数学选修知识点肖.docx

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1、第一章 计数原理1.1 分类加法计数及分步乘法计数1、分类加法计数原理：根本原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。2、分步乘法计数原理：根本原理：完成一件事须要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法。3、 两个计数原理的区分两个原理分类加法计数原理分步乘法计数原理区分一关键词完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类注：分类要做到“不重不漏。完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步注：分步要做到“步骤完好。 区分二是否独立各类方法都

2、是独立的，都能干脆完成这件事。各步之间都是关联的，缺一不行的,当且仅当做完每个步骤时，才能完成这件事。1.2 排列及组合一、排列1、 排列的定义 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，根据肯定依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2、 排列数（1） 排列数：从个不同元素中，取出个元素的全部排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示2排列数公式：公式还可以写成：3排列数的性质：3、全排列及阶乘：1全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫n个元素的一个全排列，这时排列数公式中，即有。全排列数公式：2阶乘：正整数1到的连乘积叫做n的阶乘，用表示。规定：0!=14、 排

3、列应用问题1无限制条件的排列问题：先看能否把问题归结为排列问题，即是否有依次，再运用公式求解。2有限制条件的排列问题：分析限制条件，选用适当的方法。常用方法有： 优先排列法：指优先考虑特别元素或特别位置。 相邻问题捆绑法：某些元素要求必需相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，及其他元素排列后，再其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序。这种方法称为捆绑法。 不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先支配其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，这种方法称为插空法。二、组合1、组合定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2、组合数：1从n个

4、不同元素中取出m(mn)个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。规定：2组合数公式：公式还可以写成：记忆：上同下大1等于下同上小1之和3排列数的性质： 注：或3、 组合应用问题1无限制条件的组合问题:先确认是组合问题即无依次，干脆运用公式即可。2有限制条件的组合问题:解有限制条件的组合问题的常用方法有：干脆法和间接法解除法。 干脆法要留意特别元素优先原那么，间接法的原那么为正难那么反。4、解排列、组合组合应用题要遵守三大原那么： 先分类后分步；先选后排；先组合后排列，留意有限制条件的优先；1.3 二项式定理1、 二项式定理1二项式定理公式：2二项式系数

5、：各项的系数叫二项式系数2、二项绽开式的通项二项绽开式中第项叫二项绽开式的通项。特点：二项绽开式的通项是第r+1项，而不是第r项； 二项绽开式的通项的二项式系数是，而不是3、二项式系数的性质1对称性：及首末两端“等间隔 的二项式系数相等，即2增减性及最大值当时，二项式系数是渐渐增大的，由对称性知后半部分是渐渐减小的，在中间时获得最大值。 当n是偶数时，中间的一项为最大值；当n是奇数时，中间的两项为最大值。（3） 各二项式系数的和即的绽开式的各个二项式系数的和等于，奇数项二项式系数之和偶数项二项式系数之和都等于，即第二章 随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布1、随机变量：1定义：随着试验的结

6、果的改变而改变的变量叫做随机变量。2表示：随机变量常用大写字母X、Y或、等表示。3离散型随机变量：全部的取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量2、离散型随机变量的分布列及性质1一般的,假设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xnX取每一个值 xi(i=1,2,.的概率P(X=xiPi，那么称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列。Xx1x2xixnPp1p2pipn2分布列性质: pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 13、二点分布(0-1分布)假设随机变量X的分布具有下表的形式，那么称X听从两点分布，并称p=P(X=1)为胜利概率。X01P

7、1-pp注：两点分布的试验结果只有两种可能性，概率之和为1.4、超几何分布：一般地, 在含有M件次品的N件产品中，任取n(nN)件,其中恰有X件次品，那么它取值为k时的概率为，即X01mP其中m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*假如随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量X听从超几何分布 二项分布及其应用1、条件概率1条件概率的定义一般地，设A，B为两个事务，且P(A)0，称为在事务A发生的条件下，事务B发生的条件概率。读作A发生的条件下B发生的概率。2条件概率的性质 假如B和C是两个互斥事务，那么2、 事务的互相独立性1定义设A，B为两个事务，假设,那么称事务A及事务B互相

8、独立。公式推广：假如事务那么这个事务同时发生的概率等于每个事务发生的概率的积，即.（2） 性质：假如事务A及B互相独立，那么A及，及B，及也都互相独立。3两个事务独立及互斥的区分 两个事务互斥是指两个事务不行能同时发生： 两个事务互相独立是指一个事务的发生及否对另一事务发生的概率没有影响。（4） 互相独立事务及互斥事务的概率计算两个事务A,B，它们的概率为，将A,B中至少有一个发生记为事务,都发生记为事务AB，都不发生记为事务，恰有一个发生记为事务,至多有一个发生记为事务,那么它们概率间的关系见下表。概率A,B互斥A,B互相独立01求概率问题的步骤第一步：确定事务的性质 古典概型、互斥事务、条

9、件概率、独立事务；第二步：推断事务的运算 和事务、积事务，确定事务至少有一个发生，还是同时发生；第三步：运用公式古典概型：互斥事务：条件概率：独立事务：3、独立重复试验1定义：一般地，在一样条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。2表示：在n次独立重复试验中，记Ai (i=1，2，n)是第i次试验的结果。3独立重复试验的特别 每次试验的条件都完全一样，有关事务的概率保持不变。 每次试验只有两种结果：事务发生或者不发生。 每次试验的结果互不影响，即每次试验互相独立。4、 二项分布定义：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事务A发生的次数，设每次试验中事务A发生的概率为p，那么此时称随机变量

10、X听从二项分布，记作，并称p为胜利概率。2.3 离散型随机变量的均值及方差1、离散型随机变量的均值1均值的定义假设离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn那么称 = + 为离散型随机变量X的均值或数学期望，简称期望它反映了离散型随机变量取值的平均程度 （2） 离散型随机变量的均值的性质，那么Y也是随机变量，且有2、两点分布、二项分布的均值（1） 两点分布的均值由数学期望的定义可知，假设随机变量X听从参数为p的两点分布，那么（2） 二项分布的均值在n次独立重复试验中，假设3、 离散型随机变量的方差（1） 方差的定义设离散型随机变量X的分布为Xx1x2xixnPp1p2pi

11、pn那么描绘了相对于均值E(X)的偏离程度。而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X及其均值E(X)的平均偏离程度。我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差。（2） 方差的性质4、两点分布、二项分布的方差（1） 两点分布的方差 假设随机变量X听从参数为p的两点分布，那么2二项分布的方差 设离散型随机变量X听从参数为n和p的二项分布即2.4 正态分布1、 正态曲线 假设概率密度曲线就是或近似地是函数 的图像，其中实数是参数，分别表示总体的平均数及标准差称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 2、正态分布假如对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满意那么称随

12、机变量X听从正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此常记作。假如随机变量X听从正态分布，那么记为. 注：把的正态分布叫做标准正态分布。3、正态曲线的根本性质：1曲线位于x轴上方，及x轴不相交；2曲线是单峰的，它关于直线x=对称；3曲线在x=处到达峰值；4曲线及x轴之间的面积为1。5当肯定时，曲线的位置由确定，曲线随着的改变而没x轴平移。如图16当肯定时，曲线的形态由确定，越小，曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中越大，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散；如图24、假设，那么对于任何实数概率为如下图的阴影部分的面积。 在实际应用中，通常认为听从于正态分布的随机变量X只取之间的值，简称之为原那么第三

13、章 统计案例3.1 回来分析的根本思想及其初步应用1、回来分析函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系。回来分析是对具有相关关系的两个变量进展统计分析的一种常用方法。2、回来直线方程对于一组具有线性相关关系的数据其回来直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，其中， ，称为样本点的中心，回来直线过样本点的中心。由此得到的直线就称为这对数据的回来直线，此直线方程即为线性回来方程其中，分别为，的估计值，称为回来截距，称为回来系数，称为回来值3、线性相关系数对于变量X及Y随机抽取的n对数据利用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系，样本相关系数的详细的计算公式为：4、误差分析

14、1随机误差 在线性回来模型中，a和b为模型的未知参数，e是y及bx+a之间的误差。通常e为随机变量，称为随机误差。它的均值E(e)=0,方差D(e)=2残差对于样本点而言，它们的随机误差为其估计值为称为相应于点的残差。(3) 相关指数可以用相关指数来反映回来的效果，其计算公式为 独立性检验的根本思想1、 分类变量和列联表不同“值表示不同类别的变量叫做分类变量。列出两个分类变量的频数表称为列联表。2、 独立性检验1定义：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d构造一个随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量。利用随机变量K2来推断“两个分类变量有关系的方法称为独立性检验。（2） 独立性检验的根本方法利用上述公式求出的观测值为。查表确定临界值k0.P(k2k0)k0得出结论：假设，就认为没有充分证据显示X及Y有关系。假如，就有90%的把握认为X及Y有关系。假如，就有95%的把握认为X及Y有关系。假如，就有99%的把握认为X及Y有关系。假如，就有99.9%的把握认为X及Y有关系。