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1、第十一章 算法初步及框图一、学问网络算法初步算法与程序框图算法语句算法案例算法概念框图的逻辑构造输入语句赋值语句循环语句条件语句输出语句依次构造循环构造条件构造第一节 算法及程序框图学问回忆1算法的概念：算法通常是指按肯定规那么解决某一类问题的明确和有限的步骤2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.程序框图的三种根本逻辑构造是依次构造、条件构造、循环构造4.算法的描绘方式有：自然语言、程序框图、程序语言5.算法的根本特征：明确性：算法的每一步执行什么是明确的；依次性：算法的“前一步是“后一步的前提， “后一步是“前一步的接着；有限性：算法必需在有限步内完成
2、任务，不能无限制的持续进展；通用性：算法应能解决某一类问题.典例精析例1.如下图是一个算法的程序框图，那么该程序框图所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着推断a,b的大小,假设b小，那么把b赋给a,否那么执行下一步，即推断a及c的大小，假设c小，那么把c赋给a, 否那么执行下一步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值.评注: 求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.例2.以下程序框图表示的算法功能是 1计算小于100的奇数的连乘积2计算从1开始的连续奇数的连乘积3计算
3、从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数4计算成立时的最小值解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程序框图中含有当型的循环构造,故分析每一次循环的状况,列表如下:第一次:；第二次:；第三次:,此时不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使成立时的最小值.选D.评注:通过列表,我们能清晰理解程序的每一步中的各个变量是怎样改变的,这正是程序运行的本质所在.此题假设要求编写求使成立时的最小值的程序框图或程序时,很简单弄错输出的结果，应留意.例3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客假如购置5张以上含5张唱片，那
4、么按九折收费，假如购置10张以上含10张唱片，那么按八折收费，请设计算法步骤并画出程序框图，要求输入张数x，输出实际收费y(元).分析:先写出及之间的函数关系式，有，再利用条件构造画程序框图解：算法步骤如下:第一步，输入购置的张数,第二步，推断是否小于5，假设是，计算；否那么，推断是否小于10，假设是，计算；否那么，计算.第三步，输出. 程序框图如下:评注:凡必需先根据条件做出推断，然后再确定进展哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必需引入推断框，采纳条件构造设计算法.假如变量分三级(或以上)时,就须要用到条件构造的嵌套,不能无视结果中“是、“否的书写，否那么不知道执行哪一条途径.一般地,分段的
5、分段函数,须要引入个推断框.条件构造有以下两种根本类型.否是输出X否例4.画出求的值的程序框图.分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进展了一样的运算,故应用循环构造进展算法设计.解:程序框图如下:(1)当型循环(2)直到型循环评注: (1) 解题关键是选择好计数变量和累加变量的初始值,并写出用表示的数列的通项公式是 ；(2)循环构造主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环构造中,要留意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特殊要留意循环构造中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环.3循环构造分为两类：一类是当型循环构造
6、，如下左图所示；另一类是直到型循环构造，如下右图所示. 变式训练画出求的值的程序框图.解：程序框图如下:例5.某工厂2005年的消费总值为200万元，技术改进后预料以后后每年的年消费总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图，输出预期年消费总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年消费总值的和.分析:本例可用循环构造来实现. (1) 确定“循环体:设a为某年的年消费总值,n为年份,S为年产值的总和,那么循环体为(2)初始化变量:n的初始值为2005,a的初始值为200,S的初始值为0.(3)设定循环限制条件:解: 程序框图如下:评注:本问题的关健是设计好循环体,留意及
7、放在之后,那么输出时须重新赋值，否那么的值为超过300万的年份的下一年.此题也可用当型循环构造来表示.变式训练：设计一个程序框图，求使的最小的值，并输出此时的值.解：程序框图如下：根底自测一、选择题1以下说法正确的选项是 A算法就是某个问题的解题过程；B算法执行后可以产生不同的结果；C解决某一个详细问题算法不同结果不同；D算法执行步骤的次数不行以很大，否那么无法施行1解析：选项A ，算法不能等同于解法；选项B，例如：推断一个正整数是否为质数，结果为“是质数和“不是质数两种；选项C，解决某一个详细问题算法不同结果应当一样，否那么算法构造的有问题；选项D，算法可以为很屡次，但不行以无限次2、如下图
8、的程序框图中，那么第3个输出的数是( ) A1 B. C.2 D. 2.解析：前3个分别输出的数是1，2.应选C.开始完毕是否输出3如图给出的是求的值的一个程序框图，其中推断框内应填入的条件是 A.i10 B.i20 D.i10？选4.阅读右边的程序框图，假设输入的是100，那么输出的变量和的值依次是 A2550，2500B2550，2550C2500，2500D2500，25504.解析：根据框图可得，.选A. 52006年1月份开始施行的个人所得税法规定：全月总收入不超过元的免征个人工资、薪金所得税，超过元部分需征税设全月总收入金额为元，前三级税率如下左表所示：级数全月应纳税金额税率1不超
9、过元部分5%2超过至元部分10%3超过至元部分15%开始完毕输入x输出0输出输出0x16001600x21002100，等于=，小于=，小于等于=，不等于.常用函数：肯定值ABS，平方根SQR，取整INT.1辗转相除法和更相减损术辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法.1辗转相除法就是对于给定的两个正整数，用大数除以小数，假设余数不为0，那么将小数和余数构成新的一对数，接着上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，那么这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.2更相减损术就是对于给定的两个正整数，假设它们都是偶数，那么将它们反复除以2(假设进展了k次)，直到它们至少有一个
10、不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，接着上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数再乘以原来约简的即为所求两数的最大公约数.2秦九韶算法秦九韶算法是求多项式值的优秀算法.设，改写为如下形式：设这样求n次多项式的值就转化为求n个一次多项式的值.当多项式中有些项不存在时，可将这几项看做，补齐后再利用秦九韶算法进展计算.对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法运算即可.3进位制K进制数的基数为k，k进制数是由之间的数字构成的.将十进制的数转化为k进制数的方法是除k取余法.典例精析例1写出用循环语句描绘求的值的算法程序.解：算法程序如下：1当型循环2直到型
11、循环 评注: 在编写算法的程序时，可先画出程序框图，抓住程序框图表示算法这个核心.留意分别用当型循环和直到型循环语句编写的程序中，循环条件的区分及联络. 例2、某市对排污水进展综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量吨收取的污水处理费元，运行程序如下所示：请写出y及m的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用.解： 这个程序反映的是一个分段函数因为所以，故该厂应缴纳污水处理费1400元.评注: 解决分段函数要用条件语句来处理.此题可画出程序框图扶植理解.例3求三个数72,120,168的最大公约数.解法1:用辗转相除法先求120,168的最大公约数,因为所以120,168的
12、最大公约数是24.再求72,24的最大公约数,因为,所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.解法2:用更相减损术先求120,168的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数,72-24=48，48-24=2472,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.评注: 辗转相除法及更相减损术均是求两个正整数的最大公约数的方法,要理解和驾驭它们的操作步骤.变式:试写出求正整数的最小公倍数的算法程序.解:或例4.用秦九韶算法求多项式在
13、时的值.分析：先改写多项式，再由内向外计算.评注: 用秦九韶算法求多项式值,关健是正确将多项式改写,然后由内向外计算求得.此题也可简写为下式：例5.完成以下进制的转化解: (2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的8进制表示所以评注:将进制的数转化为进制的数的方法是先将进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为进制的数.变式训练：下面是把二进制数化为十进制数的一个程序框图,推断框内应填入的条件是( )解: ,故推断框内应填入的条件.选C. 根底自测一、选择题1以下给出的赋值语句中正确的选项是 A B C D 1. 解析:赋值语句的功能.选 B 2 当时
14、，下面的程序输出的结果是 ( )A B C D 2解析： . 选 C 3运行以下程序：当输入56，42时，输出的结果是56 42 84 143.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数的最大公约数，应选D4下边程序运行后输出的结果为( ) A B C D 4.解析:.选 D 二、填空题5 三个数的最大公约数是_ 5 解析:.填6.阅读以下程序:当程序输入值为123时,问运行的结果是_.6.解析:算术运算符和MOD分别用取商和余数.该程序的功能是把一个三位数各位上的数字颠倒过来.所以运行的结果是321.7n次多项式，假如在一种算法中，计算k2，3，4，n的值须要k1次乘法，计算的值共须要9次运算6次乘法，3次加法，那么计算的值共须要 次运算.下面给出一种削减运算次数的算法：k0， 1，2，n1利用该算法，计算的值共须要6次运算，计算的值共须要 次运算.7解析：秦九韶算法适用一般的多项式的求值问题.干脆法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数削减到最多n次，加法最多n次.答案：65；20.8下面程序运行后输出的结果为_ 8解析: 22，-22三、解答题9.用秦九韶算法求多项式在时的值.10设计程序，求出满意的最小的正整数n.10解：11假设,试推断的大小关系，并将化为7进制的数.6.解析: