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1、导数学问点归纳及其应用 学问点归纳一、相关概念1. 导数的概念函数 y=fx,假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ,那么函数 y 相应地有增量y =f （ x 0 +x ） f （ x0 ）, 比 值y 叫 做 函 数 y=f （ x ） 在 xx0 到 x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即y = f x0 xxf x0 x；假如当x0 时,y 有极限, 我们就说函数 y=fx在点 x0xx0处可导,并把这个极限叫做f （x）在点 x 0 处的导数,记作 f （ x 0 ）或 y|x；即 f （ x） = limy = limf x0xf x0 ；0说明：x0xx0x（ 1）
2、 函数 f （ x）在点 x0 处可导,是指x0 时,y 有极限；假如xy 不存在极限,x就说函数在点 x 0 处不行导,或说无导数；（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤： 求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （ x 0 ）； 求平均变化率y = f xx0xfxx0 ； 取极限,得导数 f x0 =limy ；x0x例： 设 fx= x|x|,就 f 0=. 解析 ：limf 0xf 0limf x|limx |xlim |x |0 f 0=0x0xx0
3、xx0xx02. 导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；相应地,切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ）（ xx 0 ）；例： 在函数 yx38 x的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数4是A 3B 2C 1D0 解析 ： 切线的斜率为 ky /3x 28又切线的倾斜角小于,即 0k14故 03x 281解得：883x或x3 33故没有坐标为整数的点3. 导
4、数的物理意义（删去）假如物体运动的规律是s=s（ t）,那么该物体在时刻t 的瞬时速度 v= s （ t）；假如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t）,就该物体在时刻 t 的加速度 a=v（ t ）；例； 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,如把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是（）s sssOtOt OtOtA B CD 答： A；练习： 已知质点 M按规律 s2t 23 做直线运动（位移单位：cm,时间单位： s ）；（1） 当 t=2 , t（2） 当 t=2 , t0.01 时,求s ；t0.001时,求s ；t（3） 求质点 M
5、在 t=2 时的瞬时速度；答案：（ 1） 8.02二、导数的运算cm（ 2） 8.002scm；（ 3） 8 cm ss1. 基本函数的导数公式: C0; （ C为常数） xnnxn 1; sin xcosx ; cos xsin x ; ex ex ; a x ax ln a ; ln x l og1;xx1 loge .aax例 1：以下求导运算正确选项A x+ 1 11xx 2xxB log 2x =21x ln 2C 3 =3 log 3eD xcosx =-2xsinx 解析 ： A 错, x+ 1 11xx 21B正确, log 2x =xxC 错, 3 =3 ln32x ln 2
6、2D 错, xcosx =2xcosx+ x-sinx例 2：设 f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x ,f 2 x f 1 x , f n 1 x f n x ,n N, 就 f 2005 x A sinxB sinxC cos xD cosx 解析 ： f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x= cosx, f 2 x f 1 x= -sinx ,f 3 x f 2 x= - cosx, f 4 x f 3 x= sinx ,循环了就 f 2005 x f 1 x cosx2. 导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,即：
7、uv uv .法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即：uv u vuv .如 C 为常数 , 就 Cu C uCu 0Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：Cu Cu .法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uvu v2vuv （ v0）；例：设 fx、gx 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 当 x 0 时,f x g xf x gx0. 且 g3=0.就不等式 fxgx 0 的解集是 A -3,0 3,+ B -3,0 0, 3C
8、 - ,- 3 3,+ D - ,- 3 0, 3 解析 ： 当 x 0 时, f x g xf xg x 0 ,即 f x g x /0当 x 0 时, fxgx为增函数,又 gx 是偶函数且 g3=0 , g-3=0 , f-3g-3=0故当 x3 时, fxgx0,又 fxgx是奇函数,当 x0 时, fxgx为增函数,且 f3g3=0故当 0x3 时, fxgx 0应选 D3. 复合函数的导数形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 求导 回代；法就： y | X = y | U u| X 或者f xf *x .练习： 求以下各函数的导数：（ 1） yxx 5x 2s
9、in x ;（ 2） y x1 x2 x3;（ 3） ysin x 122cos2 x ;4（ 4） y11.1x1x12解： 1 yxx5sin x3x2x2x3sin x , x2 y3 x 2 x 32x 2 sin x53 x 22323x 22x 3 sin xx 2 cosx.2（ 2）y=（ x+3x+2）（ x+3） =x+6x+11x+6, y =3x+12x+11.（ 3） y=sin x2cos x21 sin x,2 y1 sin x 21 sin x21 cos x.2（4） y111x1x2,1x1x1x 1x1x y21x211xx) 22.1x2三、导数的应用1
