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1、学习好资料欢迎下载与整数相关的含参数方程的根问题本讲适合初中纵观近几年国内外各类初中数学竞赛，与整数相关的含参数函数、方程的整系数或整根问题常有出现，主要表现在三个方面：（ 1）已知方程含整根，求实系数问题.（2）已知整系数方程、方程实根分布情况求整系数 .(3) 整系数、整根问题. 在解决这一系列问题的时, 常会用到下列知识与处理技巧 : (1)韦达定理 ,根的判别式abxx21, acbabacxx4,442221. (2)若k为正整数常数 , xk仍为整数 , 则x为k的因数 . (3)1)(1(1byaxbyaxabxy(4)对于整数ba、, 若ba, 则1ba,若ba, 则1ba.
2、(5)若整数系数方程有有理根,则为完全平方数 . (6)系数含参数的方程中, 若系数和为0, 则1 为方程的根 . 下面从三个方面进行说明: 1.整根、实系数问题. 例 1. 设关于x的二次方程22)86(xkk22(264)4kkxk的两根都是整数， 求满足条件的所有实数k的值。 (2000 年全国初中数学竞赛) 讲解 : 设方程的两根为21xx 、, 由韦达定理得: 42242)6)(2(620286462623461428642221212221kkkkkkkkkxxxxkkkkkkkxx将代入消参数k得: 011211242212121xxxxxx, 则24)11( ,12) 1(21
3、21xxxx, 则121xx= 12,6, 4,3,2, 1, 又24)11(21xx, 则代入检验得仅有12121xx与-5 时112421xx为整数 , 当1321xx时, 521xx, 此时方程的0, 不满足题意 .当521xx时, 421xx, 方程为0542xx,1, 521xx, 36235k. 评注 : 凡出现含参数的实系数整根方程的题目时 , 常利用韦达定理将系数参数消掉转化名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - -
4、 - - 学习好资料欢迎下载为关于21xx 、的代数式为整数问题后，用数的整除原则来处理. 例 2: 试确定一切有理数r，使得关于x 的方程 rx2+(r+2)x+r -1=0 有且只有整数根. （2002年全国初中数学竞赛）讲解：（1）若 r=0，x=21，原方程无整数根（ 2）当r0 时， x1+x2=r2r=r21, x1x2=r1r=r11,两 式结 合 消去r 得 ：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2- 1)=7， 由x1、x2是整数得： r=31，r=1. 评注 : 消实参数r后, 此类问题一般转化为含21xx、二个变量的不定方程的整根问题,利用因式分解
5、求解. )(dbycaxcdbcyadxabxy其中关键是根据xy,yx,的系数进行分解. 2.整系数、有理根相关问题. 例 3: 当 x 为何有理数时， 代数式 9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998年山东数学竞赛试题）讲解 :设此二正偶数分别为2,kk,则)2(22392kkxx,即关于k的整系数方程)2239(222xxkk=0 有有理根 , 1823x,则存在整数l使2221)1(9423lk,由k为正整数 ,则l与均为整数 , 1135565)66(22kl,则11366566klkl或56566166klkl598lk或46283lk294112xx或17913
6、12xx,所以x的值可为913,941,2,-17. 评注 :整系数方程的有理根问题,从判别式入手,由acb42为完全平方数,通过分解因式穷举 ,逼近求解 . 例 4:已知cb,为整数，方程052cbxx的两根都大于1 且小于 0，求c和b的值。(1999 年全国初中数学联赛) 讲解 :由题意我们可以画出函数的大致图象, x-10令cbxxxf25)(,则0(1)0(0)01010ff b22014010bccc bb)4(2021491bbcbcb201020202bcb5b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
7、精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1,2025cc. 评注 :对于二次函数根的分布问题,一般可根据函数的开口方向,根的分布范围所在的端点处的函数值的正负,对称轴所在的范围及0得到参数应满足的条件. 对于整数的大小关系常用性质(4)进行更为准确的放缩后用穷举法解决问题. 3.整系数、整根问题. 例 5: k为什么整数时，方程的解都是整数.(1995年上东数学竞赛试题) 讲解 :(1) 6k时, 2x.(2) 9k时, 3x.(3)当96kk且时,设方程的两根为21xx 、,则)9)(6(15117)9)(6(542
8、121kkkxxkkxx，由21,xx都是整数，则1)9)(6(54kk54)9)(6(kk，则150k， 将k的各整数值代入)9)(6(15117kkk后，仅有k=3时)9)(6(15117kkk为整数，此时3, 121xx综上所述 , k的值可为 6、9、-3. 评注 :此题由于判别式的形式比较复杂,若讨论为完全平方数比较麻烦,由韦达定理消掉k似乎无从下手 , k的次数又为二次,用常用方法似乎都行不通,所以我们利用根均为整数对整个范围进行估计,求出k的范围后 ,用穷举法检验求出k的值. 例 6:求一切实数p,使得三次方程pxpxpx661)171()1(5523的三个根都是自然数.(全国高
9、中数学联赛) 讲解 :仔细观察发现方程的系数和为恰为0, 1x是方程的根，0)1665512ppxxx）（，即0166552ppxx的根为自然数，从而转化为二次函数根为整数问题，pxxpxx21215166，所以p为自然数，消p有0)(66152121xxxx，则192294351)665)(665(21xx，由21xx、为整数，则2296651966512xx1x2x=76，也可将p视为主元，xxp566512，再讨论x取何值时p为整数 .也可由为完全平方数求p的值. 评注：此题从表面上看p是实数 .但由韦达定理很容易发现p为自然数 .对于整系数整根问题可以用判别式为完全平方数、消参数转化为
10、不定方程处理.当参数的次数为一次且为整数时， 转化为以参数为主元的一次方程整根处理的方法求解判定参数的值. 练习题1.a是大于零的实数, 已知存在唯一的实数k, 使得关于x的方程：01999)(222akkxakkx的两根为质数 , 求 a 的值 . （全国初中数学竞赛）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( 提示 : 由,1999x.,x221221akkxakkx消掉参数ak,后分解因数处理 .
11、) 2. 已知 a、b、 c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若 A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值（1996 年全国初中数学联赛）( 提示 : 由例 4 的方法先估计cba,的范围 ) 3. 已知方程0324622nnxx的根都是整数，求整数n. （2004 年全国初中数学联赛）(提示 : 由为完全平方数分解的因式 )4.试求所有的整数a，使得关于x 的一元二次方程0)94(8265222aaxaax的两根皆为整数. （中等数学2007 年第十期）(提示 :由及21xx为完全平方数 ) 4.设 m 是整数，且方程3x2mx2=0 的两根都大于
12、59而小于73，则m=_.(2003 年全国初中数学联赛) ( 提示 :由0,9()05f及3( )07f及对称轴范围先求出m的范围 ) 6. 关于 x 的方程0112xkkx有有理根，求整数k 的值 .（2001 年全国初中数学联赛）(提示 :由为完全平方数分解因式处理求k的值 ) 7.已 知a是 正 整数 ， 如 果 关于x的 方 程056)38()17(23xaxax的 根都是整数，求a的值及方程的整数根.(2007年全国初中数学联赛) (提示 :由11x是方程的根转化为二次方程的整系数整根问题,类似例 6 的方法 ) 8. 设a是 正 整 数 ， 如 果 二 次 函 数axaxy710
13、)232(22和 反 比 例函数xay311的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点.(2007 年全国初中数学联赛) (提示 :将已知两函数联立方程组后得到关于x的 三 次 方 程 , 将 三 次 方 程 分 解 为0311)12()12(2axaxx, 转化 为 整 系 数 整 根 问 题 . 或 得 到 三 次 方 程0113)710()232(223axaxax后 , 将a视 为 主 元 看 成 关 于a的 一 次 函数,3x时,a不是整数 , 32222310113273xxxxaxx时，=56153xx,只需讨论563x为整数时相应y的值是否整数即可.) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -