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1、第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7cos 37 - sin 83sin 37 的值为( )A.B.C.D.2. sin 15 sin 30 sin 75 的值等于( )A. B.C.D.3. 函数y = 的周期为( )A.B.C. D. 24. 函数y = 2sin x(sin x + cos x)的最大值是( )A.B.C.D. 25. 化简，其结果是( )A.sin 2 B.sin 2 C. - 2sin D. 2sin 26. 若sin( + )=，sin( - )=，则为( )A. 5 B. - 1 C. 6 D.7. 设tan 与tan是方程x2 + px + q =
2、0的两个根，则p，q之间的关系是( )A. p + q + 1 = 0 B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式43sin2 x - cos2 x + 4cos x + a220对一实在数 x都成立，则a的取值范围是( )A. -5a-3，或3a5B. -4a4C. -3a3D. -4a-3，或3a49. 若，则等于( )A.B. C. D. 二、填空题.1.= _2. y = 3sin(x + 20) + 5sin(x + 80)的最大值为_，最小值为_3. 若tan( + )= 7，tan tan =，则 cos( -
3、)= _4. 若为第二象限角，且sin，则= _5. 若，都是锐角，tan =，tan =，tan =，则 + + = _6. 若 A + B + C =(2n - 1)，nZ，且A，B，C 均不为 0，则 = _三、解答题1. 已知，为锐角，cos =，tan( - )= -，求cos 的值2. 已知，均为锐角，且sin - sin =-，cos + cos =，求cos( + )，sin( - )的值3. 已知tan A与tan是x2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan，求p与q的值4. 证明：cos8 - sin8 - cos 2 = -sin 4 sin 2参
4、考答案一、选择题1. B【解析】sin 7cos 37 - sin 83sin 37= cos 83cos 37 - sin 83sin 37= cos(83 + 37)= cos 120= -2. C【解析】sin 15 sin 30 sin 75 = cos 75sin 75sin 30=sin 150sin 30=3. C【解析】y =sin2 x-cos2 x= -cos 2x. T =4. A 【解析】y = 2sin x(sin x + cos x)= 2sin2 x + 2sin xcos x= 1 - cos 2x + sin 2x= 1 + ymax = 1 +5. A【解析
5、】6. A【解析】sin cos + cos sin =，sin cos - cos sin = 2sin cos =，2cos sin = = 57. B【解析】 q - p = 1， p - q + 1 = 08. D【解析】设 f(x) = 3sin2x - cos2x + 4cosx + a2，43 - 4cos2 x + 4cos x + a220，4- 4cos2 x + 4cos x + a2 + 320. 当 cos x =时，f(x)max =+ a2 + 320-4a4；当 cos x = - 1时，f(x)min = - 4 - 4 + a2 + 34a3，或a-3. -
6、4a-3，或3a49. C【解析】 原式 =二、填空题1. 1【解析】= tan(60- 15)= tan 45= 12. 7；-7【解析】y = 3sin(x + 20)+ 5sin(x + 80)= 3sin(x + 50 - 30)+ 5sin(x + 50 + 30)= 3sin(x + 50)cos 30 - 3cos(x + 50)sin 30 + 5sin(x + 50) cos 30 + 5cos(x + 50)sin 30 = 4sin(x + 50)+ cos(x + 50) = 7sin(x + 50 + j)（j 为常数） ymax = 7，ymin = - 73. 【
7、解析】 tan( + )= 7， 依据同角三角函数关系，得 cos( + )= cos cos - sin sin = tan tan =， 3sin sin = 2cos cos . cos( - )=，或cos( - )= .4. 1【解析】 2k+2k+， k+k+在第一、三象限 sin = - cos， cos- 在第三象限，且2 k+2k+，kZ. cossin所以 = 15. 45【解析】tan( + )=，且，为锐角， + 为锐角，又为锐角，且tan( + + )= 1 + + = 456. 1【解析】原式 = tan+ tantan= tantan+ tantan= tanco
8、t+ tantan= 1三、解答题1. 【解】 cos =， sin = ， 为锐角， - - tan( - )=， cos( - )=，sin( - )=cos = cos -( - )= cos cos( - )+ sin sin( - )=2. 【解】 2 + 2，得 sin2 - 2sin sin + sin2 + cos2 + 2cos cos + cos2 = 2. cos( + )= 0又 ， 均为锐角， + =， sin sin = sin - cos = -sin2 + cos2 - 2 sin cos = 1- 2 sin cos = 又sin2 + cos2 = 1，且s
9、in cos ， 均为锐角， sin = sin( - )= sin= - cos 2 = 2 sin2 -1 = 3. 【解】 tan=， 3tan A =， tan A =，或 tan A = - 2当tan A =时，tan =，p = - = -，q =当tan A = - 2时，tan = -3，p = -(-2 - 3) = 5， q = (-2)(-3) = 64. 【证明】cos8 - sin8 - cos 2 = (cos4 + sin4 )(cos2 + sin2 )(cos2 - sin2 )- cos 2= (cos4 + sin4 )cos 2 - cos 2=(cos4 + sin4 - 1)cos 2= cos4 +(sin2 - 1)(sin2 + 1) cos 2= cos4 - cos2 (sin2 + 1)cos 2= - 2cos2 sin2 cos 2= -sin 4sin 2