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第五章 二次根式
【知识网络】
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2)注意知道每一步运算的算理；
(3)乘法公式的推广：
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；
3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.
如：，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.
4．分母有理化
把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用的二次根式的有理化因式：
（1）互为有理化因式；
（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；
（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 二次根式的最值问题
【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.
例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？
分析 由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.
解：∵
∴，
∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.
【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.
专题2 二次根式的化简及混合运算
【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.
例2 下列计算正确的是 （ ）
分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，
B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A.
例3 计算的结果是 （ ）
分析 本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为
故选D.
例4 书知.
分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.
解：由二次根式的定义及分式性质，得
【解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.
例5 化简
【解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质
图21-8
例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简
解：由a，b，c在数轴上的位置可知：
【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.
规律方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
例8 已知
分析 这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.
解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.
【解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.
专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简
例9 估计+的运算结果应在 （ ）
A. 6到7之间 B. 7到8之间
C. 8到9之间 D. 9到10之间
分析 本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即. 故选C.
例10 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值.
解：∵9＜13＜16，
∴＜＜，即3＜＜4
∴的整数部分为3，即m=3，
∴的小数部分为
∴
二、规律方法专题
专题4 配方法
【专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简.
例11 化简
规律方法 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是
，从而使得到化简.
例12 若a，b为实数，且b=，试求的值.
分析 本题中根据b=可以求出a，b，对
的被开方数进行配方、化简.
解：由二次根式的性质得
当
【解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意
专题5 换元法
【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.
例13 计算
解：令x=，两边同时平方得：
∴x2=（）（）+2=10
专题6 代入法
【专题解读】 通过代入求代数式的值.
例14 已知
专题7 约分法
【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.
例15 化简
例16 化简
三、思想方法专题
专题8 类比思想
【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.
例17 计算.
解：（1）原式=（1+2）=3.
（2）原式=3-+2+2=2+4.
【解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.
专题9 转化思想
【专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.
例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 .
分析 本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.
例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为 .
图21-9
分析 本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知（）2-1=2.故填2.
专题10 分类讨论思想
【专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.
例20 若化简的结果为，则x的取值范围是 （ ）
A. x为任意实数 B. 1≤x≤4
C. x≥1 D. x≤4
分析 由题意可知，由此可知，且，由绝对值的意义可知，且，所以的取值范围是.故选B.
【解题策略】 对和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.
例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？
分析 这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案.
解：沿前、右两个面爬，路径长为(cm).
图21-10
沿前、上两个面爬，路径长为(cm).
沿左、上两个面爬，路径长为(cm).
所以它要爬行的最短路径长为cm.
规律方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.
二次根式单元测试题
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1．＝－2．…………………（ ）
2．－2的倒数是＋2．（ ）
3．＝．…（ ）
4．、、是同类二次根式．…（ ）
5．，，都不是最简二次根式．（ ）
（二）填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x__________时，式子有意义．
7．化简－＝ ．
8．a－的有理化因式是____________．
9．当1＜x＜4时，|x－4|＋＝________________．
10．方程（x－1）＝x＋1的解是____________．
11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．
12．比较大小：－_________－．
13．化简：(7－5)2000(－7－5)2001＝______________．
14．若＋＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．
15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．
（三）选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知＝－x，则………………（ ）
（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0
17．若x＜y＜0，则＋＝………………………（ ）
（A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y
18．若0＜x＜1，则－等于………………………（ ）
（A） （B）－ （C）－2x （D）2x
19．化简a＜0得………………………………………………………………（ ）
（A） （B）－ （C）－ （D）
20．当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形为………………………………………（ ）
（A） （B）－ （C） （D）
（四）计算题：（每小题6分，共24分）
21．（）（）；
22． －－；
23． （a2－＋）a2b2；
24． （＋）（＋－）（a≠b）．
（五）求值：（每小题7分，共14分）
25．已知x＝，y＝，求的值．
26.当x＝1－时，求＋＋的值．
六、 解答题：（每小题8分，共16分）
27.计算（2＋1）（＋＋＋…＋）．
28. 若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1、【提示】＝|－2|＝2．【答案】．
2、【提示】＝＝－（＋2）．【答案】．
3、【提示】＝|x－1|，＝x－1（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】．
4、【提示】、化成最简二次根式后再判断．【答案】√．
5、是最简二次根式．【答案】．
（二）填空题：（每小题2分，共20分）
6、【提示】何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．
7、【答案】－2a．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．
8、 【提示】（a－）（________）＝a2－．a＋．【答案】a＋．
9、【提示】x2－2x＋1＝（ ）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？
x－4是负数，x－1是正数．【答案】3．
10、【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？，．【答案】x＝3＋2．
11、【提示】＝|cd|＝－cd．
【答案】＋cd．【点评】∵ ab＝（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（）（）．
12、【提示】2＝，4＝．
【答案】＜．【点评】先比较，的大小，再比较，的大小，最后比较－与－的大小．
13、【提示】(－7－5)2001＝(－7－5)2000（_________）[－7－5．]
（7－5）（－7－5）＝？[1．]【答案】－7－5．
【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式．
14、【答案】40．
【点评】≥0，≥0．当＋＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．
15、【提示】∵ 3＜＜4，∴ _______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－]【答案】5．
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．
（三）选择题：（每小题3分，共15分）
16、【答案】D．
【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A）、（C）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．
17、【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．
∴ ＝＝|x－y|＝y－x．
＝＝|x＋y|＝－x－y．【答案】C．
【点评】本题考查二次根式的性质＝|a|．
18、【提示】(x－)2＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1，
∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】D．
【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－＜0．
19、【提示】＝＝＝|a|＝－a．【答案】C．
20、【提示】∵ a＜0，b＜0，
∴ －a＞0，－b＞0．并且－a＝，－b＝，＝．
【答案】C．【点评】本题考查逆向运用公式＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（A）、（B）不正确是因为a＜0，b＜0时，、都没有意义．
（四）计算题：（每小题6分，共24分）
21、【提示】将看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．
【解】原式＝()2－＝5－2＋3－2＝6－2．
22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝－－＝4＋－－－3＋＝1．
23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a2－＋）
＝－＋
＝－＋＝．
24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝
＝
＝＝－．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（五）求值：（每小题7分，共14分）
25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．
【解】∵ x＝＝＝5＋2，
y＝＝＝5－2．
∴ x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－(2)2＝1．
＝＝＝＝．
【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．
26、【提示】注意：x2＋a2＝，
∴ x2＋a2－x＝（－x），x2－x＝－x（－x）．
【解】原式＝－＋
＝
＝=＝
＝．当x＝1－时，原式＝＝－1－．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－＋
＝－＋＝．
六、解答题：（每小题8分，共16分）
27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（2＋1）（＋＋＋…＋）
＝（2＋1）[（）＋（）＋（）＋…＋（）]
＝（2＋1）（）
＝9（2＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
28、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？你能求出x，y的值吗？
【解】要使y有意义，必须，即∴ x＝．当x＝时，y＝．
又∵ －＝－
＝||－||∵ x＝，y＝，∴ ＜．
∴ 原式＝－＝2当x＝，y＝时，
原式＝2＝．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值．
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