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1、注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第1 页）试 题2015 年 2016 年 第 一 学期课程名称：复变函数与积分变换专业年级：考生学号：考生姓名：试卷类型：A 卷 B 卷 考试方式 : 开卷闭卷 一、单项选择题。 （每小题 3 分，共 15 分）1设iiz11，则20105zzz的值等于（）A. 1B. 1C. iD. i2设1zei，则Im( )z的值等于（）A4B4C24kD24k3下列函数中为解析函数的是（）AzBRe( )zzCzeDcoszz4设
2、0z是函数21( )sinzmef zzz的3阶极点，那么m的值为（）A5 B4 C3 D2 5傅里叶积分定理要求( )f t在任何有限区间上连续或者只有（）A. 有限多个第一类间断点B. 无限多个第一类间断点C. 有限多个间断点D. 有限多个第二类间断点二、填空题。（每小题3 分，共 21 分）6设12( )1,23 ,2,f zzzizi则12fzz_. 722( )f zx yix，则( )fi_8幂级数12nnnnz的收敛半径为 _. 9设 C 为从原点到点12i+的直线段，则2Czdz=_.10函数1( )zf zze在孤立奇点0z处的留数为 _11设( )f t是一个无穷次可微函数
3、，( ) t为单位脉冲函数，那么( )( )dt f tt_12积分30cos2tetdt的值为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第2 页）三、计算题。（每小题8 分，共 16 分）13将复数)1)(3()1)(3(iiiiz化为三角形式与指
4、数形式. 14. 利用留数计算积分21ixxedxx. 四、计算下列复变函数的积分。（每小题 8 分，共 16 分）15设 C 为正向圆周2z，计算积分23(1)zCedzz. 16. 设 C 表示正向圆周1z，计算积分1sinCdzz. 五、解答题。（每小题8 分，共 16 分）17试证函数22uxyx是调和函数，并求函数( , )v x y，使得( )( ,)( ,)f zu x yiv x y为解析函数，且满足( )1f i18将函数21( )(1)f zzz分别在圆环域 （1）10z；（2）11z内展开为洛朗级数 （8分）六、解答题。（每小题8 分，共 16 分）19设函数)(tf的傅
5、里叶变换为)(F，求函数2(2 )t ft的傅里叶变换 . 20利用 Laplace 变换求解常微分方程43(0)(0)1tyyyeyy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第3 页）2015 20161 复变函数与积分变换A 卷 参考答案一、单项
6、选择题。 （每小题 3 分，共 15 分）1C 2D 3D 4B 5A 二、填空题。（每小题3 分，共 21 分）61+4i 70 82 9 5 101/2 11(0)f123/13 三、计算题。（每小题8 分，共 16 分）13解 : 将z的分子与分母同乘以)1)(3(ii，得22( 3) (1)(22 3 )( 2 )318223122iiiiziii， （4 分）所以，1z，6)33arctan(arg z. （6 分）从而得到z的三角形式与指数形式：ieiz6)6sin()6cos(. （8 分）14. 解：由于21izez在上半平面有且仅有一个孤立奇点zi，因此 （3 分）iezze
7、iizzesidxxxeizizizix12222,1Re21. （8 分）四、计算下列复变函数的积分（每小题8 分，共 16 分）15解：由于1z在圆周2z的内部，故由高阶导数公式得 (2 分)原式212()2!zziep=24 iep=. (8 分)16. 解：1sin z在1z内仅有一个奇点0z，为1sin z的 1 阶极点 . (2 分)所以，由留数定理得112Re , 0sinsinCdziszz (5 分)02lim2sinzziiz. (8 分)五、解答题。（本大题共2 小题，每小题8 分，共 16 分）17解：由于222ux，222uy，22220uuxy，因此22uxyx是调
8、和函数 （2 分）因为( )212uvfzixyixx2()121xyiz （5 分）故2( )( )(21)f zfz dzzdzzzC （ 7 分）又由( )1f i得Ci，2( )f zzzi或22( )(21)f zxyxxyyi（8 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、
9、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第4 页）18解：在圆环域10z中，12111(1)1nnnzzz￥-=骣?=?桫-? (3 分)故21( )(1)f zzz21nnnz￥-=? (4 分)在圆环域11z中，111(1)zz01(1) (1)1nnnzz￥-=-?10(1) (1)nnnz￥-=-? (6 分)故21( )(1)f zzz1201(1) (1)(1)nnnzz￥-=-?30(1) (1)nnnz￥-=-? (8 分)六、 （本大题共2 小题，每小题8 分，共 16 分）19解：首先 , 由相似性质1(2 )(),22ftFF （ 4 分）再由像函数的微分性质得1(2 )()
10、22dtftiFdF. （ 6 分）22222211(2 )()()2222ddt ftiFFddF （8 分）20解：原方程两边取Laplace 变换，得21( )(0)(0)4( )(0)3 ( )1s Y ssyysY syY ss， （ 3 分）将(0)(0)1yy带入得：2266( )(1) (3)ssY sss （5 分）27134(1)2(1)4(3)sss求拉氏逆变换得原方程的解为3713( )(),0424tty tt eet. （8 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -