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1、第二十四章 圆 单元要点分析 教学内容 1本单元数学的主要内容 （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角 （2）与圆有关的位置关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系 （3）正多边形与圆 （4）弧长与扇形面积：弧长与扇形面积，圆锥的侧面积与全面积 2本单元在教材中的地位与作用 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式相识了很多图形的性质，积累了大量的空间与图形的阅历本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的根底上，进一步来探究一种特别的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后接着学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思
2、想起着良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的根底性工程 教学目的 1学问与技能 （1）理解圆的有关概念，探究并理解垂径定理，探究并相识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探究并理解圆周角与圆心角的关系定理 （2）探究并理解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：理解切线的概念，探究切线与过切点的直径之间的关系，能断定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线 （3）进一步相识与理解正多边形与圆的关系与正多边的有关计算 （4）娴熟驾驭弧长与扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面绽开图并娴熟驾驭圆锥的侧面积与全面积的计算 2过程与方法 （1）主动引导学生从事视察、测
3、量、平移、旋转、推理证明等活动理解概念，理解等量关系，驾驭定理及公式 （2）在教学过程中，激励学生动手、动口、动脑，并进展同伴之间的沟通 （3）在探究圆周角与圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想与归纳的数学思想 （4）通过平移、旋转等方式，相识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动改变中的特点与规律，进一步开展学生的推理实力 （5）探究弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义 3情感、看法与价值观 经验探究圆及其相关结论的过程，开展学生的数学思索实力；通过主动引导，扶植学生有意识地积累活动阅历，获得胜利的体验；利用现实生活与数
4、学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探究的欲望 教学重点 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用 3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用 4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其运用 5不在同始终线上的三个点确定一个圆 6直线L与O相交dr及其运用 7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用 8经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些详细问题 9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点
5、与圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用 10两圆的位置关系：d与r1与r2之间的关系：外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1dr1+r2；内切d=r1-r2；内含dAD2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的间隔 OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，下列结论中不正确的是AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD （ ） (1) (2) (3)二、填空题1如图4，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_2P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦
6、长为_；最长弦长为_3如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，假如OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论） (4) (5)三、综合进步题1如图，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，图中的AN与BM相等吗？说明理由2如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长3（开放题）AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数答案:一、1D 2D 3D二、18 28 10 3AB=CD三、1AN=BM 理由：过点O作OECD于点E，则CE=DE，且CNOEDM ON=
7、OM，OA-ON=OB-OM，AN=BM2过O作OFCD于F，如右图所示AE=2，EB=6，OE=2，EF=，OF=1，连结OD，在RtODF中，42=12+DF2，DF=，CD=23（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示: AB=16，AC=8，AD=8， AC=（AB），CAB=60，同理可得DAB=30，DAC=30 （2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：DAC=60+30=9024.1 圆(第2课时) 教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角
8、相等，所对的弦相等 在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 教学目的 理解圆心角的概念：驾驭在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的学问，产生圆心角的概念，然后用圆心角与旋转的学问探究在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最终应用它解决一些详细问题 重难点、关键 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论与它们的应用 2难点与关键：探究定理与推导及其应用 教学过程 一、复
9、习引入 （学生活动）请同学们完成下题已知OAB，如图所示，作出绕O点旋转30、45、60的图形 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30，就是旋转角BOB=30 二、探究新知如图，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 （学生活动）请同学们按下列要求作图并答复问题：如图，在O中，分别作相等的圆心角AOB与AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发觉哪些等量关系？为什么？=，AB=AB理由如下：半径OA与OA重合，且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合，点B与点B重合 与重合，弦AB与弦AB重合 =，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧
10、相等，所对的弦相等 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们如今动手作一作（学生活动）老师点评：如图1，在O与O中，分别作相等的圆心角AOB与AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合 (1) (2) 你能发觉哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发觉：=，AB=A/B/ 如今它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上的化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们
11、所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 （学生活动）请同学们如今赐予说明一下 请三位同学到黑板板书，老师点评 例1如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF（1）若AOB=COD，则OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）若OE=OF，则与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE与直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE与RtCOF中，又有A
12、O=CO是半径，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到=解：（1）假如AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）假如OE=OF，那么AB=CD，=，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CFAB=CD =，AOB=COD 三、稳固练习 教材P89 练习1 教材P90 练习2 四、应用拓展 例2如图3与图4，MN是O的直径
13、，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM （1）由以上条件，你认为AB与CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等（2）上述结论仍旧成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 依据垂径定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD
14、，垂足为E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应驾驭： 1圆心角概念 2在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都局部相等，及其它们的应用 六、布置作业 1教材P94-95 复习稳固4、5、6、7、8 2选用课时作业设计第二课时作业设计一、选择题 1假如两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心
15、角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是（ ） A=2 B C2 D不能确定 3如图5，O中，假如=2，那么（ ）AAB=AC BAB=AC CAB2AC (5) (6)二、填空题 1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_ 2一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_3如图6，AB与DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_三、解答题 1如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上（1）求证：=；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？2如图，以ABCD的
16、顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若D=50，求的度数与的度数 3如图，AOB=90，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD第1题图 第2题图 第3题图答案:一、1D 2A 3C二、1圆的旋转不变形 2或 33三、1（1）连结OM、ON，在RtOCM与RtODN中OM=ON，OA=OB，AC=DB，OC=OD，RtOCMRtODN，AOM=BON， （2） 2BE的度数为80，EF的度数为503连结AC、BD，C、D是三等分点，AC=CD=DB且AOC=90=30OA=OC，OAC=OCA=75，又AEC=OAE+AOE=45+30=
17、75，AE=AC，同理可证BF=BD，AE=BF=CD24.1 圆(第3课时) 教学内容 1圆周角的概念 2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用 教学目的 1理解圆周角的概念 2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4娴熟驾驭圆周角的定理及其推理的敏捷运用 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类
18、思想赐予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最终运用定理及其推导解决一些实际问题 重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？ 2圆心角、弦、弧之间有什么内在联络呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角 （2）在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等 刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，假如顶点不在圆心上，它在其它的位置上？
19、如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今日要讨论，要讨论，要解决的问题 二、探究新知问题：如图所示的O，我们在射门嬉戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的O其它位置射门，如图所示的A、B、C点通过视察，我们可以发觉像EAF、EBF、ECF这样的角，它们的顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 如今通过圆周角的概念与度量的方法答复下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生改变？ 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言 老师点评： 1一个弧上所对的圆周角的个数有多数多个 2通过度量，我们可以发觉，同
20、弧所对的圆周角是没有改变的 3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有改变，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半” （1）设圆周角ABC的一边BC是O的直径，如图所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC（2）如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么ABC=AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程老师点评：连结BO交O于D，同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AO
21、C=2ABC（3）如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么ABC=AOC吗？请同学们独立完成证明老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC 如今，我假如在画一个随意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 下面，我们
22、通过这个定理与推论来解一些题目 例1如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD AB是O的直径 ADB=90即ADBC 又AC=AB BD=CD 三、稳固练习 1教材P92 思索题 2教材P93 练习 四、应用拓展例2如图，已知ABC内接于O，A、B、C的对边分别设为a，b，c，O半径为R，求证：=2R分析：要证明=2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=
23、，sinB=，sinC=，因此，特别明显要在直角三角形中进展 证明：连接CO并延长交O于D，连接DB CD是直径 DBC=90 又A=D 在RtDBC中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R，=2R =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应驾驭： 1圆周角的概念； 2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半； 3半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些详细问题 六、布置作业 1教材P95 综合运用9、10、11 拓广探究12、132选用课时作业设计第三课时作业设计 一、选择题
24、1如图1，A、B、C三点在O上，AOC=100，则ABC等于（ ）A140 B110 C120 D130 2如图2，1、2、3、4的大小关系是（ ） A4123 B41=32C4132 D413=2 3如图3，AD是O的直径，AC是弦，OBAD，若OB=5，且CAD=30，则BC等于A3 B3+ C5- D5 （ ） (1) (2) (3) 二、填空题 1半径为2a的O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是_2如图4，A、B是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=_3如图5，已知ABC为O内接三角形，BC=1，A=60，则O半径为_ 三、综合进步题 (4) (5)1如图，弦A
25、B把圆周分成1：2的两局部，已知O半径为1，求弦长AB 2如图，已知AB=AC，APC=60（1）求证：ABC是等边三角形（2）若BC=4cm，求O的面积3如图，C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，BMO=120（1）求证：AB为C直径（2）求C的半径及圆心C的坐标第1题图 第2题图 第3题图答案:一、1D 2B 3D二、1120或60 290 3三、1 2（1）ABC=APC=60，又，ACB=ABC=60，ABC为等边三角形（2）连结OC，过点O作ODBC，垂足为D，在RtODC中，DC=2，OCD=30，设OD=x，则OC=2x，4x2-x
26、2=4，OC=3（1）略 （2）4，（-2，2）点与圆的位置关系教学目的(一)教学学问点理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，理解三角形的外接圆、三角形的外心等概念(二)实力训练要求1经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，培育学生的探究实力2通过探究不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略(三)情感与价值观要求1形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展理论实力与创新精神2学会与人合作，并能与别人沟通思维的过程与结果教学重点1经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，并能驾驭这个结论2
27、驾驭过不在同一条直线上的三个点作圆的方法3理解三角形的外接圆、三角形的外心等概念教学难点经验不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探究过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆教学方法老师指导学生自主探究沟通法教具打算投影片三张第一张：(记作34A)第二张：(记作34B)第三张：(记作34C)教学过程创设问题情境，引入新课师我们知道经过一点可以作多数条直线，经过两点只能作一条直线那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进展有关探究新课讲解1回忆及思索投影片(34A)1线段垂直平分线的性质及作法2作圆的关键是什么？生1线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的间隔 相
28、等作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的间隔 相等师我们知道圆的定义是：平面上到定点的间隔 等于定长的全部点组成的图形叫做圆定点即为圆心，定长即为半径依据定义大家觉得作圆的关键是什么？生由定义可知，作圆的问题本质上就是圆心与半径的问题因此作圆的关键是确定圆心与半径的大小确定了圆心与半径，圆就随之确定2做一做(投影片34B)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)你是如何作的？你能作出几个这样的圆？师依据刚刚我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心与半径，下面请大家互相交换意见并作出解答生(1)因为作圆本质上是确定圆心与半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来所以以点A以外的随意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆由于圆心是随意的因此这样的圆有多数个如图(1)(2)已知点A