2022年三角函数的图像 .pdf

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1、三角函数的图像考点回顾：三角函数图象：ytanx ycotx函数 y Asin（ x ）的物理意义：振幅 |A| ， 周期2|T， 频率1|2fT， 相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当A0， 0 时以上公式可去绝对值符号），三角函数图象的作法：1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3.利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数yAsin（ x ）+b（0,0A）的作法（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换 （用 y/A（A0）替换 y）由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变

2、，纵坐标伸长（当A1）或缩短（当0A1）到原来的A 倍，得到yAsinx 的图象 . （2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换(用 x（0）替换 x)由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0 1）或缩短（1）到原来的1倍，得到ysin x 的图象 . （3）相位变换或叫做左右平移(用 x替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到ysin（x ）的图象 . （4）上下平移（用y+(-b) 替换 y）由 ysinx 的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当 b 0）平行移动b个单位，得到ysinxb 的图象 . 注意：由ysin

3、x 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x ）+B（A0， 0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别。y=cosxy=sinx-11-11ooyxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 例 1： 函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示， 则函数表达式为 （）A)48sin(4xyB)48sin(4xyC)48sin(4xyD)48sin(4

4、xy答案： A 变式1：函数), 0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为_ 答案：)23sin(3xy变式2：函数),0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为_ 答案：)62sin(2xy变式 3： 函数),0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为_ 答案：)32sin(3xy说明： 主要从振幅、 周期、某点的函数值三个方面考虑，其中变式3 要注意 1.5 不是最高点。例 2、 已知函数y=21cos2x+23sinxcosx+1 （xR）, （1）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x R)

5、的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： （1）y=21cos2x+23sinxcosx+1=41(2cos2x1)+ 41+43（2sinxcosx）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2xsin6+sin2xcos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k,（kZ） ，即x=6+k,（kZ） 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,kZ （2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像上所有的点向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；663 -3 x y 3651

6、.5 x y O 1272 -2 1 x y O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - （ii） 把得到的图像上各点横坐标缩短为原来的21（纵坐标不变） ， 得到函数 y=sin(2x+6)的图像；（ iii ） 把得到 的图像 上各 点纵坐 标缩短 为 原来的21（ 横坐 标不变） ，得到函数y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像

7、。综上得到 y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图像。说明： 本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22basin (x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0 时， y=1；当 cosx0 时，y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1 化简得： 2(y1)tan2x3tanx+2y 3=0 tanxR， =38(y1)(2y3) 0,解之得：43y4

8、7ymax=47，此时对应自变量x 的值集为 x|x=k +6,kZ 变式 1：.已知函数23cossincos22xxbxaxf）（，且230）（f，214）（f. （1）求）（xf（2）函数）（xf的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？.解： （1）1,23ba，）（）（32sinxxf（2）右移k6（Zkk,0）个单位或左移|6|k（Zkk,0）个单位。变式 2：已知函数f(x)=2cos(2x+6) 若将( )fx的图象向左平移3后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍，得到函数( )g x的图象，试写出( )g x的解析式 . 解: f(x)=2cos(2x+6)6

9、52cos(23xy向左平移名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - )654cos(221xy倍横坐标缩小到原来的g(x)=2cos(4x+65). 例 3：已知函数y3sin3x(1)作出函数在x6,56上的图象(2)求(1)中函数的图象与直线y3 所围成的封闭图形的面积答案： (1)略(2)2例 4：求函数|sin|xy与|log|28xy有多少个交点。答案： 18 个， （利用图像） 。例 5： 设0，若)sin

10、(2)(xxf在区间4,3上单调递增，则的取值范围为_ 解，)(xf的包含 0 的单调增区间为2,22423， 23,0例 6：函数)sin(xy在区间1 ,0上至少出现2 个最大值，则的最小值为 _ 解：由图象，145T，故25变式： 函数)0)(sin(xy，对任意Ra，在区间1,aa上，至少出现2 个最大值，并且存在实数a，使得函数在区间1,aa上只有 2 个最大值，则的范围为 _ 解：由图知，TT312，故64例7： 如 图 ， 表 示 电 流 强 度I与 时 间t的 关 系 式),0, 0)(sin(AtAI在一个周期内的图象，试根据图象写出)sin(tAI的解析式；为了使)sin(

11、tAI中 t 在任意一段1001秒的时内I 能同时取最大值|A| 和最小值 |A| ，那么正整数的最小值为多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 解： (1)由图可知 :300A,周期 T=501)3001(60110022TT当3)3001(100,03001ttt即时故图象的解析式为:)3100sin(300tI(2)要使 t 在任意一段1001秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T1001即3.628200

12、10012由于为正整数 ,故的最小值为629 例 8：已知在ABC中，tA)6sin(（1）当22t时，求A值； （2）当t为何值时，A总有两个不同的值。解： （1）,0A，67,66A，22)6sin( A46A，或436A12A，或127A（2）作xysin在67,6上的图像，则可知当1 ,21t，A总有两个不同的值。例 9：如图，函数y=2sin(x+ ),xR,(其中 02)的图象与y 轴交于点（ 0，1）. ()求的值；()设 P 是图象上的最高点，M、N 是图象与 x 轴的交点，求.的夹角与PNPM解： （I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin1,即1sin.2因为02，所以

13、6. （II ）由函数2sin()6yx及其图像，得1MNPoyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - )0 ,65(),2,31(),0 ,61(NPM所以)2,21(PM，)2,21(PN从而cos,| |PM PNPM PNPMPNuu uu r u uu ruu uu r uu u ruuu u ruuu r1517，故,PM PNuuu u r uu u r15arccos17. 实战训练1、函数,|,|s

14、inxxxy的大致图象是（）y y y y - o x - o x - o x - o x - - -(A) (B) (C) (D) 2、函数xysin与xytan的图象在区间），（2上的交点有（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个3、已知)(xf是定义在)3 ,3(上的奇函数，当30 x时，)(xf的图象如图所示，那么不等式0cos)(xxf的解集是（）y (A) )3,2()1 ,0()2,3(B) )3,2()1 ,0()1,2(0 1 2 3 x (C) )3 ,1 ()1 , 0() 1,3(D) )3 , 1()1 ,0()2,3(4、图 04 是函数 y =2 si

15、n (x )（02，）的图象则 、的值是（）A1110，6B1110，6C2，6D2，65、函数 y=sin(2x+3)的图象是由函数y=sin2x 的图像（）A.向左平移3单位B.向右平移6单位C.向左平移65单位D.向右平移65单位6、要得到函数42cos3xy的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6x32A. 沿 x 轴向左平移8单位B. 沿 x 轴向

16、右平移8单位C. 沿 x 轴向左平移4单位D. 沿 x 轴向右平移4单位7. 若方程1cosaxx恰有两个解，则实数a的取值集合为（）A. 2222,33UB. 22, 00 ,UC. 22,D. 22,8.函数)0(tan)(wwxxf的图象的相邻两支截直线4y所得线段长为4，则)4(f的值是（）A0 B1 C-1 D49、关于正弦曲线回答下述问题：（1）把函数)43sin( xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，则所得的函数解析式子是_ ；（ 2）若函数)2| ,0,0()sin(ABxAy的最大值是22，最小值是2，最小正周期是32，图象

17、经过点（0，-42） ，则函数的解析式子是_；10已知函数)(xfy的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移2，这样得到的曲线和xysin2的图象相同，则已知函数)(xfy的解析式为 _. 11已知定义在区间2,3上的函数( )yfx的图象关于直线6x对称，当2,63x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf其图象如图所示. (1) 求函数)(xfy在32,的表达式；(2) 求方程22)(xf的解 . 12、 已知函数( )2 sin()4f xabxabZ， 当02x，时， ( )f x 的最大值为2 21（）求( )f x 的

18、解析式；（）由( )f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数( )yg x 的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由x y o ?1 6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 答案： CABC DADA 9、 （ 1）)8sin(xy；（ 2）22)63sin(223xy10、xxf2cos21)(11、解： （1）2,63x，21,2 ,1436TAT且( )sin()f xx过2(,0)3，则2,(

19、 )sin()333f xx当6x时，2,()sin()633333xfxx而函数( )yf x的图象关于直线6x对称，则( )()3f xfx即( )sin()sin33f xxx，6x2sin(),363( )sin,)6xxf xx x（ 2）当263x时，63x，2( )sin()32fxx35,3441212xx或或当6x时，22( )sin,sin22f xxx3,44x或35,441212x或为所求。12、解： （1）由02x，得 3444x，2sin142x， ， 当0b时，222 212abab， 与abZ，矛盾， 舍去 ；当0b时， 由2221ab，abZ，得12ab，(

20、)122sin4f xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - （ 2）能先将( )f x 的图象向右平移4个单位，再向上平移个单位，即得到奇数函数( )2 2 sing xx 的图象直击高考：1. （2008全国 I ） 为得到函数cos 23yx的图像，只需将函数sin 2yx的图像（ A ）A向左平移512个长度单位B向右平移512个长度单位C向左平移56个长度单位 D向右平移56个长度单位2. （ 2008 全

21、国II ）若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（ B ）A1 B2C3D2 3、 （ 2008 天津）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是 C （A）sin(2)3yx，xR（B）sin()26xy，xR（C）sin(2)3yx，xR（ D）sin(2)32yx，xR4. （ 2008 浙江）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是C （A） 0 （B） 1 （C）

22、2 （D）4 5.（2008 海南）已知函数 y=2sin( x+)( 0)在区间 0 ，2 的图像如右：那么=（ B ）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 6.（2008 广东）已知函数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的最大值是1，其图像经过点 13 2M，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - （ 1）求( )f x的解析式；（ 2）已知02，且3()5f，12()13f，求()f的值解：

23、 （1）依题意有1A，则( )sin()fxx，将点1(, )3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故( )sin()cos2f xxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1 ( ),sin1 ()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。7.（2009 浙江）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax的图象不可能是 ( ) 答案： D 【解析】对于振幅大于1 时，三角函数的周期为2,1,2TaTaQ，而 D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了28.(2009 山东 ) 将函数si

24、n 2yx的图象向左平移4个单位 , 再向上平移1 个单位 ,所得图象的函数解析式是( ). A.cos2yxB.22cosyxC.)42sin(1xyD.22sinyx【 解 析 】 :将 函 数sin 2yx的 图 象 向 左 平 移4个 单 位 ,得 到 函数sin 2()4yx即sin(2)cos22yxx的 图 象 ,再 向 上 平 移1 个 单 位 ,所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - -

25、- - - - - - - 21cos22cosyxx,故选 B. 答案 :B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.9.（2009 全国）若将函数)0)(4tan( xy的图像向右平移6个单位长度后，与函数)6tan( xy的图像重合，则的最小值为(A)61(B)41(C)31(D)21答案： D 解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出min=2110.（2009 辽宁）已知函数( )f x=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f= （A）23(B) 23(C)12(D) 12

26、【解析】由图象可得最小正周期为23于是 f(0) f(23),注意到23与2关于712对称所以 f(23) f(2)23【答案】 B 11.(2009 湖南 )将函数y=sinx的图象向左平移(0 2)的单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于（D）A6B56 C. 76 D.116【答案】：D【解析】 解析由函数sinyx向左平移的单位得到sin()yx的图象， 由条件知函数sin()yx可化 为 函 数sin()6yx，易知比 较各答案，只有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

27、 - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11sin()6yxsin()6x，所以选 D 项。12.（2009 天津） 已知函数( )sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为，为了得到函数( )cosg xx的图象，只要将( )yf x的图象A 向左平移8个单位长度B 向右平移8个单位长度C 向左平移4个单位长度D 向右平移4个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知2，所以)8(2cos)42cos()42(2cos)42sin()(xxxxxf，故选择A。13.（2009 江苏） 函数sin()yAx（,A为常数

28、，0,0A）在闭区间,0上的图象如图所示，则= .【解析】考查三角函数的周期知识。32T，23T，所以3，14. （ 2009宁 夏 海 南 ） 已 知 函 数( )2sin()f xx的 图 像 如 图 所 示 ， 则712f。【答案】 0 【解析】由图象知最小正周期T32（445）322，故3，又 x4时， f（x）0，即 243sin(）0，可得4，所以，712f2)41273sin(0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - -

29、 - - - - 15. （ 2009 年上海）当时10 x，不等式kxx2sin成立，则实数k的取值范围是_. 【答案】 k 1 【 解 析 】 作 出2sin1xy与kxy2的 图 象 ， 要 使 不 等 式kxx2sin成立，由图可知须k1。16.（2009 辽宁）已知函数( )sin()(0)f xx的图象如图所示，则【解析】由图象可得最小正周期为43T24323【答案】23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -