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1、1 解析“函数的应用”中“函数关系式”的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是新课标关于函数目标的一段描述。因此，“函数建模及其应用”类试题，在全国各地中考试卷中备受青睐。而建模的首要是建立函数关系式。但在不同类型题目面前,不少同学往往感到手足无措,不能迅速找到解题思路.本文就近几年各地中考精典试题为例，着重系统解析“函数关系式”的建立方法I.待定系数法所谓待定系数法，就是先设出函数解析式的一般形式，通过给定的函数图象上的点的坐标，将其代入函数解析式，求出待定系数的值，最后写出函数的解析式。一般包括四个步骤：一设二代三解四写，这种方法适用于已知了函数类
2、型（或函数图象）的一类函数建模问题，(2011 江苏南京，22，7 分)小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2 倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min设小亮出发x min 后行走的路程为 y m 图中的折线表示小亮在整个行走过程中 y 与 x 的函数关系 小 亮 行 走 的 总 路 程 是 _，他 途 中 休 息 了_min名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -2 当 50 x80 时，求 y 与 x 的函数关系式；当小颖到达缆车终
3、点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】解：3600，20当时，设 y 与 x 的函数关系式为根据题意，当时，；当，所以，y 与 x 的函数关系式为缆车到山顶的路线长为36002=1800（），缆车到达终点所需时间为18001800（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -3 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为105060（）把代入，得 y=5560800=2500所以，当 小颖 到达缆 车 终点时，小亮离 缆 车终 点 的 路程是3600-2500=1100（）点评：根据函数图象，确定函数的类型为一次函数，通过图象上的两点坐标，（50,1950）和（
4、80,3600），代入函数关系式求出待定系数，从而求解出本题。(2011 重庆，25 截选，)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份 x（1x9，且 x 取整数）之间的函数关系如下表：月份 x123456789价格 y（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，答案：y=540+20 x(1X9 且 x 取正数
5、)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4 点评：本题可以将已知的各组对应值分别作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出相应的点，观察点的分布情况，猜想函数类型，求出其关系式，并将其余对应值代入验证。我们称之为描点画图法。也可以分析所给数据的变化特征，直接猜想函数类型，求出关系式，并将其余对应值代入验证。我们称之为数据特征法。II.直接列式法所谓直接列式法，就是根据题目中所给出的有关计算公式，或我们平时经常运用的公式，比如总价=单价数量利润=售价成本路程=速度时间等等，直接列出有关代数式，进而求解函数关系式。(2010 河北，26，12 分)某公司销售一种新型
6、节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格 y（元/件）与月销量 x（件）的函数关系式为 y=x150，成本为 20 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500 元，设月利润为w内（元）（利润=销售额成本广告费）若只在国外销售，销售价格为 150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a 为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额成本附加费）（1）当 x=1000时，y=元/件，w内=元；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -5（2）分别求出
7、 w内，w外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是解：（1）140 57500；（2）w内=x（y-20）-62500=x2130 x，w外=x2（150）x（3）当 x=6500时，w内最大；分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -6 由题意得，解得 a1=30，a2=270（不合题意
8、，舍去）所以a=30（4）当 x=5000时，w内=337500，w外=若 w内 w外，则 a32.5；若 w内=w外，则 a=32.5；若 w内 w外，则 a32.5所以，当 10 a 32.5时，选择在国外销售；当 a=32.5时，在国外和国内销售都一样；当 32.5 a 40 时，选择在国内销售点评：本题的关键是第2 问，如何求解 w内，w外与 x 间的函数关系式。根据题目中给出的计算公式（w内=销售额成本广告费w外=销售额成本附加费）我们可分别用代数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -7 式表示出国内销售额=每件销售价格月销售量=yx,成本=每件成
9、本月销售量=20 x；国外销售额=150 x,成本=ax,然后代入计算公式，进而列出函数关系式求解。III.等式（方程）导出法这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系”类函数建模题。(2009 河北，25，12 分)某公司装修需用 A 型板材 240块、B 型板材 180 块，A 型板材规格是 60 cm 30 cm，B 型板材规格是 40 cm 30 cm现只能购得规格是150 cm 30 cm的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15 是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页
10、 -8 A 型板材块数1 2 0 B 型板材块数2 mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A、B 两种型号的板材刚好够用（1）上表中，m=，n=；（2）分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式；（3）若用 Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与 x 的函数关系式，并指出当 x 取何值时 Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？解：（1）0，3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -9（2）由题意，得，（3）由题意，得整理，得由题意，得解得x90【注：事实上，0 x90 且 x 是 6 的整数
11、倍】由一次函数的性质可知，当x=90 时，Q 最小名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -10 此时按三种裁法分别裁90 张、75 张、0 张点评：要求解 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式，根据题目中所隐含的等量关系：按裁法一所截A 型板材块数 x按裁法二所截A 型板材块数 2y=A 型板材总块数 240；按裁法一所截 B 型板材块数 2x按裁法三所截 B 型板材块数 3z=B 型板材总块数 180；列出等量关系式（方程）。进而导出函数关系式。通过以上几例不难看出，在函数建模及其应用类问题中，关键是要审清题意，依据题目所给的条件，合理选择适当的方法，从而列出函数解析式求解问题。因此，教师和学生在平时的教学学习和复习中，要经常结合此类题型，教给学生解决此类问题的方法。唯有如此，学生在中考中遇到此类问题时才会有思路，有方法，才能在中考中立于不败之地。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -