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1、1 1 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义2会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1. 函数 f(x) 在区间 x1，x2上的平均变化率为yx_. 2平均变化率另一种表示形式：设xxx0，则yx_，表示函数 yf(x) 从 x0到 x 的平均变化率 . 1.f x2 f x1x2 x1答案2.f x0 x f x0 x名师讲解 1.如何理解 x，y 的含义x 表示自变量 x 的改变量，即 xx2x1；y 表示函数值的改变量，即 yf(x2)f(x1) 2 求平均变化率的步骤求函数 yf(x) 在x1，x2 内的平均变化率(
2、1) 先计算函数的增量 yf(x2) f(x1)(2) 计算自变量的增量 xx2x1. (3) 得平均变化率yxfx2fx1x2x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页2 2对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确如函数ysinx 在区间 0， 上的平均变化率为 0，而在0 ，2 上的平均变化率为sin2sin0202. 在平均变化率的意义中，f(x2) f(x1)的值可正、可负，也可以为零但 xx2x10. 典例剖析题型一求函数的平均变化率例 1 一物
3、体做直线运动，其路程与时间t 的关系是 S3t t2. (1) 求此物体的初速度；(2) 求 t 0 到 t 1 的平均速度分析t 0 时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量SS(1) S(0) ，再求时间改变量 t 101. 求商St就可以得到平均速度解(1) 由于 vSt3t t2t3t. 当 t 0 时，v03，即为初速度(2) SS(1) S(0) 311202 t 101 v St212. 从 t 0 到 t 1 的平均速度为 2. 误区警示本题1不要认为 t 0 时，S0. 所以初速度是零 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
4、- - -第 2 页，共 32 页3 3变式训练 1 已知函数 f(x) x2x 的图像上一点 (1， 2)及邻近一点 (1x，2y) ，则yx( ) A3 B3x(x)2C3( x)2D3x 解析yf( 1x) f( 1) (1x)2(1x) (2) (x)23x. yxx23xxx3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较例 2 求正弦函数 ysinx 在 0 到6之间及3到2之间的平均变化率并比较大小分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小解设 ysinx 在 0 到6之间的变化率为 k1，则k1sin6sin0603. ysinx 在3到2之间的平均变化率为k2，则 k
5、2sin2sin3231326323. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页4 4k1k233233310，k1k2. 答：函数 ysinx 在 0 到6之间的平均变化率为3，在3到2之间的平均变化率为323，且3323. 变式训练 2 试比较余弦函数 ycosx 在 0 到3之间和3到2之间的平均变化率的大小解设函数 ycosx 在 0 到3之间的平均变化率是k1，则 k1cos3cos03032. 函数 ycosx 在3到2之间的平均变化率是k2，则 k2cos2cos3233. k1k232(3) 320，k1
6、k2. 函数 ycosx 在 0到3之间的平均变化率大于在3到2之间的平均变化率题型三平均变化率的应用例 3 已知一物体的运动方程为s(t) t22t 3，求物体在 t1 到 t 1t 这段时间内的平均速度分析由物体运动方程 写出位移变化量 sst精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页5 5解物体在 t 1 到 t1t这段时间内的位移增量ss(1 t) s(1) (1 t)22(1t) 3 (12213) (t)24t.物体在 t 1 到 t 1t这段时间内的平均速度为stt24tt4t.变式训练 3 一质点作匀速直线
7、运动， 其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)t21，该质点在 2,2 t( t0) 上的平均速度不大于5，求t的取值范围解质点在 2,2 t 上的平均速度为vs2ts2t2t21 221t4t t2t4t. 又 v5，4t5. t 1，又t0，t 的取值范围为 (0,1. 1.1 函数的单调性与极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页6 61.1.2 导数的概念自学引导 1. 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景2了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数3掌握函数 f(x)
8、 在某一点 x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数 . 课前热身1. 瞬时速度设物体的运动方程为SS(t) ，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0) ，在时刻 t0t 这段时间内，物体的位置增量是SS(t0t) S(t0)那么位置增量 S与时间增量 t 的比，就是这段时间内物体的 _，即 v St0tSt0t. 当这段时间很短，即 t 很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度 t 越小， v 就越接近于时刻 t0的速度，当 t 0 时，这个平均速度的极限vlim t 0Stlimt 0St0tSt0t就是物体在时刻 t0的速度即为 _ 2 导数的概念设函数 yf
9、(x) 在区间(a ，b) 上有定义， x0(a ，b) ，当x 无限趋近 0 时，比值yxfx0 xfx0 x无限趋近于一个常数A， 这个常数 A就是函数 f(x) 在点 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页7 7|x x0. 用符号语言表达为f (x0)lim x0yx_ 1. 平均速度瞬时速度答案2.limx0f x0 x f x0 x名师讲解1. 求瞬时速度的步骤(1) 求位移增量 SS(t t) S(t) ；(2) 求平均速度 v St；(3) 求极限limt 0Stl
10、imt 0St tStt；(4) 若极限存在，则瞬时速度vlimt 0St. 2导数还可以如下定义一般地，函数 yf(x) 在 xx0处的瞬时变化率是 lim x 0fx0 xfx0 xlimx 0yx. 我们称它为函数 yf(x) 在 xx0处的导数记作 f (x0)或 y|x x0，即 f (x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x. 3对导数概念的理解(1) “导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32
11、 页8 8我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义(2) 某点导数即为函数在这点的变化率某点导数概念包含着两层含义：limx 0yx存在， 则称 f(x) 在 xx0处可导并且导数即为极限值；limx 0yx不存在，则称 f(x) 在 xx0处不可导(3) x 称为自变量 x 的增量，x 可取正值也可取负值， 但不可以为 0. (4) 令 xx0 x，得xxx0，于是f (x0) limxx0fxfx0 xx0与定义中的 f (x0)limx 0fx0 xfx0 x意义相同 4 求函数 yf(x) 在点 x0处的导数的步骤(1) 求函数的增量： yf(x0 x)f(x0)；(2) 求平均变
12、化率：yxfx0 xfx0 x；(3) 取极限，得导数： f (x0)lim x0yx. 典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例 1 以初速度 v0(v00)竖直上抛的物体， t 秒时高度为 s(t) v0t 12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度分析先求出 s，再用定义求st，当 t 0 时的极限值解sv0(t0t) 12g(t0t)2(v0t012gt20) (v0gt0)t 12g(t)2，stv0gt012gt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页9 9当 t 0 时，stv0gt0. 故物体在时刻 t0处的
13、瞬时速度为v0gt0. 规律技巧瞬时速度 v 是平均速度 v 在t0 时的极限 . 因此，vlimt 0v limt 0st. 变式训练 1 一作直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是 s5t t2，求此物体在 t 2 时的瞬时速度。解s5(2t) (2t)2(5222) t ( t)2，st1t. vlimt 0stlimt 0 (1 t) 1. 物体在 t 2 时的瞬时速度为1. 题型二求函数在某点处的导数例 2 求函数 yx在 x1 处的导数分析根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法解法 1 y1x1，yx1x1xxx1x111x1. limx 0yxlim x011x11
14、2. y|x112. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页10 1 0解法 2 ( 先求导数，再求导数值 ) yxxx，yxxxxx1xxx. y limx01xxx12 x. y|x112. 规律技巧求函数 yfx在 xx0处的导数有两种方法： 一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值. 变式训练 2 利用定义求函数yx1x的导数，并据此求函数在x1处的导数解y(x x) 1xx(x 1x) yx11xxx，ylimx 0yxlimx 01 1xxx 11x2. y|x111120. xxxxx，题型三导数的应用精
15、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页11 1 1例 3 某物体按照 s(t) 3t22t 4 的规律作直线运动， 求自运动开始到 4s 时，物体运动的平均速度和4s 时的瞬时速度分析解答本题，可先求自运动开始到ts 时的平均速度 v(t) 及函数值的增量 s，自变量的增量 t ，再利用公式求解即可解自运动开始到 ts 时，物体运动的平均速度v(t) stt3t 24t，故前 4 秒物体的平均速度为v(t) 3424415. 由于 s3(t t)22(t t) 4(3t22t 4) (26t) t 3(t)2，st26
16、t 3t. limt 0st26t. 4s 时物体的瞬时速度为26426. 规律技巧导数的物理意义：1若已知位移 s 与时间 t 的函数关系 sst，则在 t0时刻的瞬时速度 vst0；2若已知速度 v 与时间 t 的函数关系 vvt，则在 t0时刻的瞬时加速度avt0. 变式训练 3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为h(t) 100t12gt2，试求小球何时瞬时速度为0(g9.8) 解小球的运动方程为h(t) 100t12gt2，h100(t t) 12g(t t)2 (100t 12gt2) lim t 0ht100gt ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
17、 - - - - - - -第 11 页，共 32 页12 1 2令 100gt 0，得 t 100g1009.810.2(s) 因此，小球被上抛10.2s 时速度变为 0. 100t gtt12g( t)2. 例 4 已知质点 M按规律 sat23(单位：cm)做直线运动，且质点 M在 t 2s 时的瞬时速度为 8cm/s，求 a 的值分析这是一道逆向思维的题目， 知导数 s|t 28，求系数 a，先对 s 求导，可得含 a 的方程解出 a 即可解sa(2t)23(a 223) 4a ta(t)2limt 0stlim t 0 (4a at) 4a. 依题意有 4a8，a2. 变式训练 4
18、已知 f(x) axb，且 f (1) 2，求实数 a 的值解yf(1 x) f(1) a(1x) b(ab) ax. f (1) lim x 0yxlimx0aa. 又 f (1) 2，a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页13 1 3 1.1 函数的单调性与极值 1.1.3 导数的几何意义自学引导1. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义2会求函数在点 (x0，y0) 处的切线方程 . 课前热身1. 几何意义： f(x) 在 xx0处的导数 f(x0)即为 f(x) 所表示的曲线在 xx0处的切线的斜率
19、，即kf (x0)limx0fx0 xfx0 x. 过点(x0，f(x0) 的切线方程为 _ 2 物理意义：如果把函数yf(x) 看作是物体的运动方程 ( 或叫位移公式 )，那么导数 f (x0) 表示运动物体在时刻t0的速度，即在x0的_即 vx0f (x0) limx 0yx. 3 如果 f(x) 在开区间 (a，b)内每一点 x 的导数都存在，那么称f(x) 在区间 (a ，b)内可导这样对开区间 (a，b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数f (x) ，于是在区间 (a，b)内 f (x) 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x) 的_，记为_，简称为_今后，如不特别指明某
20、一点的导数，求导数就是指求导函数 . 答案1.y f(x0)f (x0)(x x0) 2. 瞬时速度3. 导函数f (x)( 或 yx、y) 导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页14 1 4名师讲解1. “函数 f(x) 在点 x0处的导数”、 “导函数”、 “导数”三者之间的区别与联系：“函数 f(x) 在点 x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数” ，是一个函数所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值 2可以利用导数求曲线的切线方程由于函数yf(x) 在 xx0处的
21、导数，表示曲线在点P(x0，f(x0) 处的切线的斜率因此，曲线 yf(x) 在点 P(x0，f(x0) 处的切线方程可如下求得：(1) 求出 f (x0) ，则 f(x0)就是点 P(x0，f(x0) 处的切线的斜率 (2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为yf(x0)f (x0)(x x0) 如果曲线 yf(x) 在点 P(x0， f(x0) 处的切线平行于y 轴时( 此时导数不存在 )，切线方程为 xx0. 典例剖析题型一求曲线上某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：yx3. (1) 求曲线 C上横坐标为 1 的点处的切线方程；(2) 第(1) 小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点分
22、析先求出函数 yx3在 x1 处的导数，即切线的斜率， 然后写出切线方程，最后列方程看交点个数解(1) 将 x1 代入曲线 C的方程得 y1，切点 P(1,1) ylimx 0yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页15 1 5limx 0 xx3x3xlimx 03x2x3xx2x3xlimx 03x23xx( x)2 3x2，y|x 13. 过 P点的切线方程为y13(x1) ，即 3xy20. (2) 由y3x11yx3可得(x 1)(x2x2)0，解得 x11，x22，从而求得公共点为P(1,1) 或 P(
23、2，8) 说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点规律技巧先求出函数 yfx在 xx0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程. 变式训练 1 求双曲线 y1x在点(12，2) 处的切线的斜率， 并写出切线方程解y1x，klimx0yxlimx 01xx1xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页16 1 6limx 01x2xx1x2. 当 x12时，k4，切线斜率为 k4. 切线方程为 y24(x12)，即 4xy40. 题型二求过某点的切线方程例 2 求抛物线 yx2
24、过点(52，6)的切线方程分析点(52，6) 不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程解设此切线在抛物线上的切点为(x0，x20)，则y|x x0limx 0 x0 x2x20 xlim x0 (2x0 x) 2x0，x206x0522x0，即 x205x060，解得x02，或 x03. 即切线经过抛物线yx2上的点 (2,4) ，(3,9) 故切线方程分别为y44(x 2)，y96(x 3)，即 4xy40，或 6xy90 为所求的切线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，
25、共 32 页17 1 7规律技巧求切线方程时， 注意两种说法： 一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解. 变式训练 2 求抛物线 y14x2过点(4，74)的切线方程解设切线在抛物线上的切点为(x0，14x20)，y|x x0limx 014x0 x214x20 xlimx 0 (12x014x) 12x0. 14x2074x0412x0. 即 x208x070，解得 x07，或 x01，即切线过抛物线y14x2上的点(7 ，494) ，(1 ，14) ，故切线方程分别为y49472(x7)，或 y1412
26、(x 1)，化简得 14x4y490，或 2x4y10，此即所求的切线方程题型三导数几何意义的综合应用例 3 求曲线 yx2在点(3,9) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积分析由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算解y(3 x)232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页18 1 86x(x)2，f (3) lim x 0yxlimx0 (6 x) 6. 点(3,9) 处的切线方程为 y96(x3)，即 y6x9. 切线与两坐标轴的交点分别
27、为(32，0)，(0 ，9)切线与两坐标轴围成的三角形面积为S12329274. 变式训练 3 在曲线 yx2上求一点 P，使过点 P的切线与直线 y4x5 平行解设 P(x0，x20)，则 f (x0)lim x0yxlimx 0 x0 x2x20 xlimx 0 (2x0 x) 2x0. 由题意可得2x04，x02. 故点 P的坐标为 (2,4). 1.2 导数的计算1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则自学引导 1.能根据导数的定义，会求函数yc，yx，yx2，yx3，y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 3
28、2 页19 1 91x，yx的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数 . 课前热身 1. 基本初等函数的导数公式 . 原函数导函数(1)f(x)c f (x) _ (2)f(x)xn(nQ) f (x) _ (3)f(x)sinx f (x) _ (4)f(x)cosx f (x) _ (5)f(x)axf (x) _ 原函数导函数(6)f(x)exf (x) _ (7)f(x)logax f (x) _ (8)f(x)lnx f (x) _ 2. 导数的运算法则(1)f(x)g(x) _；(2)f(x)g(x) _；(3)fxgx _. 精选学习资料 - -
29、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页20 2 0答案1.(1)0 (2)nxn1(3)cosx(4)sinx(5)axlna(a0) (6)ex(7)1xlna(a0，且 a1) (8)1x答案2.(1)f(x) g(x)(2)f (x)g(x)f(x)g (x)(3)f xgxfxgxgx2(g(x) 0)名师讲解(3) 公式中 nQ ，但对于 nR公式也成立(4) 特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页21 2
30、 12两函数和差的求导法则的推广(1)f(x)g(x) f (x) g(x) 此法则可以推广到有限个可导函数的情形f1(x) f2(x) fn(x) f1(x) f2(x) fn(x) (2)af(x)bg(x) af (x) bg(x)(a ，b 为常数) 3两函数商的求导法则fxgxf xgxfxgxg2x(g(x) 0) ，当 f(x) 1 时，则有1gxgxg2x(g(x) 0)这是一个函数倒数的求导法则 4 求导运算的技巧在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量. 题型一求
31、导函数例 1 求下列函数的导数(1)y x12；(2)y 1x3；(3)y 3x2. 分析这三个小题都可归为xn类，用公式 (xn)nxn1完成典例剖析解(1)y (x12)12x12 112x11. (2)y (1x3)(x 3) 3x313x4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页22 2 2变式训练 1 求下列函数的导数(1)f(x)10 x；(2)f(x)log2x；(3)g(t)et. 解(1)f (x) (10 x) 10 xln10. (2)f (x) (log2x) 1xln2. (3)g (t)
32、 (et)et. 题型二求函数在某点处的导数例 2 (1) 求函数 yax，在点 P(3，f(3)处的导数；(2) 求函数 ylnx 在点 Q(5，ln5) 处的导数分析先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值解(1) yax，y(ax)axlna. 则 y|x 3a3lna. (2) ylnx ，y(lnx) 1x. 则 y|x 515. 规律技巧求函数在某定点点在函数曲线上的导数，一般过程是：先求导函数；把定点的横坐标代入导函数求出导数值. 变式训练 2 求下列函数在某点处的导数(1)y logax，x2；(2)y cosx，x4；(3)y 2x33x，x1；精选学习资料 - -
33、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页23 2 3(4)y sinx ，x3. 解(1) ylogax，y1xlna. 则 y|x 212lna. (2) ycosx，y sinx. 则 y|x 4sin422. 则 y|x 1613193. (4) ysinx ，ycosx. 则 y|x 3cos312. 题型三利用运算法则求导数例 3 求下列函数的导数(1)y x2sinx cosx；(2)y lnxx1；(3)f(x)(x31)(2x28x5) ；(4)f(x)1x1x1x1x . 分析对于(1) 、(2) 可以利用公式直接求导，
34、 (3) 、(4) 先化简再求导解(1)y (x2sinx cosx) (x2sinx) (cosx) 2xsinx x2cosxsinx (2x1)sinx x2cosx. (2)y (lnxx1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页24 2 41xx1lnxx121lnx 1xx12xxlnx 1xx12. (3) f(x) (x31)(2x28x5) 2x58x45x32x28x5 f (x) (2x58x45x32x28x5) 10 x432x315x24x8. (4) f(x) 1x1x1x1x1x21x
35、1x21x21x1x41x2，f (x) (41x2) 41x41x1x241x2. 规律技巧运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数 yf(x) 的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导变式训练 3 求下列函数的导数(1)y tanx ；(2)y 11x11x；(3)y 1sinx2cosx2；(4)y xx12x. 解(1)y tanx sinxcosx，y(sinxcosx)sinxcosxsinxcosxcos2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页25 2 5cos2xsin
36、2xcos2x1cos2x. (2) y11x11x21x，y(21x)21x1x221x2. (3) y1sinx2cosx2112sinx ，y(112sinx) 12cosx. (4)y (xx1)(2x)x1xx122xln2 1x122xln2. 题型四求切线方程例 4 求过点(1 ，1)的曲线 yx32x 的切线方程分析点(1，1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点解设 P(x0，y0) 为切点，则切线的斜率为f (x0)3x202，故切线方程为 yy0(3x202)(x x0)，即 y(x302x0)(3x202)(x x0)，又知切线过点 (1，1)代入上述方程，得1
37、(x302x0)(3x202)(1 x0) ，解得 x01，或 x012，切点为 (1，1)或(12，78)故所求的切线方程为y1x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页26 2 6或 y7854(x 12)，即 xy20，或 5x4y10. 规律技巧1在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程 . 在点 P处的切线，一定是以点P为切点，过点 P的切线，不论点 P在不在曲线上，点 P不一定是切点 . 2求过点 P的曲线的切线方程的步骤为： 先设出切点坐标为x0，y0
38、，然后写出切线方程yy0f x0 xx0，代入点 P的坐标，求出x0，y0，再写出切线方程 . 变式训练 4 已知曲线 yx33x，过点 (0,16) 作曲线的切线，求曲线的切线方程解设切点为 (x1，y1)，则切线的斜率ky |xx13x213，切线方程为 y(3x213)x 16. 又切点在切线上，y1(3x213)x116. x313x1(3x213)x116，解得 x12. 切线方程为 y9x16，即 9xy160 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页27 2 7 1.2 导数的计算1.2.2 复合函数的导
39、数自学引导能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合函数 (仅限于形如 f(ax b) 的导数. 课前热身1. 复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u) 和 ug(x) ，如果通过变量 u，y可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数_ 和_的复合函数，记作 _ 2 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u) ，ug(x) 的导数间的关系为 _即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x的导数的乘积 . 答案1.y f(u) ug(x) yf(g(x) 2.y xyuux名师讲解1. 求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节(1) 中间变量的
40、选择应是基本函数结构；(2) 关键是正确分析出复合过程；(3) 一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4) 善于把一部分表达式作为一个整体；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页28 2 8(5) 最后结果要把中间变量换成自变量的函数典例剖析2求复合函数导数的方法步骤(1) 分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；(2) 求每一层基本初等函数的导数；(3) 每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 题型一复合函数的求导方法例 1 求下列函数的导数(1)y 113x4；(2)y cosx2；(3)y
41、 sin(2x 3)；(4)y 1x2. 分析注意中间变量的选取，分层求导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页29 2 9解(1)令u13x，则 y1u4u4，yu 4u5，ux3. yxyu ux12u51213x5. (2)令ux2，则 ycosu，yxyu ux sinu 2x2xsinx2. (3)令 u2x3，则 ysinu ，yxyuuxcosu22cos(2x 3) (4) 令 u1x2，则 yu12，yxyuux12u- 122xxu- 12x1x2. 规律技巧求复合函数的导数， 要分清函数的复合关
42、系， 对于分式型的可化为幂的形式求导， 关键选好中间变量 最后将中间变量代回到原自变量的函数变式训练 1 求下列函数的导数(1)y 113x5；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页30 3 0(2)y sin(x26) ；(3)y ln(lnx)；(4)y e2x21. 解(1) 令 u13x，则 y1u5u5，yxyuux5u63 15u 61513x6. (2) 令 ux26，则 ysinu ，yxyuuxcosu(x26)2xcosu2xcos(x26) (3) 令 ulnx ，则 ylnu ，yxyuux1
43、u1x1xlnx. (4) 令 u2x21，则 yeu，yxyuuxeu4x 4xe2x21. 例 2 求下列函数的导数(1)y (x24)2；(2)y log2(2x23x1)；(3)y esin(ax b)分析先将复合函数分解， 找出中间变量， 然后按复合函数求导公式 yyuux进行求导解(1) 方法 1：y(x24)2x48x216 y(x48x216)4x316x. 方法 2：y2(x24)(x24) 2(x24) 2x 4x316x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页31 3 1(2)y log2(2
44、x23x1) 12x23x1ln2(2x23x1) 4x32x23x1ln2. (3)y esin(ax b) esin(axb)sin(axb) esin(ax b)cos(ax b)(ax b) acos(ax b)esin(ax b) 规律技巧求复合函数的导数， 当复合步骤熟练后， 可以直接求导变式训练 2 求下列函数的导数(1)y 33x21；(2)y sin3xsinx3. 解(1)y 33x21(3x21)13，y13(3x21)- 23 (3x21)13(3x21)- 236x2x33x212. (2)y (sin3xsinx3) 3sin2x(sinx) cosx3(x3)3s
45、in2xcosx3x2cosx3. 题型二求导法则的综合应用例 3 已知函数 f(x) 是关于 x 的二次函数，其导函数为f (x) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页32 3 2且? xR，x2f (x) (2x 1)f(x)1 恒成立，求函数 f(x) 的解析式分析可设 f(x) ax2bxc0(a0)，利用待定系数法求出a，b，c 的值解设 f(x) ax2bxc(a 0) ，则 f (x) 2axb. 又 x2f (x) (2x1)f(x) x2(2axb)(2x 1)(ax2bxc) (ab)x2(b
46、 2c)x c1 恒成立，ab0，b2c0，c1，a2，b2，c1.f(x) 2x22x1. 变式训练 3 已知函数 f(x) 是关于 x 的三次函数，且 f(0) 3，f (0) 0，f (1) 3，f(2) 0，求 f(x) 的解析式解设 f(x) ax3bx2cxd(a0) ，则 f (x) 3ax22bxc. 由 f(0) 3，得 d3，由 f (0) 0，得 c0，由 f (1) 3，f (2) 0，得3a2b3，12a4b0，解得a1，b3.f(x) x33x23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页