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1、函数的奇偶性学问点及例题解析一、学问要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数，假设对于函数定义域内随意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，对于函数，假设对于函数定义域内随意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区分之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“部分”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函
2、数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全一样，最值相反。奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值一样。偶函数f(x)在区间a,b（0ab）上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上单调递减（增）随意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的与。
3、若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、推断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数的定义域内随意一个x，都有或或函数f（x）是偶函数； 对于函数的定义域内随意一个x，都有或或 函数f（x）是奇函数； 推断函数奇偶性的步骤：、推断定义域是否关于原点对称；、比拟与的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，、运算法：
4、几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若为偶函数，则。二、典例分析1、给出函数解析式推断其奇偶性：分析：推断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系.【例1】 推断下列函数的奇偶性：(1). (2) . 解：函数的定义域是， 为偶函数。（法2图象法）：画出函数的图象如下：由函数的图象可知，为偶函数。说明：解答题要用定义法推断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法推断函数的奇偶性。(2) . 解：由 ，得x(，3(3，+).定义域不关于原点
5、对称，故是非奇非偶函数.【例2】 推断下列函数的奇偶性：(1). (2). 。解： (1).由，解得 定义域为2x0或0x2，则.为奇函数.说明：对于给出函数解析式较困难时，要在函数的定义域不变状况下，先将函数解析式变形化简，然后再进展推断。(2). 由，解得 ， 函数定义域为，又，且，所以 既是奇函数又是偶函数。【例3】 推断下列函数的奇偶性： 解析 (1) .函数的定义域为R，当时，当时，当时，综上可知，对于随意的实数x，都有，所以函数为奇函数。说明：分段函数推断奇偶性，必分段来推断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数推断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数推断其奇偶性：【例4】
6、已知函数对随意的非零实数恒有推断函数的奇偶性。解：函数的定义域为，令，得，令，则取，得故函数为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函数是奇函数，又，求的值.解：由得，。又得，而得，解得。又，或.若，则，应舍去；若，则b=1Z.说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特别值，如 f(1)=f(1)，得c =0。 (2) . 解不等式：【例6】若f(x)是偶函数，当x0，+)时，f(x)=x1，求f(x1)0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x
7、)0的解集为 x1x1，f(x1)0，即1x-11，解集为x0x2.（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知f(x)=x5+ax3bx8，且f(2)=10，求f(2). 解：法一：f(2)=(2)5+(2)3a(2)b8=328a+2b8=408a+2b=108a2b=50 f(2)=25+23a2b8=8a2b+24=50+24=26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(2)=g(2) f(2)+8=f(2)8f(2)=f(2)16=1016=26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称， x0时，,又f(0)=0，如图9. 设定义在3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a1)f(a)时，求a的取值范围. 解：f(a1)f(a) ,偶函数f(x)在0，3上是单调递增 f(|a1|)f(|a|)必有|a1|，|a|0，3第 6 页