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1、第五章 二次根式【学问网络】学问点一： 二次根式的概念形如的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必需留意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。学问点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。学问点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根，也就是说，是一个非负数，即0。注：因为二次根式表示a的算术平方根，而正数的
2、算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数，即0，这特性质也就是非负数的算术平方根的性质，和肯定值、偶次方类似。这特性质在解答题目时应用较多，如假设，那么00；假设，那么00；假设，那么00。学问点四：二次根式的性质文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，.学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值。注：1、化简时，肯定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身，即；假设a是负数，那么
3、等于a的相反数,即；2、中的a的取值范围可以是随意实数，即不管a取何值，肯定有意义；3、化简时，先将它化成，再依据肯定值的意义来进展化简。学问点六：及的异同点1、不同点：及表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但及都是非负数，即，。因此它的运算的结果是有差异的，而2、一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.学问点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1)运算结果应满意以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号.(2)留意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：2二次根式的
4、加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的本质；3二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的依次，即先乘方、开方，再乘除，最终算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算及整式、分式的混合运算有许多相像之处，整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速精确地进展二次根式的混合运算.1.明确运算依次，先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法那么及乘法公式仍旧适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，敏捷运用二次
5、根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法及乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进展乘法运算，二是进展加法运算，使难点分散，易于理解和驾驭.在运算过程中，对于各个根式不肯定要先化简，可以先乘除，进展约分，到达化简的目的，但最终结果肯定要化简.例如，没有必要先对进展化简，使计算繁琐，可以先依据乘法安排律进展乘法运算，通过约分到达化简目的；(2)多项式的乘法法那么及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进展二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式
6、的代数式相乘，假设它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：1互为有理化因式；2互为有理化因式；一般地互为有理化因式；3互为有理化因式；一般地互为有理化因式.专题总结及应用一、学问性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应依据题目的详细状况来确定应采纳的方法，不能一概而论，但一般状况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.解：，当91=0，即时，有最小值，最小值为3.【解题策略】解决此类问题肯定要娴熟驾驭二次根式的非负性
7、，即0a0.专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可依据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要依据详细状况对有关字母的取值范围进展探讨.例2 以下计算正确的选项是 分析 依据详细选项，应先进展化简，再计算. A选项中，B选假设可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.应选A. 例3 计算的结果是 分析 此题可逆用公式及平方差公式，将原式化为应选D.例4 书知.分析 此题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要留意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得【解题策略】 此题中所求字母x的取值必需使原代数式有意义.
8、例5 化简【解题策略】 此题应依据条件干脆进展化简，主要应用性质图21-8例6 实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简解：由a，b，c在数轴上的位置可知：【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进展化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进展化简.规律方法 对于无约束条件的化简问题须要分类探讨，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出肯定值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为假设干部分，即把实数集划分为假设干个集合，在每个集合中分别进展化简，简称“零点分区间法.例8 分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要
9、留意a，b的符号，此题中没明确告知，a，b的符号，但可从3，12中分析得到.解：3，12，a0，b0.【解题策略】 此题最简洁出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，干脆代入. 专题3 利用二次根式比较大小、进展计算或化简例9 估计+的运算结果应在 A. 6到7之间B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间分析 此题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 应选C.例10 m是的整数部分，n是的小数部分，求的值. 解：91316，即34的整数部分为3，即3，的小数部分为二、规律方法专题专题4 配方法【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简.例11 化简规律方法 一般地，对
