4、 会求函数的连续点，并能推断其类型。5、 闭区间上连续函数的性质。例38、设在处连续，求的值例39、设f(x)=，则f(x)有( ).(A) 两个第一类连续点(B) 三个第一类连续点(C) 两个第一类连续点和一个第二类连续点(D) 一个第一类连续点和一个第二类连续点例40、（103）函数的无穷连续点数为(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 【 】