10、. 函数的单调性与导数（1） 设函数 yf x 在某个区间（ a, b）可导, 假如f x0 ,就f x 在此区间上为增函数；假如f x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） 假如在某区间内恒有f x0 ,就f x 为常数 ；例： 函数f xx 33x21是减函数的区间为A 2,B ,2C ,0D（ 0,2） 解析 ： 由f / x3x 26 x 0,得 0x0,当1x1时,f / x 0,故 f x 的极大值、微小值分别为f 13、f11 ,而 f 317、 f 01故函数f xx33x1 在-3 , 0 上的最大值、最小值分别是3、-17 ；经典例题选讲例 1.已知函数 yxf x 的
11、图象如下列图（其中f x是函数f x 的导函数）,下面四个图象中 yf x 的图象大致是 解析 ：由函数 yxf x 的图象可知：当 x1时,xf x 0,此时f x 增当 1x0 时, xf x 0, f x 0,此时f x 减当 0x1时, xf x 0 , f x 0, f x 0,此时f x 增应选 C例 2. 设f xax 3x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范畴,并求其单调区间；解： f x3ax21如 a0 , fx0 对 x, 恒成立,此时f x 只有一个单调区间,冲突如 a0 , fx10 x, ,f x 也只有一个单调区间,冲突如 a0 f x3a x1 x3 | a
12、|13 | a | ,此时f x 恰有三个单调区间a0且 单 调 减 区 间 为 ,1 和 3 | a |1,3 | a | , 单 调 增 区 间 为1,3 | a |13 | a |例 3.已知函数f xx3bx 2cxd的图象过点 P（0,2 ） , 且在点 M1, f 1 处的切线方程为 6 xy70 .（）求函数 yf x 的解析式；（）求函数 yf x 的单调区间 .解：（）由f x 的图象经过 P（ 0, 2）,知 d=2,所以 fxx3bx 2cx2,f x3x 22bxc.由在 M 1, f 1处的切线方程是6 xy70 ,知6f 170,即f 11, f 16.32bc1b
13、c6,即21.2bc bc3,解得bc3.0,故所求的解析式是f xx33x23x2.（）f x3 x 26 x3.令3x 26 x30,即x 22 x10.解得 x112 , x212.当 x12, 或x12时, f x0;当12x12时, f x0.故 f xx 33x 23x2在,12 内是增函数,在 12,12 内是减函数,在 12 , 内是增函数 .例 4.设函数fxx3bx2cxxR ,已知g xf xf x 是奇函数；322（）求 b 、 c的值；（）求g x的单调区间与极值；解：（）fxxbxcx , fx3x2bxc ；从而g xf xf xx3bx2cx3 x22bxc x
14、3b3 x2c2bxc 是一个奇函数,所以g 00 得 c30 ,由奇函数定义得 b3 ；2（）由（）知g xx6x ,从而g x3 x6 ,由此可知,2 和 2, 是函数递减区间；g x是单调递增区间； 2,2 是函数g x 是单调gx 在 xgx 在 x2 时,取得极大值,极大值为42 ,2 时,取得微小值,微小值为42 ；例 5.已知 f （ x） = x 3（1） 求 a、b 的值；ax 2bxc 在 x=1, x=2时,都取得极值；3（2） 如对 x1,2 ,都有f x1恒成立,求c 的取值范畴；c解：（ 1）由题意 f / （x） =3x 22axb 的两个根分别为 1 和23由韦
15、达定理,得：122 ab=,12 33331就 a, b223（2）由（ 1）,有 f （ x） = x1 x 222xc , f / （ x） =3x 2x2当 x1,2 时, f3/ x0 ,当 x2 ,13时, f/ x0 ,当 x1,2 时, f/ x0 ,2当 x时,3f x 有极大值 2227c , f 11c, f 222c , 当 x1,2 ,f x 的最大值为f 22c对 x1,2 ,都有f x1恒成立, 2cc1 ,c解得 0c21, 或 c21,例6.已 知 x1 是 函 数f xmx33 m1x2nx1的 一 个 极 值 点 , 其 中m, nR, m0 ,（I ）求
16、m 与 n 的关系式；（II ）求 f x 的单调区间；（III）当 x1,1时,函数yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m,求 m 的取值范畴 .解： If x3mx26 m1xn 由于 x1 是函数f x 的一个极值点 ,所以 f10 , 即 3m6m1n0 ,所以 n3m6（ II ）由（ I ）知,f x3mx26 m1) x3m6 = 3mx1 x12m当 m0 时,有 112 ,当 x 变化时,mf x 与 f x 的变化如下表：x,1212mm12 ,1m11,f x00000f x调调递减微小值单调递增极大值单调递减故有上表知,当 m0 时,f x 在,12m单调递减
17、,在 12 ,1 单调递增,在 1, 上单调递减 .m（ III）由已知得f x3m ,即2mx2 m1x20又 m0 所以x22 m1x20 即 x22 m1 x20, x1,1 mmmm设 g xx2211 x2 ,其函数开口向上,由题意知式恒成立,mmg101222所以mmg 10100解之得4m 又 m03所以43m0即 m的取值范畴为4 ,03例 7：（ 2022 天津理 20） 已知函数f x x2ax2a 23a ex xR, 其中 aR（ 1） 当 a0 时,求曲线yf x在点 1, f 1 处的切线的斜率；（ 2） 当 a2时,求函数3f x 的单调区间与极值；本小题主要考查
18、导数的几何意义、导数的运算、 利用导数争论函数的单调性与极值等基础学问,考查运算才能及分类争论的思想方法；满分12 分；解：（ I） 当a0时, f xx 2 ex , f xx 22 xex,故f 13e.所以曲线 yf x在点 1,f 1 处的切线的斜率为3e.（II ）f xx 2a2) x2a 24a ex .令f x0,解得 x2a,或xa2.由a2 知, 2a3a2.以下分两种情形争论；（1） 如a 2 ,就32a a2 . 当 x 变化时,f x, f x 的变化情形如下表：x, 2a2a2a, a2a2a2,+00+极大值微小值所以 fx在, 2 a,a2,内是增函数,在 2a, a2内是减函数 .函数 fx在x2a处取得极大值f 2a,且 f 2 a3ae2 a .函数 fx在xa2处取得微小值f a2,且 f a2 43aea 2 .（2） 如a 2 ,就32a a2 ,当 x变化时,f x, f x 的变化情形如下表：x, a2a2a2, 2a2a2a,+00+极大值微小值所以 fx在, a2,2a,内是增函数,在 a2, 2a内是减函数；函数 fx在xa2处取得极大值f a2,且 f a2 43aea 2.