10、于型的根式，可采纳视察法进展配方，即找出x，y(xy0)，使得，那么，于是，从而使得到化简.例12 假设a，b为实数，且，试求的值.分析 此题中依据可以求出a，b，对的被开方数进展配方、化简.解：由二次根式的性质得当【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进展化简时，要留意专题5 换元法【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13 计算解：令，两边同时平方得：x2=+2=10专题6 代入法【专题解读】 通过代入求代数式的值.例14 专题7 约分法【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简三、思想方法专题
11、专题8 类比思想【专题解读】 类比是依据两对象都具有一些一样或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有及该对象一样或相像的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式=1+2=3. 2原式=32+2=2+4.【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】 当问题比较困难难于解决时，一般应实行转化思想，化繁为简，化难为
12、易，本章在探讨二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等学问加以解决. 例18 函数中，自变量x的取值范围是 .分析 此题比较简洁，主要考察函数自变量的取值范围的求法，此题中是二次根式，所以被开方数240,所以x2.故填x2.例19 如图21-9所示的是一个简洁的数值运算程序，假设输入x的值为，那么输出的数值为 .图21-9分析 此题比较简洁，依据程序给定的运算依次将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知2-1=2.故填2.专题10 分类探讨思想【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种状况时，应进展分类探讨.本意在运用公式进展化简时，假设字母的取值范
13、围不确定，应进展分类探讨.例20 假设化简的结果为，那么x的取值范围是 A. x为随意实数 B. 1x4C. x1 D. x4分析 由题意可知，由此可知，且，由肯定值的意义可知，且，所以的取值范围是.应选B.【解题策略】 对和形式的式子的化简都应分类探讨.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7，5和3的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短途径的长是多少？分析 这是一个求最短途径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类探讨各种方法，进而确定最正确方案.解：沿前、右两个面爬，途
14、径长为().图21-10沿前、上两个面爬，途径长为().沿左、上两个面爬，途径长为().所以它要爬行的最短途径长为.规律方法 沿外表从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路途，每个路途长分别是它爬行两个绽开图的对角线的长.二次根式单元测试题一推断题：每题1分，共5分1222的倒数是234、是同类二次根式5，都不是最简二次根式二填空题：每题2分，共20分6当时，式子有意义7化简 8a的有理化因式是9当1x4时，4|10方程x1x1的解是11a、b、c为正数，d为负数，化简12比较大小：13化简：(75)2000(75)200114假设0，那么(x1)2(y3)215x，y分别为8的整数
15、部分和小数部分，那么2y2三选择题：每题3分，共15分16x，那么Ax0Bx3Cx3D3x017假设xy0，那么A2xB2yC2xD2y18假设0x1，那么等于ABC2xD2x19化简a0得ABCD20当a0，b0时，a2b可变形为ABCD四计算题：每题6分，共24分21；22 ；23 a2a2b2；24 ab五求值：每题7分，共14分25x，y，求的值x1时，求的值六、 解答题：每题8分，共16分27.计算2128. 假设x，y为实数，且y求的值一推断题：每题1分，共5分1、【提示】|2|2【答案】2、【提示】2【答案】3、【提示】1|，x1x1两式相等，必需x1但等式左边x可取任何数【答案
16、】4、【提示】、化成最简二次根式后再推断【答案】5、是最简二次根式【答案】二填空题：每题2分，共20分6、【提示】何时有意义？x0分式何时有意义？分母不等于零【答案】x0且x97、【答案】2a【点评】留意除法法那么和积的算术平方根性质的运用8、 【提示】aa2a【答案】a9、【提示】x22x12，x1当1x4时，x4，x1是正数还是负数？x4是负数，x1是正数【答案】310、【提示】把方程整理成b的形式后，a、b分别是多少？，【答案】x3211、【提示】【答案】【点评】0，c2d212、【提示】2，4【答案】【点评】先比较，的大小，再比较，的大小，最终比较及的大小13、【提示】(75)2001
17、(75)2000757575？1【答案】75【点评】留意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式14、【答案】40【点评】0，0当0时，x10，y3015、【提示】34，84，5由于8介于4及5之间，那么其整数部分x？小数部分y？x4，y4【答案】5【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进展估算在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了三选择题：每题3分，共15分16、【答案】D【点评】此题考察积的算术平方根性质成立的条件，A、C不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义17、【提示】xy0，xy0，xy0yxxy【答案】C【点评】此题考察二次根式的性质
18、18、【提示】(x)24(x)2，(x)24(x)2又0x1，x0，x0【答案】D【点评】此题考察完全平方公式和二次根式的性质A不正确是因为用性质时没有留意当0x1时，x019、【提示】a【答案】C20、【提示】a0，b0，a0，b0并且a，b，【答案】C【点评】此题考察逆向运用公式aa0和完全平方公式留意A、B不正确是因为a0，b0时，、都没有意义四计算题：每题6分，共24分21、【提示】将看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式【解】原式()252326222、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式【解】原式43123、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法安排律绽开，最终合并同
19、类二次根式【解】原式a224、【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分【解】原式【点评】此题假如先分母有理化，那么计算较烦琐五求值：每题7分，共14分25、【提示】先将条件化简，再将分式化简最终将条件代入求值【解】x52，y52xy10，xy4，52(2)21【点评】此题将x、y化简后，依据解题的须要，先分别求出“xy、“xy、“从而使求值的过程更简捷26、【提示】留意：x2a2，x2a2xx，x2xxx【解】原式=当x1时，原式1【点评】此题假如将前两个“分式分拆成两个“分式之差，那么化简会更简便即原式六、解答题：每题8分，共16分27、【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算【解】原式212121921【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不行能通分这里采纳的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消这种方法也叫做裂项相消法28、【提示】要使y有意义，必需满意什么条件？你能求出x，y的值吗？【解】要使y有意义，必需，即x当x时，y又x，y，原式2当x，y时，原式2【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值