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1、数学根底学问及典型例题复习第二章函数映射映射：设非空数集A，B，假设对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b及之对应，那么称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法那么，(a)。假设A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象及之对应,那么称从A到B的映射为一一映射。例1.假设，,那么到的映射有 个，到的映射有 个；假设，, 那么到的一一映射有 个。例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，那么在映射下，象20的原象是( )A2 B3C4 D5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集f(x)A为
2、值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法那么. 从逻辑上讲，定义域，对应法那么确定了值域，是两个最根本的因素。3. 函数定义域的求法：列出访函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式组来实现的。函数定义域是探讨函数性质的根底和前提。函数对应法那么通常表现为表格，解析式和图象。例3.扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，那么 ；定义域为 。例4. 求函数的定义域. 例5. 假设函数的定义
3、域为-1,1，求函数 EMBED Equation.3 的定义域。函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法反解法；换元法代数换元法；不等式法；单调函数法.注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，干脆法的途径有单调性，根本不等式及几何意义，间接法的途径为函数及方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值极值更加便利.常用函数的值域，这是求其他困难函数值域的根底。函数的值域为R;二次函数 当时值域是,当时值域是 EMBED Equation.3 ；反比例函数的值域为； 指数函数的值域为；对数函数的值域为R；函数的值域为-1，1；函数,
4、 EMBED Equation.3 的值域为R；例6. (x0), 求.例7. 求函数的值域.例8. 以下函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一局部. 对于详细的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，假如函数在区间0，1上为减函数，在区间1，2上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.探讨函数的单调性。单调性单调性：探讨函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。推断函数单调性的方法：定义法作差比拟和作商比拟；图象法；单调性的运算性质实质上是不等式性质；复合函数单调性推断法那么;导数法适用于多项式函
5、数函数单调性是函数性质中最活泼的性质，它的运用主要表达在不等式方面，如比拟大小，解抽象函数不等式等。例10. 函数在定义域上的单调性为( )A在上是增函数，在上是增函数;B减函数;C在上是减函数，在上是减函数;D增函数例11.函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f g (x)在 R上也是增函数。奇偶性1.偶函数：.设为偶函数上一点，那么也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满意定义域肯定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满意，或，假设时，.2.奇函数：.设为奇函数上一点，那么也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满意定义域肯定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满意
6、，或，假设时，.注:函数定义域关于原点对称是推断函数奇偶性的必要条件，在利用定义推断时，应在化简解析式后进展，同时敏捷运用定义域的变形，如，f(x)0例12.推断以下函数的奇偶性：,反函数1.反函数定义：只有满意，函数才有反函数. 例如： EMBED Equation.3 的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:将看成关于的方程,解出，假设有两解，要留意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域即的值域。3.在同一坐标系，函数及它的反函数的图象关于对称.注：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例13.求函数 -1 x 0的反函数例14.，函数(
7、x)图象及的图象关于直线 x对称，求g(11)的值。反函数4.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时肯定是单调的.因此，全部偶函数不存在反函数.假如一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = fx定义域，值域分别为X, Y. 假如y = fx在X上是增减函数，那么反函数在Y上肯定是增减函数，即互为反函数的两个函数增减性一样. 一般地，假如函数有反函数，且，那么. 这就是说点在函数图象上，那么点在函数的图象上.f(x)的反函数1(x)的性质及f(x)性质严密相连，如定义域, 值域互换，具有一样的单调性等，把反函数1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要
8、思想。f(x)定义域为A，值域为C，那么 1f(x),(xA)f1(x),(xC)例15. 假设函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B)(C) (D)例16. 设，那么.例17. 函数及互为反函数的充要条件是.例18. 假设点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，那么，指数函数及对数函数1.指数函数：，定义域R，值域为.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，那么相反.例19.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)例20. 指数函数及对数函数2
9、.对数函数：假如的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作，负数和零没有对数；其中叫底数，叫真数.对数运算：例如：中x0而中xR.及互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，那么相反.例21.设 且, 求证:;比拟的大小.例22. ， ,试比拟的大小。例23.求函数的单调减区间，并用单调定义赐予证明。例24. 求以下函数的定义域, 值域：; 图象变换y = fxy xy x(x)(),把轴上方的图象保存，轴下方的图象关于轴对称(x)(x)|把轴右边的图象保存，然后将轴右边局部关于轴对称。留意：它是一个偶函数伸缩变换：(x)(x), (x)()详细参照三角函数的图象变换。注:一个重要结论：
10、假设f(ax)f()，那么函数(x)的图像关于直线对称；例25.探讨函数的图象及的图象的关系。一次函数及二次函数1.一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；2.一元二次函数：一般式:；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是 ；及轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值问题：首先要采纳配方法，化为的形式，(), 假设顶点的横坐标在给定的区间上，那么当时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；()假
11、设顶点的横坐标不在给定的区间上，那么当时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 一次函数及二次函数二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；那么：根的状况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件af(k)0另外:二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq) EMBED Equation.3 二次方程f(x)=0在区间()内只有一根f(p)f(q)0，或检验或检验。假设在闭区间探讨方程有实数解的状况，可先利用在开区间上实根分布的状况，得出
12、结果，在令和检查端点的状况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特殊指出,分段函数也是重要的函数模型。一次函数及二次函数例26. 当0x1时，函数1的值有正值也有负值，那么实数a的取值范围是 (A)a1 (C)a1 (D)a1例27.函数在上递增，那么的取值范围是( )A BC D例28. 二次函数的图像开口向上，且，那么实数取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 例29.设函数，那么方程的解为 .数学根底学问及典型例题(第二章函数)答案例1. , ,6; 例2. C例3.,对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要依据实际意义来确定。例4. 解
13、：解析式有意义的充要条件是： EMBED Equation.3 函数的定义域为 例5. 解：要使函数有意义, 必需: EMBED Equation.3 的定义域是.例6.解一: 令, 那么 , 解二：令 那么 例7. 解：设 那么 t012代入得 (t )=2(12)+42t2+422(1)2+4t0y4所求值域为例8. B例9. 解：定义域 1x1,在-1,1上任取x12且x1x2那么, EMBED Equation.3 = ,另外，恒有 假设-1x1x20 那么 x120 那么-, 假设x10 那么-, 在-1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。例10. C例11. 证：任取 且
14、x1 x2 g (x) 在R上是增函数,g (x1) g (x2),又f (x) 在R上是增函数,f g (x1) f g (x2)而且 x1 0时, 0 有f () = x2 = -(2);当 x0 有f () = 2 = -(x2)此函数为奇函数.例13.解： -1x 0,0 x2 1 ,01 - x2 1, 0 1 ,0 y 1由：解得： ( -1x 0 )(-1 x 0)的反函数是：( 0 x 1 )例14.解:利用数形对应的关系，可知(x)是1(1)的反函数，从而化g(x)问题为f(x)。的反函数为即 g(11)(11)-1=评注：函数及反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在
15、反函数时，假设(a)，那么1(b).例15. B例16. 1 例17. 2例18. =，=解：由在反函数的图象上，那么必在原函数的图象上所以原函数经过点和那么，所以，解得例19例20.解：原式 例21.证明：设, ,取对数得:, 又,例22. 解：当或 时 当时 当或 时 综上所述：时；时; EMBED Equation.3 例23. 解：定义域 ,单调减区间是.设 那么 , EMBED Equation.3 =,又, EMBED Equation.3 , 又底数,函数在上是减函数.例24解:要使函数有意义，那么须：即：,从而 ,定义域为-1,1，值域为要使函数有意义，那么须：由,在此区间内
16、, 从而 即：值域为,定义域为-1,5，值域为例25.解: EMBED Equation.3 可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。例26例27. D例28. D例29. 0，2或2, 当你成认“自己有缺点时，你就“疯狂地改正它吧！“我的缺点越多，我成为伟人的可能性就越大！抓紧开场数一数你的缺点吧！是什么诞生了一个宏大的人物？我认为是“自卑诞生了一个宏大的人物！一个平常人在“战胜自卑的过程中，获得了“炼狱般的熬炼，从而炼出了自己非凡的“火眼金晴。姚明，被国际传媒称为“中国巨人时代的代言人，他“战胜自卑的过程，值得中国人骄傲，值得中国人反省怎样才能让自己变成巨人？怎样
17、才能让自己成为国家的傲慢？姚明自幼体弱多病，得过肾炎，左耳失聪，反响迟钝，两脚是不适合跑跳的“刀削脚平脚,这些都是打篮球的致命弱点和缺陷。但他父亲问姚明：“告知我，你喜爱篮球吗？“喜爱啊，我喜爱球场的感觉，喜爱球迷的呼喊他父亲说：“够了，儿子，只要喜爱，你就安心练球吧，你肯定会比别人有进步的!姚明从今开场了常人难以想像的艰辛训练，虚心地从别人的讪笑中总结经验，扬长避短，先入选中国篮球明星队，22岁入选了全球最有影响力的明星联队。要知道一代篮球巨星是怎样炼成的，我跟大家共享两个最令我佩服的情景：第一个：他以队友为超越的目标，从最弱变成了最强姚明刚进时,他被称为最瘦弱的“杆，因为他只能推45磅的哑
18、铃，而他的队友可以推100磅，5年后，姚明推哑铃的重量超过了120磅。由最弱变成了最强，只因他5年来都在别人训练完毕后，多加练几个小时的力气训练，并且从不连续。第二个：他反复谛视自己的错误，疯狂地调整缺点每一次竞赛和训练，姚明的教练都会录像，把他全部的失误镜头都剪下来，录到一张光盘里。姚明每次都会细致反复看，记自己犯下的每一个细小错误，然后一次又一次在训练中调整，直到把正确的动作转变成自己身体的一局部，转化成自己的本能，于是，姚明取得了令人不行思议的进步。一个人的缺陷，有时就是上苍让你胜利的信息和示意。一个人的弱点，可以成为你消沉胆怯的缘由，也可以成为你一生中最大的激励因素。弱点的背后隐藏着，而且是“深深地隐藏着巨大的潜力，一旦被改正，你的弱点就成为震撼世界的优点！所以，从今日开场，为你的弱点欢呼和庆祝吧！克制弱点最好的方法，就是用行动来超越它，战胜它，你从今开场变得强大，甚至宏大。当一个人真刚要争得尊严，弥补身体上的缺陷时，人的潜能才会真正开场醒悟，自身惊人的品行，才会一点点地呈现在世人面前。苦痛是锻造自己最好的时机！!不要胆怯失败。摔倒多少次没关系，要紧的是你能多少次爬起来。t.t.