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1、F S n格林定理设 V 是被闭合面 S包围的区域， 按照散度定理， 对于任意矢量 F，有VSdVdFF S（2-18）如令F（2-19）式中和都是标量函数， 它们在体积 V 内和表面 S上具有连续的一阶和二阶导数，则()VsdVdVdFS（2-20）把上式中的散度展开成2()（2-21）可得2vvsd Vd S（2-22）上式称为格林第一公式。如果把式（ 2-19）等号右边两个标量函数的位置加以交换，即令F（2-23）显然可得2vvsdVdVdS（2-24）从式（ 2-24）减去（ 2-22） ，有22()()vSdVdS（2-25）上式即为格林定理的表达式，又称格林第二恒等式。如令ddSS
2、n,并注意到nn和nn，则式（ 2-25）可写成22()()vsdVdSnn（2-26）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 格林函数的的应用0S1用格林定理来证明静电场问题解答的惟一性图为一充满均匀介质（介电常数为）和置有 n 个导体的场域。场域空间 V 的边界为12nSSS、及外边界0S。设 V 中存在两个电位函数1和2，在给定第一类和第二类边值时，均满足泊松方程，即：21=-，22=-令12d，显然，取决于算符2
3、是线性算符，因此2=0d而在导体的边界上，电位是规定的，故必有=0d利用场论中的格林公式， ，对已知的任意两个连续可导的标量函数和应有2()dVSdVdSn若令=d，代入上式得2()ddVSdVdSn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 如图所示，上式中包围的场域V 的边界面012nSSSSS。因此，如果所设的这两个不同的电位函数的解答1和2，在全部边界面上都有相同的第一类边值，即12=1 S2 S|ii给定值（i=0
4、,1，n） ，或相同的第二类边值，即12SS|iinn给定值， 则它们在相应边界面iS上的差值d S|0i或dS|0in，则有2()0dVdV由于上式中被积函数2()d恒为正值，所以只有d恒为零时，上式才成立。场域 V 内d的梯度处处为零，即意味着 V 内所有场点上的d值与其在各导体表面12nSSS、上的值是相同的。因此，就第一类边值问题而言，由于在导体表面上已知d=0，故在整个场域内必有d=0。由此得证12=，即只有唯一可能的解答名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -