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1、1.2021卷设函数 f(x)=5|x+a|x2| 1 当 a=1 时，求不等式 f(x)0 的解集； 2假设 f(x)1 ，求 a 的取值范围 2.2021辽宁函数fx=|xa|，其中a1 1当a=2时，求不等式fx4|x4|的解集； 2关于x的不等式|f2x+a2fx|2的解集x|1x2，求a的值 3.2021新课标选修4-5：不等式选讲函数fx=|x+1|x2|求不等式fx1的解集；假设不等式fxx2x+m的解集非空，求m的取值范围 4.2021新课标选修4-5：不等式选讲a0，b0，a3+b3=2，证明：a+ba5+b54；a+b2 5.2021新课标卷选修4-5：不等式选讲函数fx=
2、x2+ax+4，gx=|x+1|+|x1|10分 1当a=1时，求不等式fxgx的解集； 2假设不等式fxgx的解集包含1，1，求a的取值范围 6.2021新课标选修4-5：不等式选讲a0，b0，a3+b3=2，证明：a+ba5+b54；a+b2 7.2021卷 f(x)=|x+1|ax1| 1当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集 2假设 x(0,1) 时，不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围 8.2021卷f(x)=|x+1|-|ax-1| 1当a=1时,求不等式f(x)1的解集 2假设x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围 9.2021新课标选修4-5：不等式选
3、讲函数fx=|x+1|x2| 1求不等式fx1的解集； 2假设不等式fxx2x+m的解集非空，求m的取值范围 10.2021新课标II设函数fx=|x+ 1a |+|xa|a0 1证明：fx2； 2假设f35，求a的取值范围 11.2021 福建)选修4-5：不等式选讲a0,b0,c0,，函数fx=x+a+x-b+c的最小值为4 1求a+b+c的值； 2求14a2+19b2+c2的最小值 12.2021新课标I假设a0，b0，且 1a + 1b = ab 1求a3+b3的最小值； 2是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由 13.2021新课标函数fx=lnx+ax2+2a+1x12分
4、1探讨fx的单调性； 2当a0时，证明fx 34a 2 14.2021新课标函数fx=x1alnx假设 fx0，求a的值；设m为整数，且对于随意正整数n，1+ 12 1+ 122 1+ 12n m，求m的最小值 15.2021卷设函数 f(x)=|2x+1|+|x1|1画出 y=f(x) 的图像 2当 x0,+) 时， f(x)ax+b ，求 a+b 的最小值。 16.2021福建设不等式|x2|aaN*的解集为A，且 32A,12A 1求a的值 2求函数fx=|x+a|+|x2|的最小值 17.2021新课标选修45：不等式选讲 函数fx=|2x1|+|2x+a|，gx=x+3 1当a=2时
5、，求不等式fxgx的解集； 2设a1，且当 xa2,12) 时，fxgx，求a的取值范围 18.2021全国选修45：不等式选讲函数f(x)= x- 12 +x+ 12 ，M为不等式f(x) 2的解集. 1求M； 2证明：当a,bM时，a+b1+ab。 19.2021全国选修4-5：不等式选讲函数fx=|2xa|+a 1当a=2时，求不等式fx6的解集； 2设函数gx=|2x1|，当xR时，fx+gx3，求a的取值范围 20.2021新课标函数fx=|x+a|+|x2| 1当a=3时，求不等式fx3的解集； 2假设fx|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围 21.2021辽宁选修45：不等式
6、选讲fx=|ax+1|aR，不等式fx3的解集为x|2x1 1求a的值； 2假设 |f(x)2f(x2)|k 恒成立，求k的取值范围 答案解析部分一、解答题1.【答案】1a=1时，时，由 f（x）=62x,x22,1x24+2x,x1当x2时，由fx0得：6-2x0，解得：x3；当-1xx时，fx0；当x-1时，由fx0得：4+2x0，解得x-2所以fx0的解集为x|-2x32假设fx1，即 5|x+a|x2|1 恒成立也就是xR， |x+a|+|x2|4 恒成立|x+a|+|x2|a+2|当x=2时取等，所以xR， |x+a|+|x2|4 等价于 |a+2|4解得：a2或a-6所以a的取值范
7、围(-，-6 2，+ 【解析】【分析】1由肯定值不等式的解法易得；2由肯定值几何意义转化易得.2.【答案】1解：当a=2时，fx4|x4|可化为|x2|+|x4|4， 当x2时，得2x+64，解得x1；当2x4时，得24，无解；当x4时，得2x64，解得x5；故不等式的解集为x|x5或x12解：设hx=f2x+a2fx，那么hx= 由|hx|2得 ，又关于x的不等式|f2x+a2fx|2的解集x|1x2，所以 ，故a=3 【解析】【分析】1当a=2时，fx4|x4|可化为|x2|+|x4|4，干脆求出不等式|x2|+|x4|4的解集即可2设hx=f2x+a2fx，那么hx= 2a,x04x2a
