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1、名师总结优秀知识点函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“ 整体 ” 性质，单调性是一个“ 局部 ” 性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数
2、、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在 0 处有定义，则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数 f(x)在区间 a,b(0ab)上单调递增 （减） ，则 f(x)在区间 b,a上也是单调递增 （减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数 f(x)在区间 a,b（0ab）上单调
3、递增（减） ，则 f(x)在区间 b,a上单调递减（增）任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时， y=fg(x)是奇函数； u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有xfxf或1xfxf或0 xfxf函数 f （x）是偶函数；对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有xfxf或1xf
4、xf或0 xfxf函数 f （x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较)( xf与)(xf的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。 ，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数+偶函数 =偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若( )f x为偶函数，则()( )(|)fxf xfx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师总结优秀知识点二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：
5、分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(x)与 f(x)的关系 . 【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1).2( )21;fxxx(2) .223( ),0 ;3xxf xxxxx解：()f x函数的定义域是()，2()21f xxx，2()()21fxxx221( )xxf x，2()21f xxx为偶函数。（法 2图象法）：画出函数2( )21f xxx的图象如下：由函数2()21fxxx的图象可知，2()21f xxx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) .
6、解：由303xx，得x(， 3(3，+).定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1). 24( );33xfxx(2). 021()1xfxx。解： (1). 由240330 xx，解得2206xxx且定义域为 2 x0或 0 x2 ，则2244();33xxf xxx. 224()4()( ) ;xxfxf xxx. 24()33xf xx为奇函数 . 说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2). 由2010 xx，解得01xx，函数定义域为0,1xR xx，又022111()011xf
7、 xxx，()0fx，()( )fxfx且()()fxf x，所以022111()011xf xxx既是奇函数又是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师总结优秀知识点【例 3】 判断下列函数的奇偶性：(1). (1) , (0)( )0 ,(0)(1), (0)xxxf xxxxx解析 (1) . 函数的定义域为R，当0 x时，0 ,()()(1)(1)();xfxxxxxfx当0 x时，0 ,()0();xfxf x当0 x时，0 ,()() 1()(1)( ).xfxxxxxf x综上可知，对于任意的实数
8、x，都有()()fxf x，所以函数()f x为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数()(0) ,fxxRx且对任意的非零实数1 ,2,xx恒有1212()()() ,f xxfxf x判断函数()(0)f xxRx且的奇偶性。解：函数的定义域为(,0)(0 ,)，令121xx，得(1)0f，令121xx，则2( 1)(1) ,( 1)0 ,fff取121 ,xxx，得()( 1)( ) ,fxffx()( ) ,fxf x故函数()(0)fxxRx且为偶函数。3、函
9、数奇偶性的应用：(1) .求字母的值：【例 5】已知函数21( )( ,)axf xa b cZbxc是奇函数，又(1)2f，(2)3f，求,ab c的值 . 解：由()( )fxf x得()bxcbxc，0c。又(1)2f得12ab，而(2)3f得4132ab，4131aa，解得12a。又aZ，0a或1a. 若0a，则12bZ，应舍去；若1a，则1bZ b=1Z. 1,1,0abc。说明 ：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组) ，使问题得解 . 有时也可用特殊值，如f(1)=f(1)，得 c =0。 (2) .解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当x0
10、，+) 时， f(x)=x1，求 f(x1)0 的解集。分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法 . 解：画图可知f(x)0 的解集为x1x1，f(x1)0，即 1x-11，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师总结优秀知识点解集为 x0 x2. （3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知 f(x)=x5+ax3- bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2). 解： 法一： f(- 2)=(-2)5+(- 2)3a- (- 2)b-8=- 32- 8a+2b
11、- 8=- 40- 8a+2b=10 8a- 2b=- 50 f(2)=25+23a- 2b- 8=8a- 2b+24=- 50+24=- 26 法二：令g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(- 2)=- g(2) f(- 2)+8=- f(2)- 8 f(2)=- f(- 2)- 16=- 10- 16=- 26. 8. f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x0 时， f(x)=x2- x，求当 x 0 时， f(x)的解析式，并画出函数图象. 解： 奇函数图象关于原点对称，x0 时，xxxxxfxf22)()()()(, 又 f(0)=0 ，如图9. 设定义在 - 3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a- 1)f(a)时，求 a的取值范围 . 解： f(a- 1)f(a) ,偶函数 f(x)在0， 3上是单调递增f(| a- 1|) f(| a|) 必有 | a- 1| ，| a| 0，3 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页