8、,0xa2a,xa 由|hx|2解得 a12xa+12 ，它与1x2等价，然后求出a的值3.【答案】解：fx=|x+1|x2|= 3，x2 ，fx1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式fx1的解集为x|x1原式等价于存在xR使得fxx2+xm成立，即mfxx2+xmax ， 设gx=fxx2+x由1知，gx= x2+x3，x1x2+3x1，1x2x2+x+3，x2 ，当x1时，gx=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 1，gxg1=113=5；当1x2时，gx=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= 32 1，2，gxg 32 = 94
9、 + 92 1= 54 ；当x2时，gx=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 2，gxg2=4+2=3=1；综上，gxmax= 54 ，m的取值范围为， 54 【解析】【分析】由于fx=|x+1|x2|= 3，x2 ，解不等式fx1可分1x2与x2两类探讨即可解得不等式fx1的解集；依题意可得mfxx2+xmax ， 设gx=fxx2+x，分x1、1x2、x2三类探讨，可求得gxmax= 54 ，从而可得m的取值范围4.【答案】证明：由柯西不等式得：a+ba5+b5 aa5 + bb5 2=a3+b324，当且仅当 ab5 = ba5 ，即a=b=1时取等号，a3+b3=2，a+
10、ba2ab+b2=2，a+ba+b23ab=2，a+b33aba+b=2， (a+b)323(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab a+b2 2 ， a+b32 3(a+b)34 ， 14 a+b32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立 【解析】【分析】由柯西不等式即可证明，由a3+b3=2转化为 (a+b)323(a+b) =ab，再由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab a+b2 2 ， 即可得到 14 a+b32，问题得以证明5.【答案】1解：1当a=1时，fx=x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 12 的二次函数，gx=|x+
11、1|+|x1|= 2x，x12，1x12x，x12，1x12x，x1 ，分x1、x1，1、x，1三类探讨，结合gx与fx的单调性质即可求得fxgx的解集为1， 1712 ；2.依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立x2ax20在1，1恒成立，只需 12a120(1)2a(1)20 ，解之即可得a的取值范围6.【答案】证明：由柯西不等式得：a+ba5+b5 aa5 + bb5 2=a3+b324，当且仅当 ab5 = ba5 ，即a=b=1时取等号，a3+b3=2，a+ba2ab+b2=2，a+ba+b23ab=2，a+b33aba+b=2， (a+b)323(a+b) =ab，由均值不等式可
12、得： (a+b)323(a+b) =ab a+b2 2 ， a+b32 3(a+b)34 ， 14 a+b32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立 【解析】【分析】由柯西不等式即可证明，由a3+b3=2转化为 (a+b)323(a+b) =ab，再由均值不等式可得： (a+b)323(a+b) =ab a+b2 2 ， 即可得到 14 (a+b)32，问题得以证明7.【答案】1解：当 a=1 时， f(x)=|x+1|x1| ，即 f(x)=2,x1,2x,1x1 的解集为 x|x12 2解：当 x(0,1) 时 |x+1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1) 时 |ax1|0 ， |a
13、x1|1 的解集为 0x2a ，所以 2a1 ，故 00对于 x(0,1) 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.8.【答案】1解：当a=1时， f(x)2,x12x,1x12,x1当 x1 时，-21舍当 1x12 x(12,1当 x1 时，21,成立，综上所述 f(x)1 结果为 (12,+)2解： x(0,1) f(x)=x+1|ax1|x|ax1|10ax2ax0a0.ax2 a0对于 x(0,1) 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.9.【答案】1解：fx=|x+1|x2|= 3，x2 ，fx1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时
14、，31恒成立，故x2；综上，不等式fx1的解集为x|x12原式等价于存在xR使得fxx2+xm成立，即mfxx2+xmax ， 设gx=fxx2+x由1知，gx= x2+x3，x1x2+3x1，1x2x2+x+3，x2 ，当x1时，gx=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 1，gxg1=113=5；当1x2时，gx=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= 32 1，2，gxg 32 = 94 + 92 1= 54 ；当x2时，gx=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 2，gxg2=4+2=3=1；综上，gxmax= 54 ，m的取值范围为， 54 【解析】【分析】
15、1.由于fx=|x+1|x2|= 3，x2 ，解不等式fx1可分1x2与x2两类探讨即可解得不等式fx1的解集；2.依题意可得mfxx2+xmax ， 设gx=fxx2+x，分x1、1x2、x2三类探讨，可求得gxmax= 54 ，从而可得m的取值范围10.【答案】1解：证明：a0，fx=|x+ |+|xa|x+ xa|=|a+ |=a+ 2 =2， 故不等式fx2成立2解：f3=|3+ |+|3a|5， 当a3时，不等式即a+ 5，即a25a+10，解得3a 当0a3时，不等式即 6a+ 5，即 a2a10，求得 a3综上可得，a的取值范围 ， 【解析】【分析】1由a0，fx=|x+ 1a
16、|+|xa|，利用肯定值三角不等式、根本不等式证得fx2成立2由f3=|3+ 1a |+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种状况，分别去掉肯定值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求11.【答案】14287 【解析】【解答】fx=x+a+x+b+cx+a-x+b+c=a+b+c,当且仅当-axb时，等号成立，又a0,b0,所以a+b=a+b,所以fx的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4.a+b+c=4，由柯西不等式得14a2+19b2+c24+9+1a22+b33+c12=a+b+c2=16,即14a2+19b2+c287.d当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=
17、27时，等号成立所以14a2+19b2+c2的最小值为87.【分析】当x的系数相等或相反时，可以利用肯定值不等式求解析式形如fx=x+a+x+b的函数的最小值，以及解析式形如fx=x+a-x+b的函数的最小值和最大值，否那么去肯定号，利用分段函数的图象求最值利用柯西不等式求最值时，要留意其公式的特征，以出现定值为目的12.【答案】1解：a0，b0，且 + = ， = + 2 ，ab2，当且仅当a=b= 时取等号a3+b32 2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，a3+b3的最小值为4 2解：2a+3b2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号 而由1可知，2 2 =4 6，故不存在a，b，使得
18、2a+3b=6成立 【解析】【分析】1由条件利用根本不等式求得ab2，再利用根本不等式求得a3+b3的最小值2依据 ab4及根本不等式求的2a+3b8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=613.【答案】1解：因为fx=lnx+ax2+2a+1x，求导fx= 1x +2ax+2a+1= 2ax2+(2a+1)x+1x = (2ax+1)(x+1)x ，x0，当a=0时，fx= 1x +10恒成立，此时y=fx在0，+上单调递增；当a0，由于x0，所以2ax+1x+10恒成立，此时y=fx在0，+上单调递增；当a0时，令fx=0，解得：x= 12a 因为当x0， 12a 时，fx0、当x 12
19、a ，+时，fx0，所以y=fx在0， 12a 上单调递增、在 12a ，+上单调递减综上可知：当a0时fx在0，+上单调递增，当a0时，fx在0， 12a 上单调递增、在 12a ，+上单调递减；2证明：由1可知：当a0时fx在0， 12a 上单调递增、在 12a ，+上单调递减，所以当x= 12a 时函数y=fx取最大值fxmax=f 12a =1ln2 14a +ln 1a 从而要证fx 34a 2，即证f 12a 34a 2，即证1ln2 14a +ln 1a 34a 2，即证 12 1a +ln 1a 1+ln2令t= 1a ，那么t0，问题转化为证明： 12 t+lnt1+ln2*
20、令gt= 12 t+lnt，那么gt= 12 + 1t ，令gt=0可知t=2，那么当0t2时gt0，当t2时gt0，所以y=gt在0，2上单调递增、在2，+上单调递减，即gtg2= 12 2+ln2=1+ln2，即*式成立，所以当a0时，fx 34a 2成立 【解析】【分析】1.题干求导可知fx= (2ax+1)(x+1)x x0，分a=0、a0、a0三种状况探讨fx与0的大小关系可得结论；2.通过1可知fxmax=f 12a =1ln2 14a +ln 1a ，进而转化可知问题转化为证明：当t0时 12 t+lnt1+ln2进而令gt= 12 t+lnt，利用导数求出y=gt的最大值即可1
21、4.【答案】解：因为函数fx=x1alnx，x0，所以fx=1 ax = xax ，且f1=0所以当a0时fx0恒成立，此时y=fx在0，+上单调递增，所以在0,1上f(x)0,这与fx0冲突；当a0时令fx=0，解得x=a，所以y=fx在0，a上单调递减，在a，+上单调递增，即fxmin=fa，又因为fxmin=fa0，所以a=1；由可知当a=1时fx=x1lnx0，即lnxx1，所以lnx+1x当且仅当x=0时取等号，所以ln1+ 12k 12k ，kN*,所以1+12ke12k ，kN* 一方面，因为 12 + 122 + 12n =1 12n 1，所以，1+ 12 1+ 122 1+
22、12n e；另一方面，1+ 12 1+ 122 1+ 12n 1+ 12 1+ 122 1+ 123 = 13564 2，同时当n3时，1+ 12 1+ 122 1+ 12n 2，e因为m为整数，且对于随意正整数n1+ 12 1+ 122 1+ 12n m，所以m的最小值为3 【解析】【分析】通过对函数fx=x1alnxx0求导，分a0、a0两种状况考虑导函数fx与0的大小关系可得结论；通过可知lnxx1，进而取特别值可知ln1+ 12k 12k ，kN* 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知1+ 12 1+ 122 1+ 12n e；另一方面可知1+ 12 1+ 122 1+ 12n 2，且
23、当n3时，1+ 12 1+ 122 1+ 12n 2，e15.【答案】1解： f(x)=3x,x12解：由1中可得：a3，b2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，所以a+b的最小值为5. 【解析】【分析】1画图像，分段函数;2转化为一次函数分析.16.【答案】1解：因为 ， 所以 且 ，解得 ，因为aN* ， 所以a的值为12解：由1可知函数fx=|x+1|+|x2|x+1x2|=3， 当且仅当x+1x20，即x2或x1时取等号，所以函数fx的最小值为3 【解析】【分析】1利用 32A,12A ，推出关于a的肯定值不等式，结合a为整数干脆求a的值2利用a的值化简函数fx，利用肯定值三角不等式
24、求出|x+1|+|x2|的最小值17.【答案】1解：当a=2时，求不等式fxgx化为|2x1|+|2x2|x30 设y=|2x1|+|2x2|x3，那么 y= ，它的图象如下图：结合图象可得，y0的解集为0，2，故原不等式的解集为0，22解：设a1，且当 时，fx=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2对 都成立 故 a2，解得 a ，故a的取值范围为1， 【解析】【分析】1当a=2时，求不等式fxgx化为|2x1|+|2x2|x30设y=|2x1|+|2x2|x3，画出函数y的图象，数形结合可得结论2不等式化即 1+ax+3，故 xa2对 xa2,12) 都成立故 a2 a2，由此解得
25、a的取值范围18.【答案】1解：当 x12 时， f(x)=12xx12=2x ，假设 1x12 ；当 12x12 时， f(x)=12x+x+12=112 时， f(x)=2x ，假设 f(x)2 ， 12x1 综上可得， M=x|1x0 ，即 a2b2+1a2+b2 ，那么 a2b2+2ab+1a2+2ab+b2 ，那么 (ab+1)2(a+b)2 ，即 |a+b|ab+1| ，证毕 【解析】【分析】1分当x 时，当 x 时，当x 时三种状况，分别求解不等式，综合可得答案；2当a，bM时，a21b210，即a2b2+1a2+b2 ， 配方后，可证得结论19.【答案】1解：当a=2时，fx=
26、|2x2|+2，fx6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式fx6的解集为x|1x32解：gx=|2x1|，fx+gx=|2x1|+|2xa|+a3，2|x 12 |+2|x a2 |+a3，|x 12 |+|x a2 | 3a2 ，当a3时，成立，当a3时， 12 |a1| 3a2 0，a123a2 ， 解得2a3，a的取值范围是2，+ 【解析】【分析】1当a=2时，由得|2x2|+26，由此能求出不等式fx6的解集2由fx+gx=|2x1|+|2xa|+a3，得|x |+|x | ，由此能求出a的取值范围此题考察含肯定值不等式的解法，考察实数的取值范围的
27、求法，是中档题，解题时要仔细审题，留意不等式性质的合理运用20.【答案】1解：当a=3时，fx3 即|x3|+|x2|3，即 ，或 ， 或 解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为x|x1或x42解：原命题即fx|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为21=3，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，0 【解析】【分析】1不等式等价于 x23x+2x3 ，或 2x33x+x23 ，或 x3x3+x23 ，求出每个不等式组的解集， 再取并集即得所求2原命题等价于2xa2x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围21.【答案】1解：由|ax+1|3得4ax2不等式fx3的解集为x|2x1当a0时，不合题意；当a0时， 4ax2a ，a=2；2解：记 h(x)=f(x)2f(x2) ，hx= 1,x14x3,1x121,x12|hx|1 |f(x)2f(x2)|k 恒成立，k1 【解析】【分析】1先解不等式|ax+1|3，再依据不等式fx3的解集为x|2x1，分类探讨，即可得到结论2记 h(x)=f(x)2f(x2) ，从而hx= 1,x14x3,1x121,x12 ，求得|hx|1，即可求得k的取值范围